(完整版)流体力学NS方程推导过程

流体力学NS方程简易推导过程
小菜鸟0引言
流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。

1基本假设
空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。

不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。

自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。

连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。

连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具
体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。

有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。

在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系：
λM
≈
δRe
从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd的程度。

可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。

前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连
续介质假设范围内的结果。

2连续性方程：质量守恒定律的流体表达
根据质量守恒定律，我们知道，在流场取的控制体满足如下物理规律：控制体的总质量不随着运动而变化的，在运动过程中控制体始终由相同流体微团组成，因此利用流场物理量将物理规律用数学公式表达可得：
D ρdV =0⎰⎰⎰D t V
根据引论1中的内容，上式左边随体导数可以采用两种形式的偏导数表示：
∂ρv v v ⎤⎡∂ρdV +ρv ⋅n dS =+∇⋅ρv ()()⎥dV =0Ò⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎢∂t ∂t ⎦V D V
⎣（1）微元体表达形式：
∂ρv +∇⋅(ρv )=0∂t
根据引论1中微元体的随体导数关系可以得到：
D ρv 1D ρv +ρ∇⋅v =0或者∇⋅v =-ρDt Dt
（2）张量表达形式：
∂ρ∂+(ρu j )=0∂t ∂x j
3动量方程：牛顿第二定律的流体表达
根据牛顿第二定律，流场中取出控制体满足如下规律：某一时刻，控制体中所有流体微团的总动量随时间的变化率=控制体中所有流体微团受到的合力。

控制体受力主要包括表面力和体积力，表面力作用于物体表面，例如压力等应力，表面力可以分解为法向力和切向力，法向力通常为压力，切向力通常为粘
性力（当然这不是绝对，因为法向力还包括流场可压缩性引起的法向应力）；体积力作用于流场中每一个流体微团，例如重力，电磁力等。

因此，牛顿第二定律可以表达为：控制体总动量随时间变化率=控制体表面力合力+控制体体积力合力（为了推导方便，下面将体积力忽略，在重力等法向力影响较大时，将该项加入即可）。

利用流场变量可以将上述定律表达为数学公式：
t v D v v ρvdV =-pndS +τ⋅ndS ⎰⎰⎰⎰D t ⎰⎰⎰V S S
其中根据引论1和引论2，可知方程左边具有两种偏导数表达形式，
v v Dv ∂ρv v v v L =⎰⎰⎰ρdV =⎰⎰⎰dV +⎰⎰ρv (v ⋅n )dS D t ∂t V V S t R =⎰⎰⎰(-∇p +∇⋅τ)dV
V
（1）微元体表达形式：
v t Dv ρ=-∇p +∇⋅τD t
根据引论2，上式左边具有这两种偏导数表达形式（一种根据定义，一种引入质量守恒关系）：
v v v Dv ∂v v v ∂ρv v ρ=ρ+ρ(v ⋅∇)v =+∇⋅(ρv )D t ∂t ∂t
（2）张量表达形式：
ρDu i ∂p ∂τij =-+D t ∂x i ∂x j
根据引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式（一种定义，一种引入质量守恒）：
ρDu i ∂u ∂u ∂ρu i ∂=ρi +ρu j i =+ρu i u j )(D t ∂t ∂x j ∂t ∂x j
（3）补充说明1：粘性应力表达式
上述公式中，我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各项同性假设，粘性应力张量可以表达为：
τij =λs δij +2μs ij
∂u k 1⎛∂u i ∂u j ⎫s ij = +,s =⎪⎪2 ∂x ∂x ∂x k
i ⎭⎝j 其中，\miu 称为动力粘性系数。

2根据Stokes 假设，在通常情况下，体积粘性系数μ'=λ+μ=0，于是上述3
粘性应力表达为：
⎛∂u i ∂u j 2∂u k ⎫τij =μ +-δij ⎪ ∂x ⎪∂x 3∂x i k
⎝j ⎭（4）补充说明2：粘性应力的空间导数
在动量方程中，粘性应力的空间导数可以表达为：
⎛∂u i ∂u j 2∂u k ⎫∂μ⎛∂u i ∂u j 2∂u k ⎫
+-δij ⎪++-δij ⎪ ∂x ⎪∂x ∂x ⎪∂x 3∂x ∂x 3∂x i k j ⎝j i k
⎝j ⎭⎭∂2u i μ∂s ∂μ⎛∂u i ∂u j 2∂u k ⎫=μ+++-δij ⎪ ∂x j ∂x j 3∂x j ∂x j ⎝∂x j ∂x i 3∂x k ⎪⎭∂τ
ij ∂=μ∂x j ∂x j 如果流场为不可压缩s=0并且粘性系数不随空间改变，即温度不变，可以简化为：
∂τij ∂2u i =μ,when s =0,μ=C ∂x j ∂x j ∂x j
（5）补充说明3：动力粘性系数表达式：
该公式中动力粘性系数是流体的基本变量，该系数表征流体分子之间动量交换的快慢程度，与流场的温度相关，与压力等其他变量关系较小，在温度为
100到1900K 范围，可以采用Sutherland 公式进行表达：
μ⎛T ⎫T 0+T ref T 1.5= ⎪=μ0⎝T 0⎭T +T ref T +T ref 1.5⎛T 01.5/ T +T ⎝0ref ⎫,when T ∈[100,1900]K ⎪⎪⎭
其中，T ref
=110.3，T0和\miu0则可以采用任何温度的结果，例如在常温288K 情况下，动力粘性系数为1.7894X10-5。

4能量方程：能量守恒定律的流体表达
根据能量守恒定律，流场中取出控制体满足如下物理规律：
控制体的总能量增加=控制体受到外力做功+外界向控制体热传导
采用流场变量可以将该物理定律表达为数学形式(e=CvT 表示流场内能，内能可以采用定容比热乘以温度得到)：
t v v D 12⎫v v v ⎛ρe +v dV =-pv ⋅ndS +τ⋅v ⋅ndS +k ∇T ⋅ndS ⎪⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D t V ⎝2⎭S S S
其中，根据引论1和2可知，方程左边具有两种偏导数表达形式：
⎧∂⎛D ⎛12⎫12⎫⎡⎛12⎫v ⎤⎫e +v dV =ρe +v +∇⋅ρe +v ⎪v ⎥⎬dV ⎨ ⎪ ⎪ ⎢⎰⎰⎰D t ⎝2⎭∂t ⎝2⎭2⎭⎦⎭⎣⎝V V ⎩t v v R =⎰⎰⎰⎡-∇⋅pv +∇⋅τ⋅v )+∇⋅(k ∇T )⎤
()(⎣⎦dV L =⎰⎰⎰ρV
（3）微元体表达形式：
ρt v D ⎛12⎫v e +v =-∇⋅pv +∇⋅τ⋅v )+∇⋅(k ∇T )()( ⎪D t ⎝2⎭
根据引论1和2可知上式具有两种偏导数表达形式：
ρD ⎛12⎫∂⎛12⎫⎡v ⎛12⎫⎤v ⎛12⎫∂⎡⎛12⎫⎤e +v =ρe +v +ρv ⋅∇e +v =ρe +v +∇⋅() ⎪ ⎪ ⎪⎪⎥⎢ ⎢ρv e +2v ⎪⎥D t ⎝2⎭∂t ⎝2⎭2∂t 2⎝⎭⎭⎦⎭⎦⎣⎝⎣⎝
（2）张量表达形式
A:总能公式E=e+ v 2/2
DE ∂∂∂ρ=-pu j
)+τij u i )+((D t ∂x j ∂x j ∂x j ⎛∂T k ∂x j ⎝⎫⎪⎪⎭
根据引论1和引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式：
ρDE ∂E ∂E ∂∂=ρ+ρu j =(ρE )+(ρEu j )D t ∂t ∂x j ∂t ∂x j
B:内能公式e=E- v 2/2
∂τij Du i De D ⎛12⎫DE DE DE ∂p ⎛Du i
⎫ρ=ρ-ρu i =ρ-u i ρ-u i +u i E -v ⎪=ρ⎪=ρD t D t ⎝2⎭D t Dt D t Dt D t ∂x ∂x j
⎝⎭i 将总能关系式代入上述公式可得：
De ∂∂∂ρ=-pu +τu +(j
)∂x (ij i )∂x D t ∂x j j j ⎛∂T k ∂x j ⎝⎫∂τij ∂u ∂p ∂-u i +u i =-ps +τij i +⎪⎪∂x i ∂x j ∂x j ∂x j ⎭⎛∂T k ∂x j ⎝⎫⎪⎪⎭
因此可得内能关系式为：
∂u De ∂ρ=-ps +τij i +D t ∂x j ∂x j ⎛∂T k ∂x j ⎝⎫⎪⎪⎭
根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

C ：焓公式h=e+p/rou
ρDh D ⎛p ⎫De Dp p D ρDe Dp =ρe +=ρ+-=ρ++ps ⎪D t D t ⎝ρ⎭D t Dt ρDt D t Dt
将内能关系式代入上式可得：
∂u i Dh Dp ∂⎛∂T ρ=+τij + k D t Dt ∂x j ∂x j ⎝∂x j ⎫⎪⎪⎭
根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

D ：总焓公式h0=h+v 2/2=E+p/rou
ρ∂τij
Dh 0Du i D ⎛12⎫Dh Dh ∂p =ρh +v =ρ+ρu =ρ-u +u i i i ⎪D t D t ⎝2⎭D t D t D t ∂x i ∂x j
注意上式中采用了引论2中的内容，将焓关系式代入上式可得：
Dh Dp ∂u ∂ρ0=+τij i +D t Dt ∂x j ∂x j ⎛∂T k ∂x j ⎝⎫∂τij ∂p -u +u i ⎪⎪i ∂x ∂x i j
⎭于是可得总焓关系式为：
Dh ∂p ∂τu ∂ρ0=+ij i +D t ∂t ∂x j ∂x j ⎛∂T k ∂x j ⎝⎫⎪⎪⎭
根据引论1和引论2上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

E ：熵公式Tds=dh-dp/rou
根据熵公式，可得熵的随体导数为：
ρT ∂u D s Dh Dp ∂=ρ-=τij i +D t Dt Dt ∂x j ∂x j ⎛∂T k ∂x j ⎝⎫⎪⎪⎭
根据引论1和引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式，略。

根据熵公式，可以知道，熵的增加主要来自两个部分，一是粘性力引起，二是热传导引起，如果流场中粘性应力和热传导都可以忽略，则流场满足等熵关系。

（3）补充说明：粘性力耗散
几个公式中都存在粘性力的做功项，称之为耗散项fai ，该项具体表达式可以表示为：
Φ=τij ∂u i μ⎛∂u i ∂u j 2∂u k ⎫⎛∂u i ∂u j ⎫= +-δij ⎪+⎪⎪∂x ⎪∂x j 2 ∂x ∂x 3∂x ∂x i k i ⎭
⎝j ⎭⎝j 2
∂u j ⎫⎛∂u i ∂u j ⎫μ⎛∂u i ∂u j ⎫⎛∂u k ⎫μ⎛∂u i ∂u j ⎫⎛∂u i ∂u j ⎫2μ⎛∂u k ⎫= ++-+δ=++-⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂x ⎪3 ∂x ⎪ ∂x ij ⎪2 ∂x ⎪∂x ⎪3 ∂x ⎪2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x j i j i j i k j i j i ⎝⎭⎝k
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12222222⎤=3μ⎡4A +4A +4A +2(A +A )+2(A +A )+2(A +A )-4μA +A +A ()112233122123323113112233⎣⎦6μ⎛∂u i {
μ={3⎡2A +2A +2A 3
⎣μ={3⎡(A +A )+(A 3
⎣21122221221}233+(A 12+A 21)2+(A 23+A 32)2+(A 31+A 13)2⎤⎦-2(A 11+A 22+A 33)222+A 32)2+(A 31+A 13)2⎤⎦+6A 11+6A 22+6A 33-2(A 11+A 22+A 3323})}22
=μ{3⎡(A 3⎣12222+A 21)2+(A 23+A 32)2+(A 31+A 13)2⎤⎦+2⎡⎣(A 11-A 22)+(A 22-A 33)+(A 33-A 11)⎤⎦}
222=μ⎡⎣(A 12+A 21)+(A 23+A 32)+(A 31+A 13)⎤⎦+2μ⎡(A 11-A 22)2+(A 22-A 33)2+(A 33-A 11)2⎤⎣⎦3
其中：
⎡A 11[A ]=⎢⎢A 21⎢⎣A 31A 12A 22A 32A 13⎤∂u i A 23⎥,A =⎥ij ∂x j A 33
⎥⎦5附件：随体导数的偏导数表达（控制体/微元体？包含密度？）
引论1：控制体和微元体的随体导数表达式
D φ∂φv ∂φ∂φ=+v ⋅∇φ=+u j D t ∂t ∂t ∂x j
D ∂φv v v ⎤⎡∂φφdV =dV +φv ⋅n dS =+∇⋅φv ()()⎥dV Ò⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎢D t V ∂t ∂t ⎦V D V
⎣利用随体导数物理定义和数学上导数定义（求极限方法）容易得到第一个公式，利用控制体积分量的随体导数物理定义，也容易得到第二个公式，在流体力学教材中也很容易找到这两种随体导数的定义。

为什么这么做，写出这样一个公式？因为随体导数是拉格朗日观点，随体导数非常符合物理思维，利用随体导数很容易表达物理规律，例如牛顿第二定律F=ma ，因此推导公式过程中经常采用随体导数。

不过流场中物理量通常采用随时间和空间变化的四维函数，直接利用该函数无法得到随体导数，只能得到一些偏导数，需要根据随体导数的物理定义将随体导数表达成合成偏导数形式。

引论2：包含密度的控制体和微元体随体导数
在后续方程推导中经常出现包含密度的随体导数情况，将包含密度的随体导数利用连续性方程进行化简，可以极大简化推导难度。

包含密度的随体导数利用了引论1+连续性方程，也就是随体导数定义和连续性方程两个规律，具体推导如下：
D v ⎤⎡∂ρφdV =ρφ+∇⋅ρφv ()()⎥dV ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎢D t V ∂t ⎦
V
⎣∂ρD φv v ⎤⎡∂φ=⎰⎰⎰⎢ρ+ρv ⋅∇φ+φ+φ∇⋅(ρv )⎥dV =⎰⎰⎰ρdV ∂t ∂t D t ⎦
V ⎣V ⇒ρD φ∂(ρφ)v =+∇⋅(ρφv )D t ∂t 整理一下这两个关系式可以得到：
D D φv ⎤⎡∂ρφdV =ρφ+∇⋅ρφv dV =ρdV ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎢⎥D t V ∂t D t ⎦V ⎣V
ρ∂(ρφ)D φ∂φv v =ρ+ρv ⋅∇φ=+∇⋅(ρφv )D t ∂t ∂t
说明物理是控制体还是微元体，带密度随体导数都包含两种表现形式，一种是引论1中的物理定义形式，另一种是加入了连续性方程以后的变形形式，这两种形式都很重要，为了学好流体力学，都需要牢记。

为什么引入引论2，如引论1中所述的理由一样，利用随体导数表达物理规律更加方便，然而随体导数无法直接利用流场物理量计算得到，于是需要各种化简得到容易处理的结果。