课标通用安徽省中考数学总复习第一篇知识方法固基第五单元四边形考点强化练矩形菱形正方形试题.doc

考点增强练21矩形、菱形、正方形
夯实基础
1.
(2017 ·山东临沂 )在△ ABC 中,点 D 是边 BC 上的点 (与 B,C 两点不重合 ),过点 D 作 DE ∥AC,DF ∥AB, 分别交 AB,AC 于 E,F 两点 ,以下说法正确的选项是 ()
A.若 AD ⊥BC, 则四边形 AEDF 是矩形
B.若 AD 垂直均分 BC, 则四边形 AEDF 是矩形
C.若 BD=CD, 则四边形 AEDF 是菱形
D.若 AD 均分∠ BAC, 则四边形 AEDF 是菱形
答案 D
剖析若 AD ⊥BC, 无法判断四边形AEDF 是矩形 ,所以 A 错误 ;若 AD 垂直均分 BC, 可以判断四边形 AEDF 是菱形 ,所以 B 错误 ;若 BD=CD, 无法判断四边形 AEDF 是菱形 ,所以 C 错误 ;若 AD 均分∠BAC, 则∠ EAD= ∠ FAD= ∠ADF,所以 AF=DF, 又因为四边形 AEDF 是平行四边形 ,所以四边形AEDF 是菱形 ,故 D 正确 .
2.(2018 ·合肥四十五中模拟 )在?ABCD 中,AB=10,BC=14,E 、F 分别为边 BC 、AD 上的点 .若四边形 AECF 为正方形 ,则 AE 的长为 ()
A.7
B.4 或 10
C.5或9
D.6或8
答案 D
剖析
据题意画图 ,设 AE 的长为 x,依照正方形的性质可得 BE=14 -x,在△ ABE 中 ,依照勾股定理可得
x2+(14 -x)2=102, 解得 x1=6,x2=8. 故 AE 的长为 6 或 8.应选 D.
3.
(2017 ·浙江衢州 )如图 ,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=6, 将△ ABC 沿 AC 折叠 ,使点 B 落在点 E 处,CE 交 AD 于点 F,则 DF 的长等于 ()
A. B. C. D.
答案 B
剖析设 DF=x, 则 CF=AF=6 -x,由勾股定理有x2+42=(6 -x)2, 解得 x=.
4.
(2018 ·陕西 )如图 ,在菱形 ABCD 中,点 E 、F、G、H 分别是边 AB 、BC 、CD 和 DA 的中点 ,连接EF 、FG 、GH 和 HE. 若 EH=2EF, 则以下结论正确的选项是 ()
A.AB=EF
B.AB=2EF
C.AB=EF
D.AB=EF
答案 D
剖析
连接AC,BD, 交于点O. ∵E,F 分别为AB,BC 的中点, ∴EF=AC. ∵四边形ABCD 为菱形, ∴AO=AC,AC ⊥BD. ∴EF=AO. 同理 :EH=BO. ∵EH=2EF. ∴ BO=2AO. 在 Rt △ABO 中 ,设 AO=x, 则BO=2x. ∴ AB=x=AO. ∴AB=EF, 应选 D.
5.
(2018 ·合肥庐阳区一模 )如图 ,已知菱形 ABCD 的周长为 16, 面积为 8,E 为 AB 的中点 ,若 P 为对
角线 BD 上一动点 ,则 EP+AP 的最小值为 ()
A.2
B.2
C.4
D.4 ?导学号 16734128?
答案 B
剖析
如图作CE' ⊥AB 于E',交BD 于P',连接AC 、AP'. ∵菱形ABCD 的周长为16, 面积为8,∴AB=BC=4,AB ·CE'=8, ∴CE'=2. 在 Rt △BCE' 中,BE'==2, ∵ BE=EA=2, ∴E 与 E'重合 ,∵四边形ABCD 是菱形 ,∴BD 垂直均分 AC, ∴ A、C 关于 BD 对称 ,∴当 P 与 P'重合时 ,P'A+P'E 的值最小 , 最小值为 CE 的长 ,即为 2,应选 B.
6.
(2018 ·合肥瑶海区模拟 )如图 ,在平面直角坐标系中 ,四边形 ABCD 是菱形 ,∠ABC=60 ° ,且点 A 的坐标为 (4,0), 若 E 是 AD 的中点 ,则点 E 的坐标为
答案 (2,-2)
剖析过 E 作 EF∥AC,交 BD 于 F,EG∥BD,交 AC 于∵E是 AD 的中点,
∴G是 AO 的中点,F是 OD 的中点.
∵点 A 的坐标为 (4,0),G,
.?
∴点 G(2,0). 由菱形的性质,知AC ⊥ BD, ∠ADB= ∠CDB.
∵∠ ABC=60 °,
∴∠ ADB=30 °.
∴OD=OA=4.
∴OF=OD=2.
∴E(2, -2).
7.
(2018 ·贵州铜仁 )如图 ,Rt △ABC 中 ,∠C=90 °,AC=3,BC=4,D
⊥BC 于点 F,边接 EF,则 EF 的最小值为.?
答案 2.4
剖析
是AB上一点 ,DE ⊥AC于点E,DF
如图 ,连接 CD.
∵∠ C=90 ° ,AC=3,BC=4,
∴AB==5,
∵DE ⊥AC,DF ⊥BC, ∠ C=90 °,
∴四边形 CFDE 是矩形 ,∴ EF=CD.
由垂线段最短可得 CD ⊥ AB 时,线段 EF 的值最小 ,此时 ,S △ABC=BC · AC=AB ·CD,
即× 4×3=×5×CD, 解得 CD=2.4,
∴E F=2.4.
8.
(2017 ·山东青岛 )已知 : 如图 ,在菱形 ABCD 中 , 点 E,O,F 分别是边 AB,AC,AD 的中点 ,连接
CE,CF,OF,OE.
(1)求证 :△BCE ≌△ DCF;
(2)当 AB 与 BC 满足什么条件时 ,四边形 AEOF 是正方形 ?请说明原由 .
(1)证明∵四边形 ABCD 为菱形 ,
∴AB=BC=CD=DA, ∠B= ∠D.
又 E,F 分别是 AB,AD 中点 ,
∴BE=DF.
∴△ BCE ≌△ DCF(SAS).
(2)解若 AB ⊥ BC, 则 AEOF 为正方形 ,原由以下 :
∵E,O 分别是 AB,AC 中点 ,∴EO ∥BC,
又 BC∥AD,∴OE∥AD,即 OE∥AF.
同理可证 OF ∥AE, ∴四边形 AEOF 为平行四边形 ,由(1) 可得 AE=AF,
∴平行四边形 AEOF 为菱形 .
∵BC ⊥AB, ∴∠ BAD=90 °,
∴菱形 AEOF 为正方形 .
提升能力
9.
(2018 ·山东滨州 ) 如图 , 在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4, 点 E,F 分别在BC,CD 上 , 若 AE=, ∠EAF=45 °,则AF的长为.?
答案
剖析取AD、BC中点M、N,
由 AD=4,AB=2, 易得 ABNM 是正方形 ,连接 MN,EH, 由∠ HAE=45 °,四边形 ABNM 是正方形 ,可
知此处有典型的正方形内“半角模型”, 故有 EH=MH+BE. 由 AB=2,AE=, 易知 BE=1, 所以
EN=BN -BE=2 -1=1.设MH=x,由M是AD中点,△AMH∽△ADF可知 ,DF=2MH=2x,HN=2 -x,EH=MH+BE=x+1, 在 Rt △ EHN 中有 EN2+HN2=EH2, 故 12+(2 -
x)2=(x+1)2, 解得 x=,故 DF=, 故 AF=.
10.
(2018 ·江苏扬州 )如图 ,在平行四边形 ABCD 中,DB=DA, 点 F 是 AB 的中点 ,连接 DF 并延长 ,交
CB 的延长线于点 E,连接 AE.
(1)求证 :四边形 AEBD 是菱形 ;
(2)若 DC=,tan ∠DCB=3, 求菱形 AEBD 的面积 .
(1)证明∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,
∴AD ∥CE, ∴∠ DAF= ∠EBF.
∵∠ AFD= ∠BFE,AF=FB, ∴△
AFD ≌△ BFE, ∴ AD=EB.
∵AD ∥EB, ∴四边形 AEBD 是平行四边形 .
∵BD=AD, ∴四边形 AEBD 是菱形 .
(2)解∵四边形 ABCD 是平行四边形 ,
∴C D=AB=,AB ∥CD,
∴∠ ABE= ∠DCB.
∴t an ∠ABE=tan ∠ DCB=3.
∵四边形 AEBD 是菱形 ,
∴AB ⊥DE,AF=FB,EF=DF,
∴t an ∠ABE==3.
∵B F=, ∴EF=, ∴DE=3.
∴S 菱形 AEBD= ·AB·DE=×3
=15.? 导学号 16734129?
11.(2011 ·安徽 )如图 ,正方形 ABCD 的四个极点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4 上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1 、h2 、h3(h1>0,h2>0,h3>0).
(1)求证 :h1=h3;
(2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证 :S=(h2+h1)2+;
(3)若 h1+h2=1, 当 h1 变化时 ,说明正方形 ABCD 的面积为 S 随 h1 的变化情况 .
(1)证明过 A 点作 AF ⊥l3 分别交 l2、 l3 于点 E、F,过 C 点作 CH⊥l2 分别交 l2、l3 于点 H、 G,
∵四边形 ABCD 是正方形 ,l1 ∥l2∥l3∥ l4,
∴AB=CD, ∠ABE+ ∠ HBC=90 °,
∵CH ⊥l2,∴∠ BCH+ ∠HBC=90 °,
∴∠ BCH= ∠ABE,
∵∠ BCH= ∠CDG, ∴∠ ABE= ∠ CDG,
∵∠ AEB= ∠CGD=90 °,
在△ ABE 和△ CDG 中,
∴△ ABE ≌△ CDG(AAS),
∴AE=CG, 即 h1=h3.
(2)证明∵四边形 ABCD 是正方形 ,
∴AB=BC=CD=DA,
∵∠ AEB= ∠DFA= ∠ BHC= ∠CGD=90 ° ,∠ABE= ∠FAD= ∠ BCH= ∠ CDG,
∴△ AEB ≌△ DAF ≌△ BHC ≌△ CGD, 且两直角边长分别为 h1 、
h1+h2, ∴四边形 EFGH 是边长为 h2 的正方形 ,
∴S=4× h1(h1+h2)+=2+2h1h2+=(h1+h2)2+.
(3) 解由题意 ,得 h2=1 -h1,
所以 S=h1+1 -h12+ -h1+1=h1 -2+,
又解得 0<h1<,
∴当 0<h1< 时 ,S 随 h1 的增大而减小 ;
当 h1= 时 ,S 获取最小值 ;
当<h1< 时,S 随 h1 的增大而增大 . ?导学号 16734130?
创新拓展
12.已知正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 订交于点 O.
(1)如图 1,E,G 分别是 OB,OC 上的点 ,CE 与 DG 的延长线订交于点 F.若 DF⊥ EC, 求证 :OE=OG;
(2)如图 2,H 是 BC 上的点 ,过点 H 作 EH ⊥BC, 交线段 OB 于点 E,连接 DH 交 CE 于点 F,交 OC 于点 G.若 OE=OG,
①求证 :∠ ODG= ∠ OCE;
②当 AB=1 时 ,求 HC 的长 .
(1)证明∵四边形 ABCD 是正方形 ,
∴AC ⊥BD,OD=OC.
∴∠ DOG= ∠COE=90 ° ,
∴∠ OEC+ ∠OCE=90 °.
∵DF ⊥CE, ∴∠ OEC+ ∠
ODG=90 °. ∴∠ OCE= ∠ODG,
∴△ DOG ≌△ COE(ASA). ∴OE=OG.
(2)①证明∵ OD=OC, ∠DOG= ∠COE=90 ° ,
又∵ OE=OG, ∴△ DOG ≌△ COE(SAS).
∴∠ OCE= ∠ODG.
②解设 CH=x, ∵四边形 ABCD 是正方形 ,AB=1, ∴ BH=1 -x.
∴∠ DBC= ∠BDC= ∠ACB=45 °,
∴EH=BH=1 -x.
∵∠ OCE= ∠ODG,
∴∠ BDC -∠ ODG= ∠ ACB -∠OCE,
∴∠ HDC= ∠ECH.
∵EH ⊥BC, ∴∠ EHC= ∠ HCD=90 °.
∴△ CHE ∽△ DCH, ∴.
∴HC2=EH ·CD, 得 x2+x -1=0,
解得 x1=,x2=( 舍去 ),
∴HC=.。