苏教版高中数学必修四课件平面向量数量积及其应用.pptx

y
o
x B
小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合 可使问题的解决更加方便
例四.数量积二第15题
已知r ：rar ， 3存,1在,brr实ur 12 ,数23 r和，r 使
r
k ur
得，x 且a ，t2试3求b,的y ka tb x y
t
k t2 t
最小值。
分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不可用 基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表示， 转变为关于其中一个字母的函数来处理.
rr
解右边不等式可得<a0g,b但左边不等式解答比
较复杂，所以，我们可以考虑在余弦小
于0的情况下去掉夹角为180度的情况，
即去掉两向量平行的情况，所以本题的
解答如下：
由且即题 （ 且4k ar≠意 ）k2aur： 与6br22（ （bur ） ）3kk au（不r 8）平ar2gbubrr行<400aurg
为.如图所1示20，o 点在以为圆心C的圆弧O上变动.
若其中,A求B的最大值.
uuur OC
uuur xOA
uuur yOB
x, y R
x y
分均析为：1因，为且三已个知向与Ou量uAur的的夹模Ou角uBur ， B
C
所以，本题可以考虑利
用向量数量积将向量转
O
化为实数，同时可将用
A
三角函数x 表y示出来，解
解答如下:
由条件得：ar ， 2，, br 由1 ，ar得gbr 0
=0ar， t即2
3
r b
g
k
r a
r tb
=0，kar 2
(t
3
3t
r2 )b
(t
kt
2
3k
rr )agb∴
则有 k t3 3t
4
则=k t2 1 (t2 4t 3)
t4
1 (t 2)2 7
4
4
则当=t-2时，有k最小t 2值
3
)cosΒιβλιοθήκη 3 sin 2sin( ) 2
6
小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用 向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为 实数计算，从而有利于问题的解决.
平面向量数量积是高考的重点考察内 容，直接考察的是数量积的概念、运 算律、性质，向量的平行、垂直，向 量的夹角与模等，主要以填空题的形 式出现，在解题时除了要熟练掌握基 本知识外，也要注重利用数形结合解 决问题。
t
r ur xy
7 4
小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂， 但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都 稍作化简，联系“已知的是什么?”,“所求的 是什么？”，“中间搭哪一座桥？”，很多问 题都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题涉 及关于两个字母的表达式的最值问题，这类问 题往往从（1）基本不等式（2）等量代换这两 个方面去考虑.
例二.（数量积一第15题第2问）
已知且| aur |向 3,量| bur |与 4,的夹角为aur，试bur 求的k 取值集合，使（）与kau（r 2）bur 的夹角为钝角
6ur0o ur 4a 3b
分析：两向量的ar ,夹br 角公式为
cos
rr a, b
rr agb rr
ab
rr
则当两向量的夹角为钝角时有-1<<co0s a,b
答如下：
设，AO则C有
uuur uuur uuur uuur uuur uuur OCgOA xOAgOA yOBgOA uuur uuur uuur uuur uuur uuur OCgOB xOAgOB yOBgOB
即，ccoo则ss(23
x
1y 2 )
1 2
x
y
x
y
2
cos
cos( 2
解：ar
r c
gbr
cr
r r r r r r2
= agb (a b)gc c
r rr
=1- 2 cos a b,c
r
rb c
1 2
r a
思若考向：量设满向足量=是crar0,，两br 求个的互ar cr最相g br大垂cr值直.的单位cr向量，
答案： 2
小结：将题给条件稍作变化，就能得到一个与原 题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大 家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题， 以更好的理解知识点.
r a
3．两r个向r 量的数量积的性质：r 设，ar为两b个非零向量，是单位e向量，是与其它
向量ar的r 夹r角r r （1）；egra arge ar rcos
（2）；a b r ragbr 0 r r r （3）特别的或agr；a r | a |2 | a | a a
（4）=co；s ra br
ur 4a ur 3b
k
ur 3b
8
且≠4k 9 616 (3k 8)34 1 0
3
k
8 3
2
∴且≠k
8 3
k
8 3
思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？
小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于 化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算， 使问题得以更好的解决.
例三.数量积二第10题
已知向量=ar，向co量s,=si，n 求的最大br 值. 3,1
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1．定义：平面内两个非零向量的数量积（内
积）的定义
rr
=
agb
rr
a b cos R
向量夹角的概念：平移两个非零向量使它们
起点重合，所成图形中0≤≤180的角称为
两个向量的夹角
r 规定与任0 何向量的数量积为0
2．长向度量与的在数方br量向积上ar的投几影何的意乘义积：数br 量co积sa等r gbr于的
=2O=Ag-(2OB OC) OAgOM OAgOM
由基本不等式，得=OA1g,OM
OA OM 2
4
所以，所求最小值为-2
小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向 量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利 于计算.
例给六定.向两量个应长用度第为115的题平面向量和OuuAur，它Ouu们Bur 的夹角
例五.向量应用第10题 AM在小V中A值B，C为中OuuAuOr线g(Ou上uBur 的OuuCu一r) A个M动点，若=2，求的最
分析：如图，因为为M BC
A
uuur uuur uuuur
的中点，所以,OB OC 2OM
则本题可转化成两个反向
O
B
向量数量积的最小值问题，
M
C
解答如下：
uuur uuur uuur uuur uuuur
| a || b |
（ （ （ 4.平123）））面=c设aro（向则s）ar量===数xx1,,=y|量y1ara,rbr|积b|r的brx2|, 坐yar2 2标x1表2 xxa1r2yx示1g22br y：yx12y222x1
x2
y22
y1
y2
r r rr
（4）非零向量=0a（ b注意a与gb向 0量共线x1的x2 坐y1标y2 表示
rr 2a b
解法一（代数方法）
rr
r2 r2 r r
2a b 4a b 4agb
4 4 4( 3 cos sin)
8 4 2cos( )
6
4
解法二（几何方法）
如图，用表OuuBu示r ，
r b
以圆O为，圆则心2可ar，看2为成半以径O为作起 点，终点在圆O上的向 量，由向量减法的几何 意义可知答案为4
区别）
5.平面向量数量积的应用
（1）把几何学问题转化为向量问题：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向 量等
（2）把物理学问题转化为向量问题：数学 中的向量就是物理中的矢量，所以利用向 量可以解决物理学问题
例一.(数量积一第9题)
设向量，ar，是br 单cr位向量，且=0，
rr agb
求的最ar 小cr g值br cr