人教A版高中数学选修1-2课件3.2.2《复数的乘除运算》.ppt
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第三章 数系的扩充与复数的引入
人
教
高中数学课件
A 版 数
学
（鼎尚图文*****整理制作）
第四节 复数代数形式的 乘除运算
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数 的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概 念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．
有关复数的方程问题一般有两种情况： ①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复 数根，求实系数． ②方程的根为实数，系数为复数，求实根．
3．对于实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ<0 时，
方程的根为 x＝－b±2a－Δi；当 Δ≥0 时，方程的根为 x＝
－b± 2a
Δ，无论
Δ≥0
(1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
→
代则[ 入分 abz＝ ＝·析 z2－＋x023]yi0(z－，将z(1)＋ )xy005设＝ ＝＝z12－0＝b12xa→＋yi代化，入简(x， 整x20y＋理∈(得yR0P－)，的3即)轨2＝P迹(4x方，程y)
)
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
[答案] C [解析] 本题考查了复数的除法运算． 51－ ＋ii＝((51－ ＋ii))((11－ －ii))＝4－2 6i＝2－3i.
2．在复平面内，复数 z＝2＋1 i对应的点位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
→ 代得入(法a＋求6Q)2的＋轨b2＝迹1方6.程
故(2)Q根表据示复以数(的－几6,0何)为意圆义心→，|z41－为z半2|的径几的何圆意．义 → 结论
[解析(2)]|z1－(1)z设2|表z＝示x分＋别yi(在x，圆y∈P，R)Q．上则的集两合个动点间的距离，
又P圆＝心{(x距，|PyQ)|x|＝2＋3y2－5＞6y2＋＋54＝，0故} |z1－z2|最大值为 6＋3 5最小 值＝为{(3x，5y－)|x62.＋(y－3)2＝4}，
还是
Δ<0，根与系数的关系都成立，即
x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4．在解复系数一元二次方程时，套用实系数一元二次方
程根的判别式 Δ＝b2－4ac，这种做法是毫无意义的．
例5 解方程|x|＝2＋x－2i.
[误解] 方程两边平方，得：x2＝4＋x2－4＋4x－8i －4xi，
即 4(1－i)x＝8i，所以 x＝ 2i ＝－1＋i. 1－i
[答案] D [解析] z＝2＋1 i＝2－5 i＝25－5i ，故 z 对应的点位于第四象 限．
3．复数21(－2＋2ii)
A．2i
B．－2i
C．2
() D．－2
[答案] A
[解析]
2(2＋i) 1－2i
＝2(2＋i)5(1＋2i)＝2(2＋55i－2)＝2i.
二、填空题 4 ． 若 x － 2 ＋ yi 和 3x － i 互 为 共 轭 复 数 ， 则 实 数 x ＝ ______，y＝______. [答案] －1 1 [解析] 由题意可得xy－＝21＝3x
(1＋i)2＝2i，(1－i)2 ＝－2i， ω3 ＝1
[解析]
i－2 (1)1＋2
33i＋(5＋i19)－1＋2i22
＝(11＋＋22 33ii)i＋[5＋(i4)4·i2·i]－1＋2i211
＝i＋5－i－i11＝5＋i；
(2)令 ω＝－12＋ 23i，则 ω3＝1，于是 (1(2－＋23i)i4)5＝－2524－(112＋＋i)423i5＝－(22i)ω2 5 ＝2ωω6＝2ω＝－1＋ 3i.
例3 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011. [分析] 由题目可获取以下主要信息： 已知虚数单位i的幂，求和． 解答本题可利用等比数列求和公式化简
或者利用in的周期性化简．
[①[点解i4评析n＋]]1＝1方i，.虚法i4数n一＋单2：＝位－原i1式的，＝周i4in(期 ＋13－ 1＝性－i－．2i01i1，)＝i4ni(＝1－1(1(n－i∈2)1iN00)5．·i)， n＝也i·(1可1－＋以ii)推＝广i·22到i＝整－数1集． ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 方法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， 2．记住以下结果，可提高运算速度． ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)…＋(i2005＋i2006 ＋i200②7＋11－ ＋i20ii0＝8)＋－(ii，200119＋＋ －iii2＝010i＋. i2011＋i2012)－i2012 ③＝1－i ＝i2－012i＝. －1
变式1 设复数 z 满足1＋z 2i＝B．－2－i D．2＋i
1＋2i (1＋2i)(－i) [解析] z＝ i ＝ i(－i) ＝2－i. [答案] C
()
例2 (2010·徐州高二检测)设 P，Q 是复平面上的点集， P＝z|z·z ＋3i(z－ z )＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}．
3.共扼2．复复数数的乘概法念的运算律
一般地对，于当任两意个z1，复z数2，的z3∈C，有实部相等 ，虚部 互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常
记复数z的共交轭换复律数 ，虚部不等于0的z1两·z个2＝共z轭2·复z1数也叫
做
共轭虚．数 结合律
(z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3)
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2009·i2008.
[解析] 设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2009i2008，
则 i·S＝i＋2i2＋…＋2008·i2008＋2009i2009
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2008－2009i2009
.
(1－i2009)
＝1·
－2009i＝1－2009i.
2＋b＝0， 解得b＝－2，
c＝2. 所以 b，c 的值分别为－2,2. (2)由(1)知原方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边， 得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，右边＝0，左边＝右边，显然方程 成立，因此 1－i 也是原方程的一个根．
注意： 因为已知方程x2＋bx＋c＝0的一根是复数根， 故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件 求解．
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1·z3
4．(a＋bi)÷(c＋di)＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i，复数的除 法的实质是分母实数化，分母为 a＋bi 型， 同乘 a－bi，a－bi 型，同乘 a＋bi. 5．①(1±i)2＝±2i. ②11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i. ③(zm)n＝zmn. ④z·z ＝|z|2＝| z |2. ⑤ z1·z2 ＝ z1 ·z2 .
故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
设w＝a＋bi(a，b∈R)．
z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.
[点评] 共轭复数的性质． (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R，利用这个 性质可证明一个复数为实数． (3)若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质， 可证明一个复数为纯虚数．
∴xy＝＝－1 1
5．如果复数 z＝21－ ＋b2ii(b∈R)的实部与虚部互为相反数， 则 b＝______
[答案] －23 [解析] z＝21－＋b2ii＝((21－ ＋b2ii))((11－ －22ii)) ＝(2－2b)－5 (b＋4)i ∴2－2b＝b＋4∴b＝－23
三、解答题 6．计算：(2＋i)·(1＋i)2－21＋ ＋ii. [解析] 原式＝(2＋i))(2i)－(2＋i)2(1－i) ＝4i－2－3－2 i＝(－2－32)＋(4＋12)i＝－72＋92i.
[辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式 |z|2＝z2.
[正解] 可设 x＝a＋bi(a，b∈R)， 则 a2＋b2＝2＋a＋bi－2i＝(2＋a)＋(b－2)i 由复数相等可得
a2＋b2＝2＋a
b－2＝0
解得ab＝ ＝02
所以方程的解为 x＝2i.
一、选择题
1．(2010·浙江文，3)设 i 为虚数单位，则51－ ＋ii＝(
1－i
1－2009i
∴S＝
＝1005－1004i.
1－i
例4
已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的 一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值； (2)试说明1－i也是该方程的一个根．
[解析] (1)因为 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， 所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0， 所以b＋c＝0，
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬 背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法 只需记住两个复数相除，就是先把它们的商 写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以 分母的共轭复数，再把结果化简即可．
练一练
例1 计算：(1)1i＋－22 33i＋(5＋i19)－1＋2i22；
(2＋2i)4 (2)(1－ 3i)5.
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘 法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相 除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分 母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的 积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i (a，b，c，d∈R)．
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第四节 复数代数形式的 乘除运算
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．理解复数乘法 的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．理解共轭复数 的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概 念．本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．
有关复数的方程问题一般有两种情况： ①方程的根为复数，系数为实数，已知方程的一个复 数根，求实系数． ②方程的根为实数，系数为复数，求实根．
3．对于实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当 Δ<0 时，
方程的根为 x＝－b±2a－Δi；当 Δ≥0 时，方程的根为 x＝
－b± 2a
Δ，无论
Δ≥0
(1)P，Q 分别表示什么曲线？ (2)设 z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
→
代则[ 入分 abz＝ ＝·析 z2－＋x023]yi0(z－，将z(1)＋ )xy005设＝ ＝＝z12－0＝b12xa→＋yi代化，入简(x， 整x20y＋理∈(得yR0P－)，的3即)轨2＝P迹(4x方，程y)
)
A．－2－3i
B．－2＋3i
C．2－3i
D．2＋3i
[答案] C [解析] 本题考查了复数的除法运算． 51－ ＋ii＝((51－ ＋ii))((11－ －ii))＝4－2 6i＝2－3i.
2．在复平面内，复数 z＝2＋1 i对应的点位于(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
→ 代得入(法a＋求6Q)2的＋轨b2＝迹1方6.程
故(2)Q根表据示复以数(的－几6,0何)为意圆义心→，|z41－为z半2|的径几的何圆意．义 → 结论
[解析(2)]|z1－(1)z设2|表z＝示x分＋别yi(在x，圆y∈P，R)Q．上则的集两合个动点间的距离，
又P圆＝心{(x距，|PyQ)|x|＝2＋3y2－5＞6y2＋＋54＝，0故} |z1－z2|最大值为 6＋3 5最小 值＝为{(3x，5y－)|x62.＋(y－3)2＝4}，
还是
Δ<0，根与系数的关系都成立，即
x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4．在解复系数一元二次方程时，套用实系数一元二次方
程根的判别式 Δ＝b2－4ac，这种做法是毫无意义的．
例5 解方程|x|＝2＋x－2i.
[误解] 方程两边平方，得：x2＝4＋x2－4＋4x－8i －4xi，
即 4(1－i)x＝8i，所以 x＝ 2i ＝－1＋i. 1－i
[答案] D [解析] z＝2＋1 i＝2－5 i＝25－5i ，故 z 对应的点位于第四象 限．
3．复数21(－2＋2ii)
A．2i
B．－2i
C．2
() D．－2
[答案] A
[解析]
2(2＋i) 1－2i
＝2(2＋i)5(1＋2i)＝2(2＋55i－2)＝2i.
二、填空题 4 ． 若 x － 2 ＋ yi 和 3x － i 互 为 共 轭 复 数 ， 则 实 数 x ＝ ______，y＝______. [答案] －1 1 [解析] 由题意可得xy－＝21＝3x
(1＋i)2＝2i，(1－i)2 ＝－2i， ω3 ＝1
[解析]
i－2 (1)1＋2
33i＋(5＋i19)－1＋2i22
＝(11＋＋22 33ii)i＋[5＋(i4)4·i2·i]－1＋2i211
＝i＋5－i－i11＝5＋i；
(2)令 ω＝－12＋ 23i，则 ω3＝1，于是 (1(2－＋23i)i4)5＝－2524－(112＋＋i)423i5＝－(22i)ω2 5 ＝2ωω6＝2ω＝－1＋ 3i.
例3 计算：i＋i2＋i3＋…＋i2011. [分析] 由题目可获取以下主要信息： 已知虚数单位i的幂，求和． 解答本题可利用等比数列求和公式化简
或者利用in的周期性化简．
[①[点解i4评析n＋]]1＝1方i，.虚法i4数n一＋单2：＝位－原i1式的，＝周i4in(期 ＋13－ 1＝性－i－．2i01i1，)＝i4ni(＝1－1(1(n－i∈2)1iN00)5．·i)， n＝也i·(1可1－＋以ii)推＝广i·22到i＝整－数1集． ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 方法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0， 2．记住以下结果，可提高运算速度． ∴in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)， ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)…＋(i2005＋i2006 ＋i200②7＋11－ ＋i20ii0＝8)＋－(ii，200119＋＋ －iii2＝010i＋. i2011＋i2012)－i2012 ③＝1－i ＝i2－012i＝. －1
变式1 设复数 z 满足1＋z 2i＝B．－2－i D．2＋i
1＋2i (1＋2i)(－i) [解析] z＝ i ＝ i(－i) ＝2－i. [答案] C
()
例2 (2010·徐州高二检测)设 P，Q 是复平面上的点集， P＝z|z·z ＋3i(z－ z )＋5＝0}，Q＝{w|w＝2iz，z∈P}．
3.共扼2．复复数数的乘概法念的运算律
一般地对，于当任两意个z1，复z数2，的z3∈C，有实部相等 ，虚部 互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常
记复数z的共交轭换复律数 ，虚部不等于0的z1两·z个2＝共z轭2·复z1数也叫
做
共轭虚．数 结合律
(z1·z2)·z3＝ z1·(z2·z3)
计算：1＋2i＋3i2＋…＋2009·i2008.
[解析] 设 S＝1＋2i＋3i2＋…＋2009i2008，
则 i·S＝i＋2i2＋…＋2008·i2008＋2009i2009
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2008－2009i2009
.
(1－i2009)
＝1·
－2009i＝1－2009i.
2＋b＝0， 解得b＝－2，
c＝2. 所以 b，c 的值分别为－2,2. (2)由(1)知原方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边， 得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，右边＝0，左边＝右边，显然方程 成立，因此 1－i 也是原方程的一个根．
注意： 因为已知方程x2＋bx＋c＝0的一根是复数根， 故我们需将该已知根代入方程，根据复数相等的充要条件 求解．
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1·z3
4．(a＋bi)÷(c＋di)＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i，复数的除 法的实质是分母实数化，分母为 a＋bi 型， 同乘 a－bi，a－bi 型，同乘 a＋bi. 5．①(1±i)2＝±2i. ②11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i. ③(zm)n＝zmn. ④z·z ＝|z|2＝| z |2. ⑤ z1·z2 ＝ z1 ·z2 .
故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
设w＝a＋bi(a，b∈R)．
z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.
[点评] 共轭复数的性质． (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称． (2)实数的共轭复数是它本身，即 z＝ z ⇔z∈R，利用这个 性质可证明一个复数为实数． (3)若 z≠0 且 z＋ z ＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质， 可证明一个复数为纯虚数．
∴xy＝＝－1 1
5．如果复数 z＝21－ ＋b2ii(b∈R)的实部与虚部互为相反数， 则 b＝______
[答案] －23 [解析] z＝21－＋b2ii＝((21－ ＋b2ii))((11－ －22ii)) ＝(2－2b)－5 (b＋4)i ∴2－2b＝b＋4∴b＝－23
三、解答题 6．计算：(2＋i)·(1＋i)2－21＋ ＋ii. [解析] 原式＝(2＋i))(2i)－(2＋i)2(1－i) ＝4i－2－3－2 i＝(－2－32)＋(4＋12)i＝－72＋92i.
[辨析] 在解题中用了复数范围内不成立的等式 |z|2＝z2.
[正解] 可设 x＝a＋bi(a，b∈R)， 则 a2＋b2＝2＋a＋bi－2i＝(2＋a)＋(b－2)i 由复数相等可得
a2＋b2＝2＋a
b－2＝0
解得ab＝ ＝02
所以方程的解为 x＝2i.
一、选择题
1．(2010·浙江文，3)设 i 为虚数单位，则51－ ＋ii＝(
1－i
1－2009i
∴S＝
＝1005－1004i.
1－i
例4
已知1＋i是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的 一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值； (2)试说明1－i也是该方程的一个根．
[解析] (1)因为 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， 所以(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0， 所以b＋c＝0，
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬 背，乘法可按多项式类似的办法进行，除法 只需记住两个复数相除，就是先把它们的商 写成分数的形式，然后把分子、分母都乘以 分母的共轭复数，再把结果化简即可．
练一练
例1 计算：(1)1i＋－22 33i＋(5＋i19)－1＋2i22；
(2＋2i)4 (2)(1－ 3i)5.
对于复数的代数形式乘除法法则，不必死记硬背，乘 法可按多项式类似的办法进行，除法只需记住两个复数相 除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子、分 母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的 积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i (a，b，c，d∈R)．