2015_2016学年高中数学第2章7向量应用举例课时作业北师大版必修4

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 7向量应用举例课时
作业 北师大版必修4
一、选择题
1．已知A (3,7)，B (5,2)，将AB →
按向量a ＝(1,2)平移后所得向量的坐标是( ) A ．(1，－7) B ．(2，－5) C ．(10,4) D ．(3，－3)
[答案] B
[解析] AB →＝(5－3,2－7)＝(2，－5)，向量平移，向量的坐标不发生变化，所以，AB →
按向量a ＝(1,2)平移后所得向量的坐标要仍然为(2，－5)，故答案为B ．
2．在菱形ABCD 中，下列关系式不正确的是( ) A ．AB →∥CD →
B ．(AB →＋B
C →)⊥(BC →＋C
D →) C ．(AB →－AD →)·(BA →－BC →
)＝0 D ．AB →·AD →＝BC →·CD → [答案] D
[解析] AB →·AD →＝|AB →||AD →
|cos A ， BC →
·CD →＝|BC →||CD →
|cos(π－A )，
∴AB →·AD →＝－BC →·CD →.
3．已知点A (－2，－3)，B (19,4)，C (－1，－6)，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
[答案] C
[解析] AC →
＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
AB →
＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
所以AC →·AB →
＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0. 故AC →⊥AB →，且|AB →|≠|AC →|.
4．在△ABC 中，若AB →·BC →＋|AB →|2
＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
[答案] C
[解析] ∵AB →·BC →＋|AB →|2
＝0，
∴AB →·BC →＋AB →2＝0，即AB →·(BC →＋AB →
)＝0. ∴AB →·AC →
＝0.
∴AB →⊥AC →
，即AB ⊥AC ． ∴∠A ＝90°.
∴△ABC 是直角三角形．
5.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成120°角，且F 1，F 2的大小分别为1和2，则有( )
A ．F 1，F 3成90°角
B ．F 1，F 3成150°角
C ．F 2，F 3成90°角
D ．F 2，F 3成60°角 [答案] A
[解析] 由F 1＋F 2＋F 3＝0⇒F 3＝－(F 1＋F 2)⇒F 2
3＝(F 1＋F 2)2
＝F 2
1＋F 2
2＋2|F 1||F 2|cos120°＝1＋4＋4×(－1
2)＝3⇒|F 3|＝3，由|F 1|＝1，|F 2|＝2，|F 3|＝3知，F 1，F 3成90°角，故
选A ．
6．两个大小相等的共点力F 1 ，F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A ．40N
B ．102N
C ．202N
D ．103N
[答案] B
[解析] |F 1＋F 2|＝20.
又F 1⊥F 2，所以|F 1|＝|F 2|＝102， 当F 1与F 2夹角为120°时， |F 1＋F 2|＝F 2
1＋2F 1·F 2＋F 2
2＝200＋200＋2×200×－
1
2
＝102(N)．
二、填空题
7．设点A (1,1)，B (3，y )，且AB →
为直线2x －y ＋1＝0的方向向量，则y ＝________. [答案] 5
[解析] AB →
＝(2，y －1)， 依题意得
y －1
2
＝2，所以y ＝5.
8．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________. [答案] －1
4
[解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算． 如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝12(a ＋b )，BE →＝BC →＋CE →＝(b －a )＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫－b 3＝2
3
b －a ， ∴AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ＝13
a ·
b －|a |22＋|b |2
3－12a ·b
＝|b |23－|a |2
2－16a ·b ＝13－12－16×12＝－1
4.
三、解答题
9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ．求证：AD ⊥CE .
[证明] 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则
B (0，a )，E (x ，y )．
∵D 是BC 的中点，∴D (0，a
2)．
又∵AE ＝2EB ，即AE →＝2EB →
， 即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝2
3
A ．
要证AD ⊥CE ，只需证AD →与CE →垂直，即AD →·CE →
＝0.
∵AD →
＝(0，a 2)－(a,0)＝(－a ，a 2
)，
OE →
＝CE →＝(a 3，2
3
a )，
∴AD →·CE →
＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13
a 2＝0，
∴AD →⊥CE →
，即AD ⊥CE .
10．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线所在直线的方程． [解析] 向量AB →＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，AC →
＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)． 又∠A 的平分线的一个方向向量为 AB
→
|AB →|
＋
AC
→
|AC →|
＝(35，45)＋(－45，35)＝(－15，75)， 则∠A 的平分线所在的方程可设为75x ＋1
5y ＋m ＝0，
将点(4,1)的坐标代入，得m ＝－29
5，
整理得7x ＋y －29＝0，
即∠A 的平分线所在直线的方程为7x ＋y －29＝0.
一、选择题
1．已知两点A (3,2)，B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 为( ) A ．0或－1
2
B ．1
2或－6 C ．－12或12
D ．0或1
2
[答案] B
[解析] 直线的法向量为n ＝(m,1)，其单位向量为n 0＝n |n |＝1
1＋m
2
(m,1)，在直线上任取一点P (0，－3)，依题意有|AP →·n 0|＝|BP →
·n 0|，从而|－3m －5|＝|m －7|，解得m ＝12
或
m ＝－6.故选B ．
2．已知|a |＝2，|b |＝1，且关于x 的方程x 2
＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
A ．[0，π
6]
B ．[π
3，π]
C ．[π3，2π3]
D ．[π
6
，π]
[答案] B
[解析] 由题意得Δ＝|a |2
－4a ·b ≥0，所以cos 〈a ，b 〉≤12，故〈a ，b 〉∈[π3，π]．
二、填空题
3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点坐标为A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →
，其中α＋β＝1，α，β∈R ，则点C 的轨迹方程是________．
[答案] x ＋2y －5＝0
[解析] 设C (x ，y )，∵OC →＝αOA →＋βOB →
，且α＋β＝1，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3α－β＝3α－1＋α＝4α－1，y ＝α＋3β＝α＋31－α＝3－2α，消去α得x ＋2y －5＝0.
4．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
[答案] λ>－5
3
且λ≠0
[解析] ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－5
3.
当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m )．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋λ＝m 2＋λ＝2m
，得λ＝0，
即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，∴λ≠0. 即λ>－5
3且λ≠0.
三、解答题
5.如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：
(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，角θ的取值范围．
[解析] (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：
－G ＝F 1＋F 2，根据直角三角形可得|F 1|＝|G |
cos θ， |F 2|＝|G |·tan θ
.
当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大． (2)令|F 1|＝|G |cos θ≤2|G |，得cos θ≥1
2，则0°≤θ≤60°.
6．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →
＝(5,1)．设点X 是线段OP 上的一动点(O 为坐标原点)．
(1)当XA →·XB →取得最小值时，求OX →
的坐标；
(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求∠AXB 的余弦值．
[解析] (1)由于点X 在直线OP 上，则X (2x 0，x 0)，从而XA →
＝(1－2x 0,7－x 0)， XB →
＝(5－2x 0,1－x 0)，故XA →·XB →
＝(1－2x 0,7－x 0)·(5－2x 0,1－x 0)＝5x 20－20x 0＋12＝5(x 0
－2)2
－8≥－8，
∴XA →·XB →
的最小值为－8， 此时x 0＝2，从而OX →
＝(4,2)．
(2)当OX →＝(4,2)时，有XA →＝(－3,5)，XB →
＝(1，－1)， ∴XA →·XB →＝－8，且|XA →|＝34，|XB →
|＝ 2. 从而cos ∠AXB ＝XA →·XB →|XA →||XB →|
＝－834×2＝－417
17.
7．已知在等腰△ABC 中，BB ′、CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值．
[解析] 解法一：如图，建立平面直角坐标系．
设A (0，a )，C (c,0)，则B (－c,0)，OA →＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →
＝(c,0)，BC →＝(2c,0)，AC →
＝(c ，－a )，
∵BB ′、CC ′为AC 、AB 边的中线， ∴BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，a 2，
同理CC ′→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3c 2，a 2.
∵BB ′→⊥CC ′→，∴BB ′→·CC ′→＝0，∴－9c 2
4＋a 2
4＝0，a 2＝9c 2
，
∴cos A ＝AB →·AC →
|AB →|·|AC →|
＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝4
5.
解法二：令AB →＝a ，AC →＝b ，则|AB →|＝|AC →|⇒|a |＝|b |，BC →
＝b －A ． ∴BB ′→＝12(BA →＋BC →
)＝－a ＋12
b ，
CC ′→
＝12
(CA →
＋CB →
)＝－b ＋12
A ．
由BB ′→⊥CC ′→
得(－a ＋12b )·(－b ＋12a )＝0.
∴a ·b －12|b |2－12|a |2
＋14a ·b ＝0.
∴54a ·b ＝12|a |2＋12|b |2＝|a |2
. ∵∠A 就是a 与b 的夹角，
∴cos A ＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝
a ·
b 54
a ·
b ＝4
5
.。