中考数学几何模型专题二—相交线与平行线

专题二 相交线与平行线
模型3 三线八角
模型展现
基础模型
结论分析
1.两直线平行
同位角相等 2.两直线平行 内错角相等 3.两直线平行 同旁内角互补 怎么用? 1.找模型
遇到“平行(//)”则考虑“三线八角” 2. 用模型
“三线八角”问题用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补(即平行线性质)解题 满分技法
平行线的性质与判定是互逆的. 模型拓展
拓展延伸
“三线八角”的使用很常见,不仅在选填中单独考,而且在几何综合题中常利用“倒角”解决线段、角等的大小及位置关系.
典例小试
例 1 ( 2021长沙)如图,AB://CD(遇平行,考虑平行线性质),EF分别与AB,CD交于点G, H,∠AGE= 100°,则∠DHF(先找已知角和未知角的关系)的度数为( )
A.100°
B. 80°
C.50°
D.40°
考什么?
平行线的性质,对顶角相等
思路点拨
已知角度与所求角度不是同位角、内错角、同旁内角关系，借助对顶角相等可进行角度转化.
例 2 如图,已知AB//CD,点F是CD上方一点,连接BF交CD于点E,连接DF,若∠F=30°,∠D=42° ,则∠B的度数为.
考什么?
平行线的性质,三角形外角的性质
思路点拨
若不能根据平行线的性质，直接得到角度关系,可借助三角形外角的性质进行求解.
实战实演
1.如图,AB//CD,F为CD上一点,连接F A并延长至点E,若∠EAB=70°,则∠EFC的度数为( )
A.90°
B. 100°
C.110°
D. 120°
2.如图,点E,F分别是AB,CD上的点,连接EF,交BC于点G,若∠AEF=∠EFD= 80°,∠CGF= 25°,则下列结论错误的是( )
A. AB//CD
B.∠B=55°
C.∠C+∠EFD=∠EGC
D. CF<FG
3．如图△ABC中，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作DE //BC，交AB于点D，若△A=110°，△DEB=20°则△BEC的度数为______
4．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。

如图，水面与水杯下沿平行，光线AB从水中射向空气时发生折射，光线变成BD，点C在射线AB上.已如△BAF=50°，△ABD=145°则△EBD的大小为_______.
5．如图,已知AB//CD，连接BC，点E、F是直线AB上不与A、B重合的两点，G是CD上一点，连接ED交BC于点N，连接FG交BC于点M，若∠ENC+△CMG=180°
(1)求证:∠2=∠3;
(2)若∠A=∠1+60°，△ACB=50°求∠B的度数。

模型4 “猪蹄”型
模型展现
基础模型
怎么用?
1.找模型
平行线间某一墙存在条凹进去的线段并交于一点
2用模型
一般过平行线间的交点作两条平行线的平行线，再利用平行线的性质解题结论分析
结论:∠BOC=△B+△C
证明:证法1:如解图过点O作OE//AB.
△AB//CD,△OE//CD.
∠ △B=∠1，△C=∠2.
∠∠1+∠2=∠B+△C即∠BOC=△B+△C
证法2:如解图延长BO交DC手点E。

∠AB//CD
△△B=△BEC
∠∠BOC=△C+△BEC.
∠∠ BOC=∠B+△C
也可以延长CO方法同证法2
拓展延伸
同学们还可尝试连接BC
利用三角形内角和及平行线性质进行证明
模型拓展
o,2o是平行线间的点
已知AB//CD，点
1
o+∠2o-(∠B+∠C)=180°
结论: ∠
1
o,2o,3o…n o是平行线间的点
已知AB//CD，
1
o+∠2o+∠3o…+∠n o- (∠B+△C)=(n-1)×180°
结论:∠
1
满分技法：当无法说明两个角或两条线段之间数量关系时，通常借助作辅助线将两个角或两条线段转换到同一个角或同一条线段上进行判断计算。

典例小试
例1(2020常德)如图,已知AB△DE,∠1=30°∠2=35°则∠BCE的度数为( )
A. 70°
B. 65°
C. 35°
D. 5°
考什么？平行线的性质，平行线公理（平行于同一条直线的两条直线平行）
思路点拨：不能直接应用平行线性质求角度的，可利用辅助线构造平行线再利用平行线的性质求解。

例2 如图,某同学在美术课上用丝线绣成了一个"2",AB△DE.∠D=25°,∠BCD=100°
则∠ABC的度数为( )
A.25°
B.75°
C.105°
D.125°
考什么？平行线的性质，平行线公理
思路点拨: 形式不直观的图形，可通过辅助线使模型清晰,再利用模型结论求解.
例3(2021东营)如图AB//CD,EF∠CD于点F,若∠BEF=150°,则∠ABE= ( ) A.30° B.40° C.50° D.60°
考什么？
平行线的性质，平行线公理，垂线的性质
实战实演
1. 如图,直线l1//l2 ,∠ 1=45° ,则∠2+∠3=( )
A.155°
B.180°
C.225°
D.245°
2.如图,AB//CD,∠EFG=90°,则∠2与∠3一定满足的等式是( )
A.∠2+∠3= 180°
B.∠2+∠3= 90°
C.∠3=3∠2
D.∠2 -∠3=90°
3.如图,已知AB//CD,连接AC,点E,F在AC上,BF与DE交于点0,若
∠B+∠D=60°,∠BFC= 120° ,则∠CED的度数为( ）
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
4.如图,AB//CD, GE是∠AEH的平分线,FH是∠CFG的平分线,若∠G+45°=2∠H,则∠AEH的大小是( ）
5.如图,已知AB//CD,∠B+∠D=30°,则∠01+∠02+∠03+∠04= °
模型5 “铅笔头”型
模型展现
基础模型
怎么用? 1.找模型
平行线间某一端存在两条凸出去的线段并交于一点 2.用模型
一般过平行线间与交点作两条平行线的平行线,再利用平行线的性质解题,即考虑“铅笔头”模型 结论分析
结论:∠BOC +∠B +∠C =360° 证法1:如解图,过点0作0E //AB .
∵AB //CD ，∴ OE //AB //CD . ∴∠B +∠1= 180°，∠C +∠2= 180° ∴∠B +∠1+∠2+∠C =360°， ∴∠B +∠BOC +∠C = 360°.
证法2:如解图,延长AB 、CO 交于点E ,∵AB //CD
,
∴∠E+∠C= 180°，
∵∠ABO+∠EBO= 180°.
∴∠E+∠C+∠ABO+∠EBO= 360°.
∵∠E+∠EBO=∠BOC，
∴∠E+∠C+∠ABO+∠EBO=∠C+∠ABO+∠BOC=360°.
也可以延长BO、DC按照证法2证明,试试看呦.
拓展延伸
连接BC,由同旁内角互补及三角形内角和为180°也可求证.
模型拓展
拐点共有n个
拓展延伸
在拓展模型中,最重要的是要掌握构造平行线,利用同旁内角互补求角度,这与“猪蹄模型”
有异曲同工之妙,动动小脑袋瓜思考一下,为什么“(n+1)”,为什么“(n-1)”呢?
典例小试
例1 如图,若AB//CD（点拨：考虑平行线性质）,∠B=125°,∠BOC=100° ,则∠C 的度数为( ）
A.125°
B.135°
C.115°
D.105°
考什么?
平行线性质,平行线公理
思路点拨
“铅笔头”模型考查平行线性质,熟悉模型性质,利用模型结论解题.
例2 如图,l1//l2 ,∠3=60°,则∠1+∠2的度数为( )
A.120°
B. 200°
C. 240°
D. 300°
考什么?
平行线性质,平行线公理,平角的性质
实战实演
1.如图,AD//CE,∠ABC=80°,则∠2-∠1的度数为( )
A.20°
B. 80°
C. 100°
D. 120°
专题二相交线与平行线
2.如图在平行四边形ABCD中，点F、G分别在AD、BC上，E是四边形ABCD
内FG左侧一点，EF∠EG，若∠AFE=20°，则∠EGB的度数为
3.一个小区大门的栏杆如图所示，BA∠AE于点A，CD//AE，已知∠ABC=150°，则∠BCD的度数为
4.如图，两直线AB、CD平行，∠AEO1+∠CFO4=320°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数为
5.如图，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠a，∠BCP=∠β.
(1)当点P在A、B两点之间运动时，猜想并证明∠CPD，∠a，∠β之间的数量关系;
(2)如果点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A、B、0三点不重合)请你直接写出∠CPD，∠a，∠β之间的数量关系.
模型6 “锯齿”型
模型展现
结论分析
结论:∠B+∠F=∠E+∠C
证明:过点E作MN//AB，过点F作PO//AB
∠AB//CD，
∠AB//MN//PQ//CD，
∠∠B=∠BEN，∠EFP=∠FEN，∠PFC=∠C，
∠∠B+∠EFP+∠PFC=∠BEN+∠FEN+∠C，
∠∠B+∠F=∠E+∠C.
基础模型
怎么用?
1.找模型:平行线间至少有2个拐点，且拐点方向不一致
2.用模型:过拐点作平行线利用平行线性质解题
巧学巧记
左拐角之和等于右拐角之和.
模型拓展
考什么？
平行线的性质，平行线公理，平角的性质
思路点拨
“锯齿模型”中的角为锐角，若出现钝，则需利用平角的性质转换。

使用结论
考什么?
平行线的性质，平行线公理，平角的性质
典例小试
例1 如图，若直线a//b，∠1=15°，∠2=150°，∠3=30°，则∠4的度数为()
A.15°
B.20°
C. 30°
D.45°
例2 如图，已知AB//CD，∠A=32°，∠C=125°，则∠F-∠E的大小是
实战实演
1.如图，AB//CD，EF//GH，点E在AB上，点H在CD上，若∠AEF=43°则∠GHD 的度数为
A.43°
B.47°
C. 92°
D.无法确定
2.如图，直线AB//CD，∠1=∠2=30°，∠EFG=80°，∠H=45°，则∠G的大小是
A.50°
B.60°
C. 65°
D.70°
3．如图∠，已知AB∠CD，点E，F分别在线段AB，CD上，连接EF，点G是EF上一点（不与点E、F重合）．点H是线段GF上一点（不与点G、F重合）．（1）求证：∠BGH＋∠GHD＝∠B＋∠D＋180°；
（2）如图∠，点P是线段BG，DH之间一点，连接GP，PH，若∠BGP＝2∠PGH，∠DHP＝2∠PHG，请直接写出∠P，∠B与∠D的数量关系．
模型7 三角板
模型展现
【基础模型】
怎么用？
1．找模型当题中含三角板时，先根据度数或者隐含条件判断三角板的形状2．用模型
根据三角板的形状，标注直角（90°）及特殊角（30°，45°，60°），再根据题干解题
巧学巧记一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍．
【模型拓展】
追本溯源
直尺的上下两条边是平行的，可使用平行线性质得到角度相等．
【典例小试】
例1一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝88°，则∠2的度数
为( )
A．40°B．43°C．45°D．47°
考什么？
平行线性质，三角板的性质，三角形的内角和
满分技法
考试中也会出现利用三角板本身的内外边作为平行线出题，如∠1＝∠2．
例2（2021泰安）如图，直线m∠n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列角平分线的性质结论错误
．．的是( ) A．∠2＝75°B．∠3＝45°C．∠4＝105°D．∠5＝130°
考什么？
三角板的性质，平行线性质，角平分线的性质，平角的性质
例3（2021长春）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∠EF，则∠ADE的大小为________度．
考什么？
三角板的性质，平行线性质，三角形外角的性质
实战实演
1.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a//b,则∠1的大小为( )
A.135°
B.145°
C.150°
D.155°
2.一副三角板按如图所示位置摆放，若AB//CD,则∠1的度数是( )
A. 60°
B.75°
C.80°
D.105°
3.如图,已知AB//CD,将一副三角板按如图放置,若∠HFD=30°,则∠AEG为( )
4.将一副三角板按如图所示方式叠放在一起,其中直角顶点重合于点O,OB与CD
交于点E,若AB//OD,则∠OED的度数为
A.80°
B. 90°
C.100°
D.105°
5. 如图,一副三角尺OABC与OADE的两条斜边在--条直线上，直尺的一边GF//AC,则∠DFG的度数为( )。