人教新课标版数学高二B必修5学案 3.5.2 简单线性规划(一)

3.5.2 简单线性规划(一)
明目标、知重点 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．
1．线性规划中的基本概念
名称 定义
目标函数 要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性目标函数 如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数 线性约束条件 如果目标函数是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解
可行解 满足线性约束条件的解，叫做可行解 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域
线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z
b ，
当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．
在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源(人力、物力、资金……)，取得最大的收益．或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务．我们把这一类问题称为“最优化”问题．不等式的知识是解决“最优化”问题的得力工具．本节我们将借助二元一次不等式(组)的几何表示，学习“最优化”问题中的简单“线性规划”问题． 探究点一 线性规划中的基本概念
问题 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A 种原料3 kg ，B 种原料1 kg ；生产乙产品1工时需要A 种原料2 kg ，B 种原料2 kg ，现有A 种原料1 200 kg ，B 种原料800 kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？
思考1 “问题”中的数量关系比较复杂，为清晰起见，你能用表格表示出来吗？ 答 依题意可列表如下：
产品
原料A 数量(kg) 原料B 数量(kg) 利润(元)
生产甲种产品1工时 3 1 30 生产乙种产品1工时
2 2 40 限额数量
1 200
800
思考2 表示问题中的限制条件？如何表示获得的利润总额？
答 ⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ≤1 200
x ＋2y ≤800x ≥0
y ≥0
.获得的利润总额为f ＝30x ＋40y .
思考3 写出x ，y 满足的不等式组后，求利润的总额最大问题转化成了什么问题？ 答 转化成了在x ，y 满足不等式组的条件下，求f ＝30x ＋40y 的最大值．
思考4 如下图，不等式组的解集对应着不等式组表示的平面区域的点集，在此前提下，求利润的总额最大问题又可转化成什么问题？
答 转化成在不等式组表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x ＋40y 时，使该式取得最大值．
思考5 若把f ＝30x ＋40y 变形为y ＝－34x ＋f 40，这是斜率为定值－34，在y 轴上的截距为f 40的
直线，在此背景下，如何求f 的最大值？
答 如图(见思考4)，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线，因而确定出唯一截距f 40，而且当截距f
40
最大时，f 取得最大值．由图可以看出，当直线y
＝－34x ＋f
40经过点B 时，截距的值最大．解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2y ＝1 200x ＋2y ＝800，得点B 的坐标为(200,300)，
将x ＝200，y ＝300代入f ＝30x ＋40y ，得f max ＝30×200＋40×300＝18 000.
答 用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18 000元，此时利润总额最大．
小结 (1)在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数f ＝30x ＋40y 叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组称为约束条件．
(2)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件．
(3)在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．
(4)一般地，满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域． 探究点二 生活中的线性规划问题
例1 下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素A ，B 的含量及单价：
单位，维生素B 不少于4 800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？
解 设购买甲种食物x 千克，乙种食物y 千克，则购买丙种食物(10－x －y )千克，又设总支出为z 元，依题意得 z ＝7x ＋6y ＋5(10－x －y )， 化简得z ＝2x ＋y ＋50. x ，y 应满足的约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧
400x ＋600y ＋400(10－x －y )≥4 400
800x ＋200y ＋400(10－x －y )≥4 800x ≥0，y ≥010－x －y ≥0
，
化简，得⎩⎨⎧
y ≥2
2x －y ≥4
x ＋y ≤10
x ≥0
.
根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所
示．
画直线l 0：2x ＋y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l 的不包含直线l 0的另外一
侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，容易看出，点M 符合上述条件，点M 是直线y ＝2与直线2x －y ＝4的交点． 解方程组
⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝2
2x －y ＝4
得点M (3,2)．
因此，当x ＝3，y ＝2时，z 取得最小值 z min ＝2×3＋2＋50＝58， 此时，10－x －y ＝5.
答 购买甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克时，付出的金额最低为58元． 反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值． 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．
设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为2
3，且随z 变化的一
族平行直线．
－1
3z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2x －3y 取得最小值．
由图可见，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝－1
x ＋y ＝5得A 的坐标为(2,3)，
∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.
当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝3
x ＋y ＝1
得B 的坐标为(2，－1)．
∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.
∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是．
例2 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够装所托运货物的总体积不能超过24 m 3，总质量不能低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积，质量和可获得的利润，列表如下：
货物 每袋体积(单位：m 3)
每袋质量(单位：百千克)
每袋利润(单位：百元)
甲 5 1 20 乙
4
2.5
10
解 设托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润z 百元，则z ＝20x ＋10y .
依题意，可得关于x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋4y ≤24
2x ＋5y ≥13
x ≥0，y ≥0
根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示．
画直线l 0：20x ＋10y ＝0.即2x ＋y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l 的包含直线l 0的同一侧，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值，容易看出，图中的点M 符合上述条件．点M 是直线2x ＋5y ＝
13与直线5x ＋4y ＝24的交点．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
5x ＋4y ＝24
2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．
因此当x ＝4，y ＝1时，z 取得最大值．此时， z max ＝20×4＋10×1＝90.
答 在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋，可获得最大利润9 000元. 反思与感悟 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作出可行域；(3)平移目标函数对应的直线确定最优解；(4)求出最优解的坐标及目标函数的最值．
跟踪训练2 A 、B 两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知A 区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；B 区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务．如果要求B 区参与活动的同学比A 区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元．怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？
解 设A 、B 两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，
应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧
y －x ≥1
3x ＋5y ≤37
x ≥1
x ，y ∈Z ，
化简得⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≤0
3x ＋5y ≤37
x ≥1
x ，y ∈Z
.
根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示． 画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域中的某点．
容易看出，点M 符合上述条件，点M 是直线x －y ＋1＝0与直线3x ＋5y ＝37的交点．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝－1
3x ＋5y ＝37
， 得点M (4,5)．
因此，当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.
答 A 、B 两区参与活动同学的人数分别为4、5时，受到服务的老人最多，最多为35人．
1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )
A ．－52
B ．0 C.53 D.5
2
答案 C
解析 画出可行域如图．
设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值5
3， 所以(x ＋2y )max ＝5
3
.
2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥3，x －y ≥－1，
2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23
答案 B
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1 答案 A
解析 －1a ＝2－14－1＝1
3
，∴a ＝－3.
4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．
答案 8
解析 如图，由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点A (0,2)处取得最大值8.
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；
(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．一般地，对目标函数z ＝ax ＋by ，若b >0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若b <0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小．
3．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
一、基础过关
1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 A
解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，
令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z min ＝2×(－2)－2＝－6. 2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，
x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )
A ．9 B.157 C ．1 D.7
15
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －y －3＝0，
x －y ＋1＝0得A (4,5)，
∴z max ＝4＋5＝9.
3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，
y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )
A ．－7
B ．－4
C ．1
D ．2 答案 A
解析 可行域如图阴影部分(含边界)
令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3，
x －y －2＝0
得D (5,3)． ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.
4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，
x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分
别为( ) A ．3，－11 B ．－3，－11 C ．11，－3 D ．11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示，
由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.
5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案
解析 作出不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x －3y ＝0，
当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.
所以z ∈．
6．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
求z ＝4x －3y 的最大值和最小值． 解 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0
4x ＋y ＋10≥0所表示的可行域如图所示：
其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)，作一族与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y －z ＝0， 当l 过点C 时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大，
∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18，
z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.
7．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，
3x ＋y ≥12
下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，
3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中
x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，
x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)，
x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，
作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .
即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.
二、能力提升
8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，
若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2
答案 B
解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－2a ，
∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B. 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧ 0≤x ≤
2，y ≤2，x ≤2y
给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．42
答案 B
解析 由线性约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，
x ≤2y ，
画出可行域如图阴影部分所示，
目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过
点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.
10．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1 t 甲产品要用煤9 t ，电力4 kW ，劳动力(按工作日计算)3个；制造1 t 乙产品要用煤4 t ，电力5 kW ，劳动力10个．又知制成甲产品1 t 可获利7万元，制成乙产品1 t 可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t ，电力200 kW ，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少吨能获得最大经济效益？
解 设此工厂应分别生产甲、乙产品x t 、y t ，利润z 万元，则
依题意可得约束条件：
⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，
x ≥0，y ≥0，
利润目标函数为：z ＝7x ＋12y . 画出可行域如图所示．
作直线l ：7x ＋12y ＝0，把直线l 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝7x ＋12y 取最大值．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得M 点坐标为(20,24)． ∴生产甲种产品20 t ，乙种产品24 t ，才能使此工厂获得最大利润.
11．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：
作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.
平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．
由⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．
答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
三、探究与拓展
12．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
2y －1≥0
上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．
解 画出不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
2y －1≥0
所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，
1为半径的一个圆．
如图所示，只有当点P 在点
A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点
B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.。