厦门海沧实验中学2023-2024学年第一学期高二10月阶段性检测数学试题与答案

厦门海沧实验中学2023—2024学年第一学期
高二10月阶段性检测数学试题
满分：150分考试时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
5．在四面体A BCD -中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF =（）
A ．
1223
AC AB AD +- B ．112223
AC AB AD -
-+
C ．112223
AC AB AD
-+
D ．112223
AC AB AD
-+-
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
在向量a
上的投影向量是
}
,2c 是空间向量的另一个基底，
{}
四、解答题：本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2=，
20．（如图，已知六面体ABCDPE 的面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，
4CD AD ==，棱PA ⊥平面ABCD ，//PA BE ，4,2PA BE ==，F
为PD 的中点.
(1)求证：//AF 平面PBC ；
(2)求直线BE 与平面PCD 所成角的大小.
(1)求证：BE ⊥平面ADE ；
(2)线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC 所成的角为说明理由；若存在，求出H 点的位置.
2023—2024学年第一学期高二10月月考试数学试题参考答案
是等腰直角三角形，所以BD AE ⊥，又平面
平面BCD ，所以AE CE ⊥,
是等边三角形，故B 项正确；对于C ，设
20．（1）见详解；（2）4
θ=
解：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，且AB AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则()()()()()()()0,0,0,0,2,0,4,0,0,0,0,4,2,0,2,0,2,2,4,4,0,
A B D P F E C 所以(0,2,4),(4,2,0),(2,0,2),
BP BC AF =-==
设平面BPC 的法向量为(),,m x y z = ，则240420m BP y z m BC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，解得2,1y z =-=-，故()1,2,1m =--
，所以
()()2102210AF m ⋅=⨯+⨯-+⨯-= ，故AF m ⊥ ，又AF ⊄平面PBC ，所
以//AF 平面PBC .
（2）由（1）得()()()4,0,40,4,00,0,2DP DC BE =-== ，，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =
，则
044c 0400n DP a b n DC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩
，令1a =，解得0,1b c ==，故()1,0,1n = ，所以22cos ,222
n BE n BE n BE ⋅==
=
⨯
，设直线BE 与平面PCD 所成的角为θ，则2
sin 2θ=
，又
π0,2θ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，所以
π4θ=
.
21．(1)证明见解析；(2)
33
,,,,,..,,,,,.
PA ABCD PA CD AD CD PA AD D CD PAD CD PAD CD AE E PD PA AD AE PD PD CD D AE PCD AE PCD AE AEF AEF PCD ⊥∴⊥⊥⋂=⊄∴⊥∴⊥=∴⊥⋂=⊄∴⊥⊂∴⊥ （1）证明：平面又平面平面为中点,又平面平面平面平面平面（2）如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 为x 轴，y 轴，过D 作AP 平行线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()2,0,2P ，()1,0,1E ，()3,2,0B ，所以()0,2,0DC = ，()2,2,2PC =--
，因为12PF FC =，所以13PF PC
= ，所以()()14242,2,22,0,2,,3333DF ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭ ，即424,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以224,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，
()1,0,1AE =-
，设平面AEF 的。