高三数学-2018学年第一学期高三数学第一轮复习单元测试(9)《排列、组合、二项式、概率与统计》旧人教 精品

2018－2018学年度上学期
高中学生学科素质训练
高三数学第一轮复习单元测试（9）— 《排列、组合、二项式、概率与统计》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有
一项是符合题目要求的．
1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 （ ） A ．从10只编号的球(0号到9号)中任取一只，被取出的球的号码ξ B ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξ
C ．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξ
D ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ
(文)现有10张奖票，只有1张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为 （ ） A ．
101，2
1
B ．
21，10
1
C ．
101，101 D ．101，10
9 2．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家
中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A ．900个 B ．1180个 C ．1260个 D ．1800个 3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点
伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行， 从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到4号蜂房 中，则不同的爬法有 （ ） A ．4种 B ．6种 C ．8种 D ．10种
4．A 21+n 与A 3n 的大小关系是 （ ）
A ．A 21+n > A 3n
B ．A 21+n < A 3
n C ．A 21+n = A 3
n D ．大小关系不定
5．(理)若f (m )=
∑=n
i i n i C m 0
，则
)
1(log )
3(log 22f f 等于
（ ）
A ．2
B ．
2
1
C ．1
D ．3 （文）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不
同去,则不同的选派方案共有 种
A ．1320
B ．288
C ．1530
D ．670
6．(理)在二项式(3x -i )6的展开式中(其中2
i =－1)，各项系数的和为 （ ）
A ．64i
B ．－64i
C ．64
D ．－64 （文）已知(2a 3+
a
1)n
的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 （ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 7．右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信号源
在同一个串联线路中时，就能接收
到信号，否则就不能接收到信号。

若将图中左端 的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六 个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组 中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收 器能同时接收到信号的概率是 （ ）
A ．454
B ．361
C ．154
D ．15
8
8．（理）同时抛掷4枚均匀的硬币3次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上
的次数为ξ，则 ξ的数学期望是 （ ） A ．
83 B ．89 C ．8
13
D ．1 (文)已知两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新
的一组数据2x 1-3y 1+1，2x 2-3y 2+1，…，2x n -3y n +1的平均数是
（ ）
A ．2x -3y
B ．2x -3y +1
C ．4x -9y
D ．4x -9y +1
9．10
)31(x
x -
的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是
（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6
10．从0到9这10个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被
3整除的概率为 （ ） A ．
19
54
B ．
3554
C ．
3854
D ．
4160
11．设集合{}1,2,3,4,5I =。

选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中
最大的数，则不同的选择方法共有
（ ）
A ．50种
B ．49种
C ．48种
D ．47种
12．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9．他连续射击4次，且各次射击是否击中目标
相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9 ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1—0.14 其中正确结论的是 （ ） A ．①③ B ．①② C ．③ D ．①②③ 二、填空题：本大题共4小题。

每小题4分。

共16分 把答案填在题中横线上．
13．二项式(1+si nx )n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值
为
2
5
，则x 在(0，2 )内的值为___________． 14．(理)一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子
弹，射击结束后剩余子弹数目ξ的数学期望E ξ=______________.
(文)已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200，现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n 的样本，进行质量检查，已知丙车间抽取了24件产品，则n =____________.
15．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规
定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有___________种． 16．关于二项式(x -1)2018有下列命题：
④该二项展开式中非常数项的系数和是1：
②该二项展开式中第六项为C 62005x
1999
； ⑧该二项展开式中系数最大的项是第1002项：
④当x =2018时，(x -1)2018除以2018的余数是2018．
其中正确命题的序号是__________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色
的A ，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?
18．(本小题满分12分)求二项式(3x -x
2)15的展开式中：
（1）常数项；
（2）有几个有理项；
（3）有几个整式项．
19．(本小题满分12分)(理)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首
先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的
芳香度之和。

（1）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（2）求ξ的数学期望Eξ。

（要求写出计算过程或说明道理）
（文）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。

现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。

根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。

（1）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
（2）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
20．(本小题满分12分)袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同．从袋中同时取出2个球．
（1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证：m
必为奇数；
（2）在肌n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求m+n≤40的所有数组(m，n)．
21．(本小题满分12分)(理)东方庄家给游人准备了这样一个游戏，他制作了“迷尼游戏板”：在一块倾斜放置的矩形胶合板上钉着一个形如“等腰三角形”的八行铁钉，钉子之间留有空隙作为通道，自上而下第1行2个铁钉之间有1个空隙，第2行3
个铁钉之间有2个空隙，…，第8行9个铁钉之间有8个空隙(如图
所示)．东方庄家的游戏规则是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付给庄家2元．若小球到达①②③④号球槽，分别奖4元、2元、0元、-2元．(一个玻璃球的滚动方式：通过第1行的空隙向下滚动，小球碰到第二行居中的铁钉后以相等的概率滚入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按类似方式继续往下滚动，落入第8行的某一个空隙后，最后掉入迷尼板下方的相应球槽内)．恰逢周末，某同学看了一个小时，留心数了数，有80人次玩．试用你学过的知识分析，这一小时内庄家是赢是赔；通过计算，你想到了什么?
(文)甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为
3
1
，且第一次由甲开始射击． （1）求前3次射击中甲恰好击中2次的概率； （2）求第4次由甲射击的概率．
22．(本小题满分14分)规定A m x =x (x -1)…(x -m +1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0
x =1，这是
排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广． （1）求A 315 的值；
（2）排列数的两个性质：①A m
n =n A1
1
-
-
m
n
，②A m
n
+m A1-m
n
=A m
n1+
(其中m，n是正整数)．是
否都能推广到A m
x
(x∈R，m是正整数)的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；
（3）确定函数A3
x
的单调区间．
参考答案
1．(理)C 仅C选项中的差值ξ不是离散型随机变量．
(文)C 无论谁抽中奖的概率均为P =11011C C =10
1
,则第一人与第十人抽中奖的概率均为
10
1
，故应选C ． 2．C 由已知抽样数据可得平均数为
6
31
2526282533+++++=28个，据此可以估计本
周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=l260个． 3．C 路线为134；124；1234；0134；0124；01234；024；0234.
4．D 当n ≥3时，得21+n A -3n A =(n +1)n -n (n -1)(n -2)=-n (n 2
-4n +1)，当n =3时,21+n A -3n A =6>0，得
21+n A >3n A ；当n ≥4时，21+n A -3n A <0，得21+n A <3n A . 即21+n A 与3
n A 的关系不定．故应选D ．
5．(理)A ∵f (m )=
∑=n
i i
n
i
C
m 0
，∴f (3)=
∑=n
i i n
i C
3=(1+3)n =4n
，f (1)=
∑=n
i i n
i C
1=(1+1)n =2n .
)1(log )3(log 22f f =n
n
2
log 4log 22=2,故应选A. (文)A 用间接法求解简单 1320114
42
64
8=⨯⨯-A C A ；也可直接法分3类求解； 6．(理)D 令x =l 得，各项系数和为(3-i )6=26×(
23-i 2
1)6=-26
=-64． (文)B T 7=6n C (2a 3)n -6·a -6=6
n C ·2n -6·a 3n -24，当3n -24=O 时，此项为常数项，即n =8时第7
项是常数．
7．D 由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有222
642
3
3
15C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有222642
3
3
15C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符
合条件的连接方式共有5
5120A =种，所求的概率是
1208
22515
=，故选D ． 8．(理)B 4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的概率为P =C 2
4·(2
1)4=83，
由此可得P (ξ=0)=C
3
·(1-
83)3=(85)3，P (ξ=1)=1
3C ·83．(1-83)2=38
225，P (ξ=2)=23C ·(83)2．(1-83)=38135，P (ξ=3)=3
3C ·(83)3=38
27，由此可得
E ξ=0×(85)3+1×38
225+2×38135+3×3827=89
．故应选B ．
(文)B (2x 1-3y l +1+2x 2-3y 2+l+…+2x n -3y n +1)／n =2(x 1+x 2+…+x n )／n -3(y 1+y 2+…+y n )／
n +1=2x -3y +l ，故应选B ．
9．B
展开式通项为103102110
101133r r
r
r
r
r r T C C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，若展开式中含x 的正整数指数幂，即*3
5,10,2
r N r r N -
∈≤≤∈且0所以0,2r =，选（B ） 10．B 将这10个数字按被3除所得的余数分成三个集合A={0,3,6,9},B={1,4,7},C={2,5,8},所
以能被3整除的分以下四种情况①三个数都从A 中取,共有3
24
318A A -=个数能被3整除;②三个数都从B 中取,共有33
6A =个数能被3整除;③三个数都从C 中取,共有3
36A =个数能被3整除;④分别从ABC 中各取一个数,共有1113112
4
333332198C C C A C C A -=个数能被3整除.所以所有能被3整除的数共有228个.而从0到9这10个数字中任意取3个数组成的三
位数共有3
210
9648A A -=个,所以能被3整除的概率为22819
64854
=
,于是这个数不能被3整除的概率为1935
15454
-=
,因选B ． 11．B 显然A
B =∅，设A B
C =，则C 是I 的非空子集，且C 中元素不少于2个（当
然，也不多于5个）.另一方面，对I 的任何一个k （25k ≤≤）元子集C ，我们可以将C 中元素从小到大排列.排好后，相邻数据间共有k -1个空档。

在任意一个空挡间插入一个隔板，隔板前的元素组成集合A ，隔板后元素组成集合B 。

这样的A 、B 一定符合
条件，且集合对{A ，B}无重复.综合以上分析，所求为：21314151
5152535449C C C C C C C C +++=.
选B.
12．A 恰好击中目标3次的概率是1
4C O.93×0.1，即得②错误，而①③正确，故应选A ． 13．
6
π或65π 由已知可得1-n n C +n
n C =n +1=7，即得n =6，二项式系数最大的一项为
36C ·si n 3x =20s m 3x =25，解得si nx =21，又x ∈(0，2π)，∴x =6
π或65π． 14．(理)1.89 P (ξ=2)=O.9，P (ξ=1)=0.1×0.9=0.09，P (ξ=0)=O.13+0.12×0.9=0.0l ，由此可得
E ξ=2×O.9+l×O.09+O×O.01=1.89．
(文)80 每个个体被抽取的概率P =
120024=501, ∴n =(1500+1300+1200)×501=80 15．35 35
18 从二楼到三楼用7步走完，共走11级，则必有4步每步走两级，其余3步每步1级，因此共有47C =35种方法．
16．①④ 二项式(x -1)2018所有项的系数和为O ，其常数项为-l ，非常数项的系数和是1，即
得①正确；二项展开式的第六项为52005C x 2000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为21
20052005-C =1002
2005C ，-2120052005+C =-10032005
C ，得系数最大的项是第1003项10022005C ·x 1003，即③错误；当x =2018时，(x -1)2018除以2 018的余数是2018-l=2018，即④正确．故应填①④．
17．由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类． (2分) 出牌的方法可分为以下几类：
(1)5张牌全部分开出，有A 5
5种方法； (3分)
(2)2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法； (4分)
(3)2张2一起出，3张A 分开出，有A 45种方法； (5分)
(4)2张2一起出，3张A 分两次出，有3523A C 种方法； (7分)
(5)2张2分开出，3张A 一起出，有A 3
5种方法； (8分)
(6)2张2分开出，3张A 分两次出，有4523A C 种方法； (10分)
因此共有不同的出牌方法A 5
5+ A 25+ A 45+3523A C + A 35+4523A C =860种． (12分)
18．展开式的通项为：T r+1=r r r r x x C )2()()1(15315-- =6530152)1(r r r r x C --
(1)设T r+1项为常数项，则6
530r -=0，得r=6，即常数项为T 7=26615C ； (4分)
(2)设T r+1项为有理项，则6530r -=5-6
5r 为整数，∴r 为6的倍数，又∵0≤r≤15，∴r 可取0，6，12三个数，故共有3个有理项． (8分)
(3) 5-6
5r 为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项． (12分) 19
（２）2211234567895151515151515151515
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (文)设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B （１）芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)、(1,3)，故2()15
P A =。

（２）芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)，故22661113()1()15
P B C C =-+=。

20．(1)设取出2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k 倍(k 为整数)，
则有21122m m n m n m n
C C C k C C ++= (2分) ∴(1)2
m m --k mn =2k n +1． (4分) ∵k ∈
Z ，n ∈Z ，∴m =2k n +1为奇数． (6分)
(2)由题意,有2211222m n m n m n m n m n
C C C C C C C ++++=，∴(1)2m m -=mn , ∴m 2-m +n 2-n -2mn =0即(m -n )2=m +n ，1． (8分)
∴m ≥n ≥2，所以m +n ≥4，∴2≤m -n ，
∴m -n 的取值只可能是2，3，4，5，6，相应的m +n 的取值分别是4，9，16，25，36， 即42m n m n +=⎧⎨-=⎩或93m n m n +=⎧⎨-=⎩或164m n m n +=⎧⎨-=⎩或255m n m n +=⎧⎨-=⎩或366
m n m n +=⎧⎨-=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩或63m n =⎧⎨=⎩或106m n =⎧⎨=⎩或1510m n =⎧⎨=⎩或2115m n =⎧⎨=⎩
(10分)
注意到m ≥n ≥2．
∴(m ，n )的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15)． (12分)
21．(理)游人每玩一次，设东方庄家获利为随机变量ξ(元)；游人每放一球，小球落入球槽，
相当于做7次独立重复试验，设这个小球落入铁钉空隙从左到右的次序为随机变量η+1，则η～B(7，12
)． 因为P (ξ=-4)=P (η=0或η=7)=P (η=0)+P (η=7)=007711()()22C +770711()()22C =6
12 P (ξ=-2)=P (η=1或η=6)=P (η=1)+P (η=6)=116711()()22C +661711()()22C =672
P (ξ=0)=P (η=2或η=5)=P (η=2)+P (η=5)=225711()()22C +552711()()22C =6212
P (ξ=2)=P (η=3或η=4)=P (η=3)+P (η=4)=334711()()22C +443711()()22C =6352
2+E ξ=2+(-4)×612+(-2)×672+0×6212+2×6352=2+6522
， 一小时内有80人次玩．刚东方庄家通常获纯利为(2+6522
×)80=225(元) 答：庄家当然是赢家!我们应当学会以所学过的知识为武器，劝说人们不要被这类骗子
的骗术所迷惑． (12分)
(文)假设甲射击命中目标为事件A ，乙射击命中目标为事件B ．
(1)“前3次射击中甲恰好击中2次”其实隐含的条件是：第一次(甲射击)命中、甲在第二
次射击也命中、在第三次射击中没有命中，即事件AA A 发生．事实上，因为第一次(由甲射击)如果出现A ，则第二次由乙射击，出现B(第三次仍由乙射击)或B (第三次改由甲射击)，出现的事件分别为A BB ，A B B 或A B A ，A B A ，都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此第一次(甲射击)命中；再考虑第二次射击，甲如果没有击中，则出现的事件为A A B ，A A B 也都不满足“前3次射击中甲恰好击中2次”，因此甲在第二次射击也命中；这样第三次不能再命中，否则结果为AAA ．前3次射击中甲恰好击中2次可列举为上面事件AA A ，所求的概率为P =13×13×23=227
； (2)第4次由甲射击隐含条件为：第三次若由甲射击，则必击中；若由乙射击，则必未击
中．逆推，可以将问题列举为下列事件：AAA 、A A B 、A B A 、A B B ．第4次由甲射击的概率P =(
13)3+(23)2×13+13×(23)2+23×13×23=1327
22．(1)315A -=(-15)(-16)(-17)=4180； (3分)
(2)性质①、②均可推广，推广的形式分别是
①11m m x x A xA --=，②11m m m x x x A mA A -++=(x ∈R ，m ∈N +)
事实上，在①中，当m =1时，左边=1
x A =x ，右边=x 01x A -=x ，等式成立； (4分)
当m ≥2时，左边=x (x -1)(x -2)…(x -m +1)=x {(x -1)(x -2)…[(x -1)-(m -1)+1]}=x 11m x A --，
因此，①11m m x x A xA --=成立； (5分)
在②中，当m =l 时，左边=1
x A +0x A =x +l=11x A +=右边，等式成立；
当m ≥2时，左边=x (x -1)(x -2)…(x -m +1)+mx (x -1)(x -2)…(x -n +2)
=x (x -1)(x -2)…(x -m +2)[(x -m +1)+m ]
=(x +1)x (x -1)(x -2)…[(x +1)-m +1]=1m x A +=右边， (6分)
因此②11m m m x x x A mA A -++=(x ∈R ，m ∈N +)成立． (8分)
(3)先求导数，得(3x A )/=3x 2-6x +2．令3x 2-6x +2>0，解得x 或x
因此，当x ∈(-)时，函数为增函数，当x ∈，+∞)时，函数也为增函数． (11分)
令3x 2-6x +2≤0, 解得≤x ,当x ∈]时,函数为减函数． (12分)
∴函数3x A 的增区间为(-+∞)；减区间为．。