高等数学 第十章 曲线积分与曲面积分 第三节 格林公式及其应用

y
(1) 当( =0 由格林公式知 ∫L 2 2 x +y
(2) 当( 0,0) ∈ D 时,
o
x
作位于 D 内圆周 l : x + y = r ,
2 2 2
y
L
D1
记 D1 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
o
l
r
x
∫
L+ l −
xdy − ydx =0 2 2 x +y
N
1 0 a = ∫a x ( − 1)dx − ( ax − x )dx 2 2 ax
a a 1 2 = ∫0 xdx = 6 a . 4
x2 y2 例5 计算椭圆 D = {( x , y ) : 2 + 2 ≤ 1}的面积。 a b y 1 L 解 A = ∫ xdy − ydx ， x 2L O L : x = a cos t , t : 0 → 2π y = b sin t ,
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
d ψ ( y ) ∂Q ∂Q ∫∫ ∂x dxdy = ∫c dy ∫ψ ( y ) ∂x dx D
2 1
= ∫c Q(ψ 2 ( y ), y )dy − ∫c Q(ψ 1 ( y ), y )dy
d d
y
=
∫
CBE
Q( x , y )dy − ∫
CAE
Q( x , y )dy
d
x = ψ 1( y)
E D B
x = ψ 2 ( y)
= ∫CBE Q( x , y )dy + ∫EAC Q( x , y )dy =
( 3) ⇒ ( 4) :
（3）存在二阶连续可导函 数 u( x , y )使得 du = Pdx + Qdy , ∀ ( x , y ) ∈ D; ∂Q ∂P = (4) , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
设du = Pdx + Qdy , 则
∂u ∂u = Q, = P, ∂y ∂x
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy D
BA AFC CE
G
L3
E
L2
B A
L1
C F
= (∫ + ∫ + ∫ + ∫ +
AB L2
∫ + ∫ +∫ +∫
L3
EC CGA
)( Pdx + Qdy )
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy )
2 3 1
= ∫L Pdx + Qdy
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA + AB + BO
应用格林公式 ,
(
P = 0, Q = x 有
y
− ∫∫ dxdy = ∫ xdy
L D
A
D
= ∫OA xdy + ∫AB xdy + ∫BO xdy , 由于 ∫OA xdy = 0,
o
L
B
x
∫BO xdy = 0,
1 2 ∴ ∫ xdy = − ∫∫ dxdy = − πr . AB 4 D
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数
P ( x , y )及Q ( x , y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有 ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy (1) D 其中 L是 D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1 L1
1 A= 2
∫
2π
0
[ a cos t ⋅ b cos t − b sin t ⋅ ( − a sin t )]dt
1 = 2
∫
2π
0
abdt = π ab .
三、平面上曲线积分与路径无关的条件
如果对区域G内任意两条 起、终点相同的曲线 L2 L1 , 有
y
L1
⋅B
L2
G
= ∫L
∫ L1
Pdx + Qdy
解 ONA 为直线 y = 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y = ax − x , x ∈ [0, a ]表示,
1 ∴ A = ∫ xdy − ydx 2 L
1 1 = ∫ONA xdy − ydx + ∫AMO xdy − ydx 2 2
1 = ∫AMO xdy − ydx 2
M
A(a ,0)
格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
∫∫ D
∂ ∂ ∂x ∂y dxdy = ∫L Pdx + Qdy . P Q
二、Green公式的简单应用 1. 简化曲线积分
例 1 计算 ∫
AB
y
A
xdy ,其中曲
D
线 AB 是半径为 r 的圆在 第一象限部分.
y
L
D1
xdy − ydx xdy − ydx − ∫l 2 =0 即 ∫L 2 2 2 x +y x +y xdy − ydx xdy − ydx ∫L x 2 + y 2 = ∫l x 2 + y 2
=∫
2π 2 0
l
o
r
x
r cos 2 θ + r 2 sin 2 θ dθ 2 r
= 2π .
( 2)
∫ Pdx + Qdy在D内与积分路径无关；
L
L
（3） 存在二阶连续可导函数 u( x , y )使得 du = Pdx + Qdy , ∀( x , y ) ∈ D;
( 4)
∂Q ∂P = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
证明：（1） （2） （3） （4） （1） ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
y
证明(1)
若区域 D 既是 X − 型 又是Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和 L 至 多交于两点.
d x = ψ 1( y) A c o a
E
y = ϕ 2 ( x)
D
B
x = ψ 2 ( y) Cy = ϕ 1 ( x ) x b
∫
L
∂Q ∂P Pdx + Qdy = ± ∫∫ ( − )dxdy = 0 . ∂x ∂y D′
证毕
例1 计算曲线积分
∫
L
(1 − 2 xy − y 2 )dx − ( x + y ) 2 dy , 其中
L 是圆 x 2 + y 2 = 2 y上从 ( 0，)到(1，)的一段有向弧 . 0 1
解 P( x, y) = 1− 2xy− y2 , Q( x, y) = −( x + y)2 ,
∫ Pdx
+ Qdy = 0 ,
∫
L1
Pdx + Qdy = − ∫ * Pdx + Qdy =
L
∫
L2
Pdx + Qdy
( 2) ⇒ ( 3) :( 2 ) ∫ Pdx
L
+ Qdy 在 D 内与积分路径无关； 数 u ( x , y ) 使得 ∀ ( x , y ) ∈ D; y C ( x + ∆x , y ) B( x , y )
D
D1
L1
将 D 分成三个既是 X − 型又是 Y − 型的区域 D1 , D2 , D3 .
L
∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = D +∫∫+ D ( ∂x − ∂y )dxdy D 1 D2 3
∂ Q ∂P ∂Q ∂ P ∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy D D D
∫
x + ∆x
x
P ( x , y )dx
x
O
= P ( x + θ ∆ x , y ) ∆ x , ( 0 < θ < 1)
∂u = P ( x , y ), ⇒ ∂x
且 u( x , y )的二阶偏导数连续。
u( x + ∆x, y) − u( x, y) ∆x = P( x + θ∆x, y)
§3. 格林（Green）公式及其应用
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
一、格林公式
Newton − Leibnitz 公式 : ∫ F ′( x )dx = F ( b ) − F ( a )
a b
xdy − ydx 例 2 计算 ∫ ,其中 L 为一条无重点, 2 2 L x + y
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向 为逆时针方向.
解
记 L 所围成的闭区域为 D ,
−y x , 令P = 2 , Q= 2 2 2 x +y x +y 2 2 y −x ∂P ∂Q 2 2 . 则当 x + y ≠ 0 时, 有 = = 2 2 2 ∂y ∂x ( x + y )
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D 由(2)知
(1) ⇒ ( 2) :
（1） 对 D 内任意一条闭路径 L , ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
( 2)
∫ Pdx + Qdy 在 D 内与积分路径无关；
L
要证 ∫ Pdx + Qdy =
L1
L 1 + L*
∫
L2
Pdx + Qdy
L2
A D
∫
Pdx + Qdy = 0 ,
L1
B
* L
L 2 + L*
2
A o
Pdx + Qdy
⋅
x
则称曲线积分 ∫L Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关,
否则称为积分与路径有关.
定理 2 设 D是平面单连通区域， P ( x , y ), Q ( x , y )及其 一阶偏导数在 D内连续，则下述四个条 件等价：
（1） 对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
取 P = − y , Q = x , 得 2 ∫∫ dxdy = ∫L xdy − ydx
D
闭区域 D 的面积
1 A = ∫L xdy − ydx . 2
A = ∫L xdy A = ∫L − ydx
取 P = 0, Q = x , 得 取 P = − y , Q = 0, 得
例 4 计算抛物线 ( x + y ) 2 = ax ( a > 0)与 x 轴所 围成的面积.
∂P ∂ 2u ⇒ = ∂y ∂x∂y
=
∂ u ∂Q = ∂y∂x ∂x
2
(4) ⇒ (1) :
（1）对 D内任意一条闭路径 L, ∫ Pdx + Qdy = 0;
L
∂Q ∂P (4) = , ∀( x , y ) ∈ D . ∂x ∂y
D′
L D
设 L 是 D 内一条闭路径， L 所围有界闭区域 D ′ ⊂ D , 则在 D ′内 ∂ Q = ∂ P , ∂x ∂y
A c o C x
∫ Q( x , y )dy
L
同理可证
∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
两式相加得 证明(2)
∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
L3 D3 D2 L2
若区域 D 由一条按段 光滑的闭曲线围成.如图,
y
应用格林公式,有
1
− y2
B D
A
∫∫ e D
− y2
dxdy =
− y2
∫ +xe OA + AB BO
1 0
dy
o
1
x
= ∫ xe
OA
dy = ∫ xe
− x2
dx
1 = (1 − e −1 ). 2
3. 计算平面图形的面积
∂Q ∂ P 格林公式: ∫∫ ( − )dxdy = ∫L Pdx + Qdy ∂y D ∂x
∂P ∂Q = −2( x + y) = , ∂x ∂y
y
B(1,1)
x
O A(1,0)
2
∫
L
(1 − 2 xy − y 2 )dx − ( x + y ) 2 dy =
2 AB
( ∫ + ∫ )(1 − 2 xy − y )dx − ( x + y ) dy
OA
1
7 4 = ∫ dx + ∫ [−(1 + y ) ]dy = 1 − = − . 0 0 3 3
A( x 0 , y 0 )
（ 3）存在二阶连续可导函 du = Pdx + Qdy ,
定义 u ( x , y ) =
∫
∫
L AB + BC
u( x + ∆ x , y ) − u( x , y ) = Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy
L AB
L AB
Pdx + Qdy
D
= ∫ Pdx+ Qdy = BC
(其 中 l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
2. 简化二重积分
y
例 3 计算 ∫∫ e
D
− y2
dxdy ,其中 D 是
1
B D
A
以O ( 0,0), A(1,1), B ( 0,1)为顶点 的三角形闭区域.
o
1
x
解
令 P = 0, Q = xe
− y2
,
∂Q ∂P − y2 − =e , 则 ∂x ∂y