2022-2023学年福建省泉州市永春三中片区九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年福建省泉州市永春三中片区九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式√x−1有意义，则x的取值范围为( )
A. x≥1
B. x≥0
C. x>1
D. x>0
2. 已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为1，则k的值为 ( )
A. −2
B. 2
C. −4
D. 4
3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，
另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边长为( )
A. 3cm
B. 4cm
C. 4.5cm
D. 5cm
4. 下列计算正确的是( )
A. √3⋅√2=√6
B. √3+√2=√5
C. √(−2)2=−2
D. √2+√2=2
5. 一元二次方程x(x−3)=x−3的根是( )
A. −1
B. 1和3
C. −1和3
D. 3
6. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形(阴影部分
)与△EFG相似的是．( )
A. B. C. D.
7. 如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A. AB
AD =AC
AE
B. ∠B=∠D
C. AB
AD
=BC
DE
D. ∠C=∠AED
8. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程( )
A. 560(1+x)2=1850
B. 560+560(1+x)2=1850
C. 560(1+x)+560(1+x)2=1850
D. 560+560(1+x)+560(1+x)2=1850
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，F为BC中点，P是线段BC上一点，设BP=m(0< m≤4)，连结AP并将它绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE、EF，则在点P从点B向点C的运动过程中，有下面四个结论：①当m≠2时，∠EFP=135°；②点E到边BC的距离为m；③直线EF一定经过点D；④CE的最小值为√2.其中结论正确的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ②③④
D. ③④
10. 如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，则AE：AN=( )
A. 1
2B. 2
3
C. 3
4
D. 5
6
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算：(√5+1)(√5−1)=______．
12. 若a
b =5
3
，则a+b
b
=______．
13. 如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△AOC的面积的比是______．
14. 如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A(1,3)，B(m,0)，C(m+2,0)，D(5,1)，当四边形ABCD的周长最小时，m的值为______ ．
15. 如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=2，若AC=AD且∠ACD=60°，则对角线BD的长最大值为______．
16. 如图，l1，l2分别是反比例函数y=k
x (k>2)和y=2
x
在第一象限内的图象，点A在l1上，
线段OA交l2于点B，作AC⊥x轴于点C，交l2于点D，延长OD交l1于点E，作EF⊥x轴于点F，下列结论：
①S△AOD=S
四边形CDEF
；
②BD//AE；
③BD
AE =2
k
；
④EF2=AC⋅CD．
其中正确的是______.(填序号)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：(π−3)0+(1
2
)−1−√6×√2+|√3−2|
18. (本小题8.0分)
先化简⋅再求值：x+3
x2−4÷(1+1
x+2
)，其中x=√3+2．
19. (本小题8.0分)
已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,2)，B(1,−1)，C(3,0)．
(1)在图1中，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来的2倍的△A1B1C1；
(2)若P(a,b)是AB边上一点，平移△ABC之后，点P的对应点P′的坐标是(a+3,b−2)，在图2中画出平移后的△A2B2C2．
20. (本小题8.0分)
商场某种商品平均每天可销售80件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到4950元？
21. (本小题8.0分)
阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2，例如：(x−1)2+3是x2−2x+4的一种形式的配方，(x−2)2+2x是x2−2x+4的另一种形式的配方……
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2−4x+1的两种不同形式的配方；
(2)已知x2+y2−4x+6y+13=0，求2x−y的值．
22. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长
线于点E，交DC于点N．
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB=12，BM=5，求DE的长．
23. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+(k−5)x+1−k=0．
(1)无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个根分别是x1，x2，若(x1−3)(x2−3)<0，求k的最大整数值．
24. (本小题12.0分)
如图，在等腰△ABC，AB=AC，BC=kAB.点D是边AC上一个动点(不与端点重合)，以BD为对角线作菱形BEDF，使得∠BED=∠BAC，DF交边BC于点H．
(1)求证：∠ABE=∠CBD；
(2)求证：在点D的运动过程中，线段BH，BE，BC之间总满足数量关系BH⋅BC=k2BE2；
(3)连接EC，探索在点D的运动过程中，△EBC面积的变化规律．
25. (本小题14.0分)
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，求出∠DCP的大小．
(2)如图2，正方形ABCD的边长为2，AM=1，在CM下方以CM为斜边作等腰直角△CMN，求DN的最大值．
(3)如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值，当AB=4时，
请你求出△ADP周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵二次根式√x−1有意义，
∴x−1≥0，
解得：x≥1．
故选：A．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，
解得k=2．
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1−3+k=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.【答案】C
【解析】解：设另一个三角形的最长边为x cm，
∵两个三角形相似，
∴5 2.5=9
x
，
解得，x=4.5，
则另一个三角形的最长边为4.5cm，
故选：C．
根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
4.【答案】A
【解析】解：A、√3⋅√2=√6，故A符合题意；
B、√3与√2不能合并，故B不符合题意；
C、√(−2)2=2，故C不符合题意；
D、√2+√2=2√2，故D不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的加法乘法，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：方程移项得：x(x−3)−(x−3)=0，
分解因式得：(x−3)(x−1)=0，
所以x−3=0或x−1=0，
解得：x1=3，x2=1．
故选：B．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．根据勾股定理，易得出△EFG的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可根据相似三角形的判定得到结论．
【解答】
解：∵小正方形的边长为1，
∴在△EFG中，EG=√2，FG=2，EF=√1+32=√10，
A中，一边=3，一边=√2，一边=√1+22=√5，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两
三角形不相似．故A错误；
B中，一边=1，一边=√2，一边=√22+1=√5，
有√2
1=
√2
=√10
√5
△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；
C中，一边=1，一边=√5，一边=2√2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；
D中，一边=2，一边=√5，一边=√32+22=√13，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．
故选B．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∴选项B、D根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，
选项A根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，根据二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份的产量是560(1+x)吨，三月份的产量是560(1+x)(1+x)=560(1+x)2，再根据第一季度共生产钢铁1850吨列方程即可．
【解答】
解：依题意得二月份的产量是：560(1+x)，
三月份的产量是：560(1+x)(1+x)=560(1+x)2，
∴560+560(1+x)+560(1+x)2=1850．
故选D．
9.【答案】C
【解析】解：如图1，当点P在线段BF上时，过点E作EH⊥BC于H，
∵F为BC中点，
∴CF=BF=2，
∵将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴AP=PE，∠APE=90°=∠ABP=∠PHE，
∴∠BPA+∠EPH=90°，∠BAP+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠EPH，
在△BAP和△HPE中，
{∠ABP=∠PHE ∠BAP=∠HPE AP=PE
，
∴△BAP≌△HPE(AAS)，
∴BP=EH=m，AB=PH=2，
∴FH=PH−PF=2−(2−m)=m，∴EH=FH，
∴∠EFH=45°，
∴∠EFP=135°，
∵CD=CF=2，
∴∠DFC=45°，
∴点D在直线EF上，
当点P在点F右边时，如图2，
过点E作EM⊥BC，交BC的延长线于点M，在△BAP和△MPE中，
{∠ABP=∠PME ∠BAP=∠MPE AP=PE
，
∴△BAP≌△MPE(AAS)，
∴EM=BP=m，PM=AB=2，
∴FM=FP+PM=(m−2)+2=m，
∴EM=FM，
∴∠EFM=45°，
∵∠DFC=45°，
∴点D在直线EF上，
综上所述：m≠2时，∠EFP=45°或135°，点E到BC的距离为m，点D在直线EF上，故①错误，②③正确，
∵点E在DF上运动，
∴当CE⊥DF时，CE有最小值，如图3，
∵CD=CF，∠DCF=90°，CE⊥DF，
∴DF=√2CD=2√2，CE=DE=EF=√2，
∴CE的最小值为√2，故④正确，
故选：C．
分两种情况讨论，由“AAS”可证△BAP≌△HPE，△BAP≌△MPE，可得BP=EH=m，AB= PH=2，EM=BP=m，PM=AB=2，可得m≠2时，∠EFP=45°或135°，点E到BC的距离为m，点D在直线EF上，故①错误，②③正确，由等腰直角三角形的性质可求CE的最小值为√2，故④正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设正方形的边长为2a，DH=x，
则CH=2a−x，
由翻折的性质，DE=1
2AD=1
2
×2a=a，
EH=CH=2a−x，
在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2，即a2+x2=(2a−x)2，
解得x=3
4
a，
∵∠MEH=∠C=90°，
∴∠AEN+∠DEH=90°，
∵∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
∴tan∠ANE=tan∠DEH=DH
DE =
3
4
a
a
=3
4
．
∴AE：AN=3
4
．
故选：C．
设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，再根据同角的余角相等求出∠ANE=∠DEH，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出正方形的边长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．
11.【答案】4
【解析】解：原式=(√5)2−12，
=5−1，
=4．
故答案为：4．
根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算．
本题考查了二次根式的乘法，应用平方差公式可以简化计算．
12.【答案】8
3
【解析】解：∵a
b =5
3
，
∴a+b
b =a
b
+b
b
=5
3
+1=8
3
．
故答案为：8
3
．
由a
b =5
3
，根据比例的性质，即可求得a+b
b
的值．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握比例的性质与比例变形．
13.【答案】1
4
【解析】
【分析】
此题主要考查学生对三角形的重心和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用相似三角形的面积比等于相似比的平方．
根据三角形的重心的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】
解：∵O是△ABC的重心，
∴M，N分别为AB，BC的中点，
∴MN//AC，MN=1
2
AC，
∴△MON∽△COA，
∴S △MON S △AOC =MN 2AC
2=14． 故答案为：1
4．
14.【答案】5
2
【解析】解：将C 点向左平移2单位与B 重合，点D 向左平移2单位到D′(3,1)，
作D′关于x 轴的对称点D″，根据作法知点D″(3,−1)，
设直线AD″的解析式为y =kx +b ，
则{k +b =33k +b =−1
， 解得k =−2，b =5．
∴直线AD″的解析式为y =−2x +5．
当y =0时，x =52，
即B(52,0)，m =52
． 故答案为：52．
因为AD ，BC 的长度都是固定的，所以求出AB +CD 的长度就行了．问题就是AB +CD 什么时候最短．把D 点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x 轴的对称点D″，连接AD″，交x 轴于P ，从而确定C 点位置，此时AB +CD 最短．设直线AD″的解析式为y =kx +b ，待定系数法求直线解析式．即可求得m 的值．
考查了轴对称−最短路线问题，关键是熟悉关于x 轴的对称点，两点之间线段最短等知识． 15.【答案】5
【解析】解：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．
∵AD=AC，AK=AB，∠DAC=∠KAB，
∴∠DAK=∠CAB，
在△DAK和△CAB中，
{DA=CA
∠DAK=∠CAB KA=BA
，
∴△DAK≌△CAB，
∴DK=BC=2，
∵DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，
∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5．
故答案为5．
如图，在AB的右侧作等边三角形△ABK，连接DK.由△DAK≌△CAB，推出DK=BC=2，因为DK+ KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，所以当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵点A，点E在反比例函数y=k
x
的图象上，
∴S△AOC= k
2
=S△OEF，
∴S△AOD=S
四边形CDEF
；故①正确；
如图，过点B作BH⊥OC于H，
∴BH//AC ，
∴△OBH∽△OAC ，
∴
S △OBH S △OAC =OB 2OA 2， ∴OB 2
OA 2=2k ，
∴OB OA =√2k ，
同理可证：OD OE =√2k
， ∴OD OE =OB OA
， 又∵∠BOD =∠AOE ，
∴△BOD∽△AOE ，
∴∠OBD =∠OAE ，BD AE =OB OA =√2k
，故③错误， ∴BD//AE ，故②正确；
设点A(a,k a )，则点D(a,2 a
)，点C(a,0)， ∴AC =k a ，CD =2 a ，
∴AC ⋅CD =2k a 2，
∵CD//EF ，
∴△ODC∽△OEF ，
∴CD EF =OD OE =√2k ， ∴EF =√2k =√2k
a ， ∴EF 2=2k
a 2=AC ⋅CD ，故④正确；
故答案为：①②④．
由反比例函数的性质可得S△AOC= k
2
=S△OEF，可得S△AOD=S四边形CDEF；故①正确；通过证明△
OBH∽△OAC，可得OB
OA =√2
k
，可证△BOD∽△AOE，可得∠OBD=∠OAE，BD
AE
=OB
OA
=√2
k
，可证
BD//AE，故②正确；故③错误；设点A(a,k
a )，则点D(a,2
 a
)，点C(a,0)，可求AC⋅CD的值，由相
似三角形的性质可求EF的长，即可判断④正确，即可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，利用参数表示线段的长是解题的关键．
17.【答案】解：原式=1+2−2√3+2−√3
=5−3√3．
【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：x+3
x2−4÷(1+1
x+2
)
=x+3
(x+2)(x−2)÷x+2+1
x+2
=x+3
(x+2)(x−2)⋅x+2 x+3
=1
x−2
，
当x=√3+2时，原式=
√3+2−2=
√3
=√3
3
．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1就是所求作的三角形
(2)如图所示：
如图△A2B2C2就是所求作的三角形
【解析】(1)将各点的横纵坐标分别扩大2倍，找到对应点后顺次连接即可．
(2)先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移两个单位即可得出图形．
本题考查位似及平移作图的知识，难度不大，关键是掌握两种变换对应点的寻找办法．
20.【答案】(2x)(60−x)
【解析】解：(1)由题意，可得商场日销售量增加(2x)件，每件商品盈利(60−x)元．
故答案为(2x)；(60−x)；
(2)由题意得：(60−x)(80+2x)=4950
化简得：x2−20x+75=0，
解得x1=5，x2=15．
∵该商场为了尽快减少库存，
∴x=5舍去，
∴x=15．
答：每件商品降价15元时，商场日盈利可达到4950元．
(1)降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利−降低的钱数；
(2)等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=4950，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系并正确列式，是解题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意得，
x2−4x+1
=x2−4x+4−4+1
=(x−2)2−3；
x2−4x+1
=x2−2x+1−2x
=(x−1)2−2x；
(2)∵x2+y2−4x+6y+13=0，
∴(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=0，
即(x−2)2+(y+3)2=0，
∴x−2=0，y+3=0，
∴x=2，y=−3，
∴2x−y=2×2+3=7．
【解析】(1)模仿例题配方即可；
(2)利用配方法结合非负数是性质求解．
本题考查利用配方法解决问题，非负数的性质，解题的关键是灵活运用配方法解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD//BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
(2)解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM=√122+52=13，AD=12，
∵F是AM的中点，
AM=6.5，
∴AF=1
2
∵△ABM∽△EFA，
∴BM AF =AM
AE
，
即5
6.5=13
AE
，
∴AE=16.9，
∴DE=AE−AD=16.9−12=4.9．
【解析】(1)由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD//BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵Δ=(k−5)2−4×(1−k)
=k2−10k+25−4+4k
=k2−6k+21
=(k−3)2+12>0，
∴不论k取何实数，该方程总有两个实数根；
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=−(k−5)，x1x2=1−k，
∵(x1−3)(x2−3)<0，
即x1x2−3(x1+x2)+9<0，
∴1−k+3(k−5)+9<0，
解得k<5
2
，
∴k的最大整数值为2．
【解析】(1)先计算根的判别式的意义得到Δ=(k−3)2+12，则可判断Δ>0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)先利用根与系数的关系得x1+x2=−(k−5)，x1x2=1−k，再利用(x1−3)(x2−3)<0得到1−k+3(k−5)+9<0，然后解不等式得到k的取值范围，从而确定k的最大整数值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+
x2=−b
a
，x1x2=c a.也考查了根的判别式．
24.【答案】(1)证明：∵四边形BEDF为菱形，
∴EB=ED，
∴∠EBD=1
2
×(180°−∠BED)，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=1
2
(180°−∠BAC)，∴∠BED=∠BAC，
∴∠EBD=∠ABC，
∴∠EBD−∠ABD=∠ABC−∠ABD，
即∠ABE=∠CBD；
(2)证明：∵四边形BEDF为菱形，EB//DF，
∴∠BDH=∠DBE=∠CBA=∠DCB，
又∵∠DBH=∠CBD，
∴△DBH∽△CBD，
∴BD BC =BH
BD
，
即BH⋅BC=BD2，
又∵∠BED=∠BAC，∠EBD=∠ABC，∴△EBD∽△ABC，
∴BC AB =BD
EB
=k，
∴BH⋅BC=k2⋅BE2；
(3)解：△EBC面积固定不变．如图，连接AE，
∵∠ABE=∠CBD，且EB
AB =BD
BC
，
∴△EBA∽△DBC，
∴∠EAB=∠DCB=∠CBA，
且在D点运动过程中(E点也随之运动)，∠EAB=∠CBA，始终成立，
∴E点的运动轨迹为以图中AE连线所在的直线，
即AE//BC，则在△EBC中，以BC为底边，点E向BC作垂线，
所得高ℎ即为两平行线AE，BC之间的距离为定值，
∴△EBC面积固定不变．
【解析】(1)根据菱形的性质和等腰三角形的性质可得∠BED=∠BAC，∠EBD=∠ABC，可得答案；
(2)利用△DBH∽△CBD，得BD
BC =BH
BD
，即BH⋅BC=BD2，再通过证明△EBD∽△ABC，得BC
AB
=BD
EB
=k，
从而证明结论；
(3)根据△EBA∽△DBC，得∠EAB=∠DCB=∠CBA，可知E点的运动轨迹为以图中AE连线所在的直线，从而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，得出点E的运动路径是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图1中，在AB上取AF=EC，连接EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠B=90°，
∵BE=BF，
∴AF=CE，
∵∠AEP=90°，
∴∠CEP+∠AEB=90°，
∵∠FAE+∠AEB=90°，
∴∠FAE=∠CEP，
在△FAE和△CEP中，
{AE=EP
∠FAE=∠CEP AF=EC
∴△FAE≌△CEP(SAS)，
∴∠ECP=∠AFE，
∵AF=EC，AB=BC，
∴BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠AFE=135°，
∴∠ECP=135°，
∴∠DCP=45°；
(2)如图2中，连接AC，BD，BN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠ACB=45°，∴AC=BD=√2CB=2√2，
∵NM=NC，∠CNM=90°，
∴CM=√2CN，∠NCM=∠ACB=45°，
∴∠BCN=∠ACM，
∵BC AC =CN
CM
=
√2
，
∴△BCN∽△ACM，
∴BN AM =CB
CA
=
√2
，
∴AM=1，
∴BN=√2
2
，
∴DN≤DB+BN=2√2+√2
2=5√2
2
，
∴DN的最大值为5√2
；
2
(3)连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由(1)知，∠DCP=45°，
∴∠CDG=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB=4，
∴BG=8，
由勾股定理得AG=√82+42=4√5，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG=4+4√5．
【解析】(1)在AB上取AF=EC，连接EF，由(1)同理可得∠CEP=∠FAE，则△FAE≌△CEP(SAS)，再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；
(2)图2中，连接AC，BD，BN.利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出BN，可得结论；
(3)作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．。