高中数学必修一课时跟踪检测(二) 集合的表示 (3)

课时跟踪检测（二） 集合的表示
A 级——学考合格性考试达标练
1．下列说法中正确的是( )
A ．集合{x |x 2＝1，x ∈R }中有两个元素
B ．集合{0}中没有元素
C ．13∈{x |x <23}
D ．{1，2}与{2，1}是不同的集合
解析：选A {x |x 2＝1，x ∈R }＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x |x <23}＝{x |x <12}，13>12，所以13∉{x |x {<23}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．
2．实数1不是下面哪一个集合中的元素( )
A ．整数集Z
B ．{x |x ＝|x |}
C ．{x ∈N |－1<x <1}
D ．⎩
⎨⎧x ∈R ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －1x ＋1≤0 解析：选C 1不满足－1<x <1，故选C.
3．下列集合的表示方法正确的是( )
A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }
B ．不等式x －1<4的解集为{x <5}
C ．{全体整数}
D ．实数集可表示为R
解析：选D 选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．
4．已知M ＝{x |x －1<2}，那么( )
A ．2∈M ，－2∈M
B ．2∈M ，－2∉M
C ．2∉M ，－2∉M
D ．2∉M ，－2∈M
解析：选A 若x ＝2，则x －1＝1<2，所以2∈M ；若x ＝－2，则x －1＝－3<2，所以－2∈M .故选A.
5．方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x2－y2＝9的解集是( ) A ．(－5，4)
B ．(5，－4)
C ．{(－5，4)}
D ．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x2－y2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}，选D. 6．若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________．
解析：由题意可知集合B 是由A 中元素的平方构成的，故B ＝{4，9，16}．
答案：{4，9，16}
7．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a ，0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________．
解析：由集合相等的概念得⎩
⎪⎨⎪⎧a2－1＝0，a2－3a ＝－2，解得a ＝1. 答案：1
8．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________．
解析：由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4，
则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，
解得x ＝1或x ＝3，
所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}．
答案：{1，3}
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(3)方程x 2－4x ＋4＝0的实数根组成的集合；
(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合；
(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2 ，也可用列举法表示为{(4，－2)}．
(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．
(3)方程x 2－4x ＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－4x ＋4＝0}．
(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．
(5)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，是实数，
故可用描述法表示为{y |y ＝x 2＋2x －10}．
10．设y ＝x 2－ax ＋b ，A ＝{x |y －x ＝0}，B ＝{x |y －ax ＝0}，若A ＝{－3，1}，试用列举法表示集合B .
解：将y ＝x 2－ax ＋b 代入集合A 中的方程并整理，得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.因为A ＝{－3，1}，所以方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两个实数根为－3，1.由根与系数的关系得⎩
⎪⎨⎪⎧－3＋1＝a ＋1，－3×1＝b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－3，所以y ＝x 2＋3x －3.将y ＝x 2＋3x －3，a ＝－3代入集合B 中的方程并整理，得x 2＋6x －3＝0，解得x ＝－3±23，所以B ＝{－3－23，－3＋23}．
B 级——面向全国卷高考高分练
1．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为( )
A ．{－1≤x ≤8}
B ．{x |－1≤x ≤8}
C ．{x ∈Z |－1≤x ≤8}
D ．{x ∈N |－1≤x ≤8}
解析：选C 观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x ∈Z |－1≤x ≤8}，选C.
2．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )
A ．x 1·x 2∈A
B ．x 2·x 3∈B
C ．x 1＋x 2∈B
D ．x 1＋x 2＋x 3∈A
解析：选D ∵集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，
∴x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，
∴x 1＋x 2＋x 3应为偶数，即D 是错误的．
3．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A ．2∈A ，且2∈B
B ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈B
C ．2∈A ，且(3，10)∈B
D ．(3，10)∈A ，且2∈B
解析：选C 集合A 中元素y 是实数，不是点，故选项B ，D 不对．集合B 的元素(x ，y )是点而不是实数，2∈B 不正确，所以A 错．
4．(2019·襄阳高一检测)对于任意两个正整数m ，n ，定义运算“※”：当m ，n 都为偶数或奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为偶数，另一个为奇数时，m ※n ＝mn .在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝16}中的元素个数是( )
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
解析：选B 因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M 中的元素是有序数对(a ，b )，所以集合M 中的元素共有17个，故选B.
5．(2018·安庆市高一联考)已知集合A ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭
⎬⎫65－a ∈N ，a ∈Z ，则A 可用列举法表示为________．
解析：由65－a ∈N ，可知0<5－a ≤6，即－1≤a <5，又a ∈Z ，所以当a ＝－1时，65－a
＝1∈N ；当a ＝0时，
65－a ＝65∉N ，当a ＝1时，65－a ＝32∉N ；当a ＝2时，65－a ＝2∈N ；当a ＝3时，65－a ＝3∈N ；当a ＝4时，65－a
＝6∈N .综上可得A ＝{－1，2，3，4}． 答案：{－1，2，3，4}
6．定义P *Q ＝{ab |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，1，2}，Q ＝{1，2，3}，则P *Q 中元素的个数是________．
解析：若a ＝0，则ab ＝0；若a ＝1，则ab ＝1，2，3；若a ＝2，则ab ＝2，4，6.故P *Q ＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素．
答案：6
7．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }．
(1)若集合A 中仅有一个元素，求实数a 的值；
(2)若集合A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；
(3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝0时，x ＝13
，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ＝0，∴a ＝94
. 综上，集合A 中仅含有一个元素时，a ＝0或a ＝94
. (2)集合A 中含有两个元素，即关于x 的方程ax 2－3x ＋1＝0有两个不相等的实数解，
所以a ≠0，且Δ＝(－3)2－4a >0，
解得a <94
且a ≠0， 所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪a<94且a≠0.
(3)当a ＝0时，x ＝13
，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ≤0，即a ≥94
. 所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭
⎬⎫a ≥94或a ＝0. C 级——拓展探索性题目应用练
(2019·安庆高三二模)已知集合A ＝{x |x ＝3N ＋1，n ∈Z }，B ＝{x |x ＝3N ＋2，n ∈Z }，M ＝{x |x ＝6N ＋3，n ∈Z }．
(1)若m ∈M ，则是否存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立？
(2)对于任意a ∈A ，b ∈B ，是否一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ？证明你的结论．
解：(1)设m ＝6k ＋3＝3k ＋1＋3k ＋2(k ∈Z )，
令a ＝3k ＋1(k ∈Z )，b ＝3k ＋2(k ∈Z )，则m ＝a ＋b .
故若m ∈M ，则存在a ∈A ，b ∈B ，使m ＝a ＋b 成立．
(2)不一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m ，证明如下：
设a ＝3k ＋1，b ＝3l ＋2，k ，l ∈Z ，则a ＋b ＝3(k ＋l )＋3，k ，l ∈Z .
当k ＋l ＝2p (p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋3∈M ，此时存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立；当k ＋l ＝2p ＋1(p ∈Z )时，a ＋b ＝6p ＋6∉M ，此时不存在m ∈M ，使a ＋b ＝m 成立．
故对于任意a ∈A ，b ∈B ，不一定存在m ∈M ，使a ＋b ＝m .。