定积分的概念 公开课一等奖课件

1.5.1 曲边梯形的面积
y
f b
f a
y f x
o
a
图1.5 1
b
x
思考 图1.5 1 中,阴影部分类似于一个梯 形, 但有一 边是曲线 y f x 的一段,我们把由直线 x a, x b a b , y 0和曲线 y f x 所围成的图形称为曲边 梯形,如何计算这个曲边梯形 的面积呢?
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
在学习过的函数中 , 许多函数(例如 y x, y x 2, y x等) 的图形都是某个区间 I上 的一条连续不断的曲线 .一般地, 如果函数 不断的曲线 , 那么我们就把它称为区 间 I上 的连续函数. 如不加说明 ,下面研究的都是连续函 数.
y f x 在某个区间I上的图象是一条连续

o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.5 5
图1 .5 5的演变过程, 也可以用几何画板演示 .
4取极限 分别将区间 0,1等分成 4,8,,20, 等份 图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大 ,即Δx趋向
1 1 1 于0时, Sn 1 1 趋向于 S, 从而有 S 3 n 2n n 1 i 1 1 1 1 1 lim Sn lim f lim 1 1 . n n n 3 n 2n 3 i1 n n
2
1 n 1n2n 1 1 1 1 3 1 1 . n 6 3 n 2n
1 1 1 从而可得 S的近似值 S Sn 1 1 . 3 n 2n
y
y
y
y x2
y
yx
2
y x2
y x2
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
1
x
思考 图1.5 2中的曲边梯形与我们熟 悉的" 直边 图形"的主要区别是什么 ? 能否将求这个曲边梯形 面积S 的问题转化为求" 直边图形" 面积问题?
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯形与" 直边图形" 的主要区 别是, 前者有一边是曲线段 , 而" 直边图形" 的所有边都是 直线段.
y
y x2
o
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值 .可以想象 ,随着拆分越来越 细, 近似程度就会越来越好 . 也即 : 用化归为计算矩 形面积和逼近的思想方 法求出曲边梯形的面积 .我 们通过下面步骤来具体 实施这种方法 .
在区间 0,1 上间 隔地插入 n 1个点, 将它等 分成 n个小区间 : 1 1 2 n 1 0, n , n , n , , n ,1 ,
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
1分割
y
y x2
o
i 1 i n n
1 x
i 1 i 记第 i个区间为 , i 1 ,2, , n, 其长度为 n n i i 1 1 Δx . 分别过上述 n 1个点作 x轴的 n n n 垂线, 把曲边梯形分成 n个小曲边梯形 图1.5 3 ,
下面先研究一个特殊情 形 : 如何求抛物线y x 2 与直线x 1, y 0所围所的平面图形 (图1.5 2中 阴影部分)的面积S ?
图1.5 2中的图形可以 看成是直线x 0 , x 1, y 0 和曲线y x 2所围 成的曲边梯形 .
y
y x2
S
o
图1.5 2
1 .5
定积分的概念
在过去的学习中 , 我们已经知道正方形、 三角 形、平行四边形、梯形 等平面 " 直边图形" 的 面积 ; 物理中, 我们知道了匀速直线运动的时 间、速度与路程的关系 等等.在数学和物理中 , 我们还经常会 遇到计算平面曲线围成 的平面 " 曲边图形 " 的面积、变速直线运动 物体位移、 变力做功的问题.如何解决这些问题呢 ? 能否 把求 " 曲边图形 " 面积 转化为求 " 直边图形 "面 积 ? 能否利用匀速直线运动 的知识 解决变 速 直线运动的问题? 为此 , 我们需要学习新的数 学知识 定积分.
探究 在 " 近似代替" 中,如果认为函数 f x x 2 在 i 1 i 区间 , i 1,2, , n上的值近似地等于右端 点 n n i i 处的函数值 f , 用这种方法能求出 S 的值吗? n n 1 i 1 i 若能求出 , 这个值也是 吗 ? 取任意ξ i , 处 3 n n 的函数值f ξ i 作为近似值,情况又怎样?
我们通过下表还可以从 数值上看出这一变化趋 势.
区间0,1的等分数n 2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
它们的面积记作 Δs1, ΔS2 , , ΔSn .显然, S ΔSi .
i1 n
图1.5 3
y
y x2
o
y
i 1 i n n
1 x
图1.5 3
y x2
o
i 1 i n n
1
图1.5 4
上,可以认为函数 f x x 2 的值变化很小 , 近似等于一 个常数 ,不妨认为它近似地 i 1 等于左端点 处的函数 n i 1 值f .从图形上看 , 就是 x n 用平行于 x轴的直线段近似
y
f b f a
y f x
o
a
图1.5 1
b
x
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
i 1 i 可以证明,取f x x 在区间 , 上任意一 n n 点ξ i处的值 f ξ i 作近似值 , 都有
2
1 1 S lim f ξ i Δx lim f ξ i . n n n 3 i1
n
一般地, 对如图1.5 1 所示的曲边梯形 , 我们 也可以采用分割、近 似代替、求和、取极 值的方法求出其面积 .
y
y x2
S
o
1
x
在过去的学习中 , 我们曾经
图1.5 2
用多边形逼近圆的方法 ,利用多边形面积求出圆 的面积 .这种" 以直代曲" 的思想启发我们, 是否也 能用直边形 (比如矩形)逼近曲边梯形的方法 , 求图 1.5 2 中阴影部分面积呢?
如图1.5 3, 把区间 0,1 分成 许多小区间 , 进而把曲边梯形 拆分为一些小曲边梯形 .对每 一个小曲边梯形 " 以直代曲 " 即用矩形 的面积 近似 代 替 小 曲边梯形的面积 , 得到每个小
记f x x 2 . 如图 1.5 3 ,当n很大 , 即 i 1 i Δx很小时, 在区间 , n n
2近似代替
y
yx
2
o
y
i 1 i n n
1 x
地代替小曲边梯形的曲 边图1.5 4 .这样, 在区 i 1 i 间 , 上, 用小矩形 n n 的面积 ΔS 近似地代替 ΔSi , 即在局部小范围内 " 以直代曲 " , 则有 ΔSi i 1 ' ΔS i f Δx n
' i
图1.5 3
y x2
o
i 1 i n n
1
x
图1.5 4
i 1 1 i 1,2, , n. n n
2
3求和
n
由2,图1.5 4中阴影部分的面积 Sn 为
n n 2 ' i
i 1 i 1 1 Sn ΔS f Δx n i1 i1 n i1 n
1 1 1 n 1 1 可以证明 0 n n n n n 2 2
1 2 2 2 3 1 2 n 1 n
2 2


1 2 n 1 n 1n2n 1 . 6