安徽省定远重点中学高三上学期第三次月考数学(文)含答案

高三上学期第三次月考试卷
数学（文科）试题
姓名： 座位号：
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。

请在答题卷上作答。

第I 卷 （选择题 共60分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。

)
1.已知全集{}()(){}{}21,2,3,4,5,120,1,U A x x x B x x a a A ==--===+∈集合，则集合
()U C A B ⋃等于( )
A. {}1,2,5
B. {}3,4
C. {}3,4,5
D. {}1,2 2.已知z 是纯虚数，若()31a i z i +⋅=-，则实数a 的值为( ) A. 1 B. 3 C. －1 D. －3 3.已知R a ∈，则“1a ≤”是“112a a ++-=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.函数()()()()
132{
log 12x e x f x x x -<=--≥，则不等式()1f x >的解集为( )
A. ()1,2
B. 4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ C. 41,3⎛⎫
⎪⎝⎭ D. [)2,+∞
5.函数y x a =+与x
xa
y x
=（0a >且1a ≠）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A.
B. C. D.
6.已知双曲线C 的两个焦点12,F F 都在x
轴上，对称中心为原点，离心率为若点M
在C 上，且12MF MF ⊥， M
C 的方程为（ ）
A. 22148x y -
= B. 22148y x -= C. 2212y x -= D. 22
12
x y -= 7.在等差数列{}n a 中，已知6100a a +=，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为（ ）
A. 6
B. 7或8
C. 8
D. 9
8.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F , P 是它们的一个交点，且123
F PF π
∠=，记椭圆
和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12
1
e e 的最大值为（ ）
9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面
积S C =，
且1,a b ==c =（ ）
10.已知0ω>， 0a >， (
)sin cos f x a x x ωω=， ()2cos 6g x ax π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
()()()
f x h x
g x =
这3个函数在同一直角坐标系中的部分图象如下图所示，则函数
()()g x h x +的图象的一条对称轴方程可以为
( )
A. 6
x π
=
B. 136x π=
C. 2312x π=-
D. 2912
x π
=- 11.把函数22sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位就得到了一个奇
函数的图像，则ϕ的最小值是（ ）
A.
12π B. 6π C. 3π D. 512
π 12.已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是 （ ）
A. (),1-∞
B. ()0,1
C. 21,e e +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D. 210,e e +⎛⎫ ⎪⎝⎭
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若命题“∃x 0∈R ，使得x 2＋mx ＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是______________．
14.已知函数()x f x xe =，若关于x 的方程()()()2230f x tf x t R -+=∈有两个不等实数根，则t 的取值范围为__________．
15.已知π1sin cos 63αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭__________．
16.奇函数()f x 是R 上单调函数， ()()()313g x f ax f x =+-有唯一零点，则a 的取值集合为____________．
三、解答题(共6小题 ,共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

) 17.（本小题满分10分）
已知函数()212f x x ax =-+-． （1）若1a =-，解不等式()x f x x
>
；
（2）若对任意x R ∈，恒有()f x a ≥-，求实数a 的取值范围． 18. （本小题满分10分）
在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B C
a b c
+=. (1)求tan C 的值；
(2)若2228a b c +-=，求ABC 的面积. 19.（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =， 131n n a S +=+， *n N ∈. （1）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；
（3）若数列{}n b 满足10b =， ()12log 2n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式. 20. （本小题满分12分）
已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为
圆心且与直线l 相切的圆的方程． 21. （本小题满分12分）
已知双曲线22
15x y -=的焦点是椭圆C ： 22221x y a b
+=（0a b >>）的顶点，且椭圆
与双曲线的离心率互为倒数. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动点M ， N 在椭圆C 上，且MN =
，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.
22. （本小题满分12分）
已知函数()()ln 01
a
f x x a x =+
≥+. (1)当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率； (2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)当函数()f x 有极值时，若对0x ∀>， ()()23
1
20161
x a f x a x x +-≤-++恒成立，求实
数a 的取值范围.
文科数学试题答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.D
6.C
7.B
8.A
9.B 10.C 11.D 12.B 13.[]2,6
14.1322e e ⎫+⎪⎭
15.
79
16.{}|0 4 a a a ≤>或
17.(1) 解集为()(),04,-∞⋃+∞;(2) 4,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【解析】（1）当1a =-时，原不等式为212x x x x
--->，
①当0x >时，
不等式化为2130x x --->，
等价于10{ 2320x x <≤
--> 或1
{ 240
x x >
->
解得4x >． ②当0x <时，
不等式化为()2121x x ---->-，
解得0x <．
所以原不等式的解集为()(),04,-∞⋃+∞．
（2）()()()123,2212{
1
21,2
a x x f x x ax a x x +-≥
=-+-=--<
， 对任意x R ∈，恒有()f x a ≥-，所以只需()min f x a ≥-． 又当20
{
20
a a +≥-≤，即22a -≤≤时， ()f x 有最小值
11
222
f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 由题意得22
{ 1
22
a a a
-≤≤-≥-，解得4
23a ≤≤． 所以实数a 的取值范围是4,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
18.(1)
1
2
；(2)1. 【解析】(1)∵
sinA sinB cosC a b c +=，由正弦定理得sinA sinB cosC sinA sinB sinC +=，∴1
2
tanC =. (2)由2
2
2
8a b c +-=，得222822a b c cosC ab ab
+-==，∴4
ab cosC =，
∴114
2122ABC
S
absinC sinC tanC cosC
=
=⨯⨯==. 19.（1）14n n a -=；（2）311
499
n n n T -=
⋅+；（3）()1n b n n =-。

【解析】（Ⅰ）由已知得， 24a =， 316a =. …………………2分 由题意， 131n n a S +=+，则当2n ≥时， 131n n a S -=+. 两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ………………………3分 又因为11a =， 24a =，
2
1
4a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（*n N ∈）. ………………………………4分 （Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=+++
+=+⨯+⨯+
+⋅，
所以()2314412434144n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， ……………………5分
两式相减得， 2
1
1431444
4414
n
n n
n n T n n ---=++++-⋅=-⋅-， ………7分
整理得， 311
499
n n n T -=
⋅+ (*n N ∈). ………………………………8分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=. 相加得， 122232log log log n n b b a a a -=+++. …………………11分
依题意()122log log 421n n a n -==-. 因为10b =，所以()()21211n b n n n ⎡⎤=+++-=-⎣⎦（2n ≥）.
显然当10b =时，符合.
所以()1n b n n =- (*n N ∈). …………………12分
20.（Ⅰ）22
143
x y +
=（Ⅱ）（x ﹣1）2+y 2=2． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为
，由题意可得：
椭圆C 两焦点坐标分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． ∴
．
∴a=2，又c=1，b 2=4﹣1=3， 故椭圆的方程为
．
（Ⅱ）当直线l ⊥x 轴，计算得到：
，
，不符合题
意．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x+1），
由
，消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0
显然△＞0成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则，
又
即，
又圆F 2的半径
，
所以
，
化简，得17k 4+k 2﹣18=0，
即（k 2﹣1）（17k 2+18）=0，解得k=±1
所以，，
故圆F 2的方程为：（x ﹣1）2+y 2=2．
21.（Ⅰ）2216x y +=;
【解析】（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()
，离心率为5
.
因为双曲线22
15x y -=的焦点是椭圆C ： 22221x y a b
+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双
曲线的离心率互为倒数，所以a ==，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2
216
x y +=.
（Ⅱ）因为2MN =
>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.
代入椭圆方程2
216
x y +=得()221612k x kmx +++ ()2610m -=.
因为()()2
2122416km k ∆=-+ ()2124m -= ()22160k m +->，
所以221+6m k <.
设()11,M x y ， ()22,N x y ，
根据根与系数的关系得1221216km
x x k -+=+， ()
2122
6116m x x k -=+.
则12MN x =- ==
因为MN ==. 整理得()
422
2
18397
91k k m k
-++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.
所以22
1875509t t m t -+-=
= 15075189t t ⎡⎤⎛
⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =， 25
3
m =满足2216m k <+，符合题意.
故m 22.(1) ()1
'14
f =
(2)见解析（3）(]4,2016 【解析】(1)当3a =时， ()()
2
13
'1f x x x =
-+，∴()1'14f =. (2) ()()()()
()222
211'011x a x a
f x x x x x x +-+=-=>++， 令()()221
g x x a x =+-+，
①当04a ≤≤时， ()2
240a ∆=--≤， ()0g x ≥，即()'0f x ≥，函数()f x 在()0,+∞上单调递增.
②当4a >时， 0∆>，令()'0f x =，则202
a x -±=
>，
在⎛ ⎝⎭和⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上， ()'0f x >，函数()f x 单调递增；
在⎝⎭
上， ()'0f x <函数()f x 单调递减. (3)由(1)可知，当4a >时，函数()f x 在()0,+∞上有极值.
()()23
120161
x a f x a x x +-≤-++可化为331ln 2016ax x x x ≤--+，
∵0x >，∴()3
1
1ln 2016a x x x ≤
--+， 设()()1ln 0h x x x x =-->，则()11'1x h x x x
-=-
=， 当01x <<时， ()'0h x <，函数()h x 单调递减，当1x >时， ()'0h x >，函数()h x 单调递增，
∴当0x >， ()()10h x h ≥=，∴()3
1
1ln 20162016x x x --+≥， 所以2016a ≤.
又∵4a >，∴42016a <≤，即a 的取值范围是(]4,2016.。