2022秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程小结习题课件新版新人教版

解得 x1＝2，x2＝4. (2)由题知 a＝3，b＝2 3，c＝－2.
则 x1,2＝－2
3± 6
12＋24＝－2 63±6＝－
3±3 3.
－ ∴x1＝
33＋3，x2＝－
3－3 3.
考点 4 一元二次方程的根的判别式 5. 已知关于 x 的一元二次方程(m－1)x2－(2m－1)x＋m＋1＝0(m 为常数)有两 个实数根，求 m 的取值范围．
解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2， 原方程可化为 t2＋4t－5＝0.
解：(t＋5)(t－1)＝0， t＋5＝0 或 t－1＝0， ∴t1＝－5，t2＝1， 当 t＝－5 时， x2＋2x＝－5，此方程无解；
当 t＝1 时， x2＋2x＝1，则 x2＋2x＝1，配方得(x＋1)2＝2，解得 x1＝－1＋ 2， x2＝－1－ 2. 经检验，原方程的解为 x1＝－1＋ 2，x2＝－1－ 2.
∴ax2＋bx＋c＝ax2－6ax＋8a.∴bc＝＝8－a.6a， ∴a，c 之间的关系是 a＝81c.
当两个根为 2 和 1 时，同理可得 a，c 之间的关系是 a＝12c. 综上所述，a，c 之间的关系是 a＝81c 或 a＝21c.
10. 已知 a，b，c 均为非零实数，关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 其中一个实数根为 2.
解：设点 P，Q 移动的时间为 x s， 则由题意知 AP＝x cm，BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm，CQ＝(7－2x)cm.
(1)S△PBQ＝21PB·BQ＝21×(5－x)·2x＝4. 整理，得 x2－5x＋4＝0， 解得 x1＝1，x2＝4. 当 x＝1 时，5－1>0,7－2×1>0，满足题意； 当 x＝4 时，5－4>0,7－2×4<0，不满足题意，舍去． 故 1 s 后，△PBQ 的面积为 4 cm2.
个实数根，求 m 的取值范围；当 m 为非负整数时，求出此时方程的根．
解：∵关于 x 的方程(m＋2)x2－3x＋1＝0 有两个实数根，
m + 2 0,
∴
Δ
=
(-3)2
-
4
(m
+
2)
1≥
0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解得 m≤14且 m≠－2. ∵m 为非负整数，∴m＝0. 当 m＝0 时，原方程为 2x2－3x＋1＝0，
(2)设单价应降低 y 元， 则每天的销售量是(20＋2y)台． 根据题意，得(140－100－y)(20＋2y)＝1 250， 整理，得 y2－30y＋225＝0， 解得 y1＝y2＝15. 故单价应降低 15 元．
17. (2021·江苏徐州期中)如图，小李从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形 铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 m 的正方形后，剩下的部分刚好能围成一 个容积为 35 m3 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2 m， 现已知购买这种铁皮每平方米需 30 元钱，小李购回这张矩形铁皮共花了多少 元钱？
(3)不能. 理由如下：仿照(1)， 得21(5－x)·2x＝7， 整理，得 x2－5x＋7＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝25－4×1×7＝－3<0， ∴此方程无实数解．
∴△PBQ 的面积不能为 7 cm2.
12. (2021·甘肃兰州城关区期中)已知关于 x 的方程(m＋2)x2－3x＋1＝0 有两
16. 某工厂生产一批小家电，2018 年的出厂价是 144 元，2019 年，2020 年连 续两年改进技术，降低成本，2020 年出厂价调整为 100 元． (1)这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率；
解：(1)设平均下降率为 x， 根据题意，得 144(1－x)2＝100， ∴(1－x)2＝110404， ∴1－x＝± 110404＝±56， ∴x1＝161＞1(不合题意，舍去)，x2＝16≈16.67%. 故平均下降率约为 16.67%.
11. 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，当一点到达终点时另一点也停止运动． (2)如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么几秒后，P，Q 的长度为 5 cm?
10. 已知 a，b，c 均为非零实数，关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 其中一个实数根为 2.
(1) 填 空 ： a ＞ b ＞ c,4a ＋ 2b ＋ c___＝_____0 ， a___＞_____0 ， c____＜____0( 填
“＞”“＜”或“＝”)．
10. 已知 a，b，c 均为非零实数，关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 其中一个实数根为 2. (2)若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根，满足一个根 为另一个根的 2 倍，我们就称这样的方程为“倍根方程”，若原方程是倍根 方程，则 a，c 之间的关系怎样？ 解：(2)根据“倍根方程”的概念得到一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个 根为 2 和 4 或为 1 和 2. 当两个根为 2 和 4 时，∴原方程可以改写为 a(x－2)(x－4)＝0.
C. (x＋10)2＝91
D. (x＋10)2＝109
4. 解方程： (1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7；
(2)3x2＋2 3x－2＝0.
解：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，
去括号，得 4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，
移项，合并同类项，得 x2－6x＋8＝0，
因式分解，得(x－2)(x－4)＝0，
解：由题意，得(2m－1)2－4(m－1)(m＋1)≥0 且 m≠1， 解得 m≤54且 m≠1.
考点 5 根与系数关系的应用 6. 设 a，b 是方程 x2＋x－2 021＝0 的两个不相等的实数根，求a1＋1b的值．
解：根据根与系数关系，得 a＋b＝－1，ab＝－2021， 故a1＋b1＝b＋aba＝－－20121＝20121.
(2)由题意知 PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)2， 若 PQ＝5 cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25. 解得 x1＝0 (舍去)，x2＝2. 当 x＝2 时，5－2>0,7－2×2>0，满足题意． 故 2 s 后，PQ 的长度为 5 cm.
11. 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，当一点到达终点时另一点也停止运动． (3)在(1)中，△PBQ 的面积能否为 7 cm2？并说明理由．
(3)若 a＝1 时，设方程的另一根为 m(m≠2)，在两根之间(不包含两根)的所有
整数的绝对值之和是 7，求 b 的取值范围．
(3)若 a＝1 时，x2＋bx＋c＝0， ∴m＝－b－2. 当 m＞2 时，2 与 m 之间的和为 7 的整数是 3,4， ∴4＜m≤5，得 4＜－b－2≤5. ∴－7≤b＜－6. 当 m＜2 时，m 与 2 之间的绝对值和为 7 的整数是 1,0，－1，－2，－3， ∴－4≤m＜－3，得－4≤－b－2＜－3. ∴1＜b≤2. 综上，b 的取值范围为－7≤b＜－6 或 1＜b≤2.
第二十一章 一元二次方程
小结
考点 1 一元二次方程的定义 1. 如果(m－7)x|m－5|－4x＋3＝6 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值．
解：根据题意知m|m－－75≠|＝0，2， 解得 m＝3.
考点 2 一元二次方程的根的定义 2. 已知－1 是方程 x2＋ax－b＝0 的一个根，求 a2－b2＋2b 的值．
8. (2020·十堰)根据图中数字的规律，若第 n 个图中出现数字 396，则 n 等于
( B )．
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
9. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整， 求出 x 的值． 【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程．
解：∵－1 是方程 x2＋ax－b＝0 的一个根， ∴1－a－b＝0. ∴a＋b＝1. ∴a2－b2＋2b＝(a＋b)(a－b)＋2b＝a－b＋2b＝a＋b＝1.
考点 3 一元二次方程的解法
3. 用配方法解方程 x2＋10x＋9＝0，配方后可得( A )．
A. (x＋5)2＝16
B. (x＋5)2＝1
考点 6 一元二次方程的应用 7. 某市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药 库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，
孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户 2019 年投资 20 万元种植 中药材，到 2021 年三年共累计投资 95 万元，若在这两年内每年投资的增长 率相同．
∴Δ＞0，即(2k＋3)2－4k(k＋1)＞0，解得 k＞－98. 综上所述，k 的取值范围是 k＞－89且 k≠0.
14. 关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.若 x21＋x22＝11，求 m 的值．
解：根据题意，得 Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)＞0， 解得 m＞－94. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2. ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(2m＋1)2－2(m2－2)＝11， 整理，得 m2＋2m－3＝0， 即(m＋3)(m－1)＝0， 解得 m1＝－3(舍去)，m2＝1， ∴m 的值为 1.
(1)求该种植户每年投资的增长率； (2)按这样的投资增长率，请你预测 2022 年该种植户投资多少元种植中药材． 解：(1)设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为 x， 根据题意，得 20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝95， 解得 x＝－3.5(舍去)或 x＝0.5＝50%. 故该种植户每年投资的增长率为 50%. (2)2022 年该种植户投资额为 20(1＋50%)3＝67.5(万元)．
11. 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，当一点到达终点时另一点也停止运动． (1)如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积为 4 cm2?
即(2x－1)(x－1)＝0，解得 x1＝12，x2＝1，
∴当 m 为非负整数时，此时方程的根为12或 1.
13. 已知关于 x 的方程 kx2＋(2k＋3)x＋k＋1＝0. (1)若 x＝1 是该方程的根，求 k 的值；
(2)若该方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．
解：(1)把 x＝1 代入该方程，得 k＋2k＋3＋k＋1＝0，解得 k＝－1. (2)分两种情况讨论： ①当 k＝0 时，原方程可化为 3x＋1＝0，解得 x＝－13， 与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去； ②当 k≠0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程． ∵该方程有两个不相等的实数根，
16. 某工厂生产一批小家电，2018 年的出厂价是 144 元，2019 年，2020 年连 续两年改进技术，降低成本，2020 年出厂价调整为 100 元． (2)某商场今年销售这批小家电的售价为 140 元时，平均每天可销售 20 台， 为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电单价每降低 5 元， 每天可多售出 10 台，如果每天盈利 1 250 元，单价应降低多少元？
15. (2021·湖北武汉江夏区期中)已知关于 x 的方程 x2＋(2k－2)x＋k2－1＝0 有
两个实数根 x1，x2.若 x1，x2 满足 x1x2＋x1＋x2＝4，求 k 的值．
解：∵方程有两个实数根 x1，x2， ∴Δ＝[(2k－2)]2－4(k2－1)≥0， 解得 k≤1. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－(2k－2)，x1x2＝k2－1， 由 x1x2＋x1＋x2＝4，得 k2－1－2k＋2＝4. 即 k2－2k－3＝0， 解得 k1＝3，k2＝－1. ∵k≤1， ∴k＝－1.