初三第8讲 函数压轴专题

二、抛物线与直角三角形、矩形、正方形、直角梯形
方法：（1）勾股定理；（2）构造“K ”型
题型：判断三角形的形状；求直角三角形的顶点坐标；
1.（成都2009）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,
与x 轴的交点为N ，且cos ∠BCO。

(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；
2.平面直角坐标系xOy 中，抛物线234
54122+-++--
=m m x m
x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上。

(1)求点B 的坐标；
(2)点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED=PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C,D 也随之运动）
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ．延长QF 到点M ，使得FM=QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动）．若P 点运动到t
秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．
的横坐标为(1)的函数关系式，并求出
．
三、抛物线与平行四边形
方法：（平移法+代数法）
题型：3定1动或2定2动的存在性（设点的坐标列方程求解）
1.已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。

则抛物线的解析式为 ；若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，则D 点的坐标为 ；
2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线A （-1,0），B （3,0）C （0，-1）三点。

点Q 在y 轴上，点P 在过A 、B 、C 三点的抛物线上，要使Q 、P 、
A 、
B 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件点P 的坐标为 。

3.（成都2004）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于不同的两点A 和B(4，0)，与y 轴交于点C(0，8)，其对称轴为1x =.（1）求此抛物线的解析式；（2）过A 、B 、C 三点作⊙O ′与y 轴的负半轴交于点D,求经过原点O 且与直线AD 垂直（垂足为E 的直线OE 的方程； （3）设⊙O ′与抛物线的另一个交点为P ，直线OE 与直线BC 的交点为Q ，直线x m =与抛物线的交点为R ，直线x m =与直线OE 的交点为S 。

是否存在整数m ，使得以点P 、Q 、R 、S 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

4.（成都2012）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数5
4
y x m =
+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，，为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ．（1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
5．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x 轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．。