中考数学总复习4二次函数与几何函数综合题类型2探究角度实力关系的存在性习题课件

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二次函数与几何的动点及最值、存在性问题(解析版)-2024中考数学

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

二次函数综合(5种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

重难点专项突破：二次函数综合（5种题型）【题型细目表】题型一：线段周长问题题型二：面积问题题型三：角度问题题型四：特殊三角形问题题型五：特殊四边形问题【考点剖析】题型一：线段周长问题一、解答题【答案】（1）()1,0B b +；（2）b =【分析】（1）根据A 、B 两点关于二次函数的对称轴对称，求得点B 的坐标；（2）根据A 的坐标，求出,b c 的关系式，根据平移求出B '的坐标，代入二次函数，求得b 值．【详解】解（1）∵2y x bx c =−++∴对称轴：直线22b b x a =−= ∴2122b AB b ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭∵A 点横坐标为－1∴()1,0B b +（2）把()1,0A −代入2y x bx c =−++ 得：10b c −−+=，即1c b =+∵平移线段CB ，使C 与D 重合点∴B 平移后得点31,12b B b ⎛⎫+−− ⎪⎝⎭ ∵点B 在抛物线上 ∴233111122b b b b b ⎛⎫⎛⎫−+++++=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得b = ∵0b >∴b =【点睛】涉及到了点的平移变换和一元二次方程，熟练掌握二次函数的有关性质和点的平移规则是解题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+−经过点A （－1，0），B （5，0）．(1)求抛物线的表达式．(2)过点C （0，m ）作直线l x ∥轴交抛物线于点P ，Q （点P 在点Q 的左侧），若3QC PC =，求m 的值．【答案】(1)2312355y x x =−− (2)215．【分析】（1）把点A （-1，0），B （5，0）代入抛物线表达式进行计算即可解答；（2）根据已知QC=3PC ，可设点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ），然后代入（1）中二次函数表达式即可解答．【详解】（1）把点A （-1，0），B （5，0）代入抛物线y=ax2+bx-3中可得：3025530a b a b −−⎧⎨+−⎩＝＝，解得：35125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴抛物线的表达式为：2312355y x x =−−；（2）∵PQ ∥x 轴，QC=3PC ，∴设点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ），把点P （-n ，m ），点Q （3n ，m ）代入2312355y x x =−−中可得：223123552736355n n m n n m ⎧+−=⎪⎪⎨⎪−−=⎪⎩，解得：2215n m =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴m 的值为215．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．(1)求抛物线1P 的对称轴和点(2)求线段AB 和CD 的长度．【答案】(1)对称轴=1x −；点A 的横坐标是-3(2)7AB =；7CD =【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A ，E 关于对称轴x=-1对称和点E 的横坐标直接求出点A 的横坐标；（2）求出P2的对称轴，再求出点B 的坐标，从而求得AB 的长，把1x =分别代入两个函数表达式，求得7m n −=−，从而求得CD 的长．【详解】（1）抛物线1P 的对称轴12b x a =−=−∵点A 与点E 关于直线=1x −对称，且点E 的横坐标是1∴点A 的横坐标是3−（2）抛物线2P 的对称轴522b x a =−= ∵点B 与点E 关于直线52x =对称，且点E 的横坐标是1 ∴点B 的横坐标是4∴()437AB =−−=把1x =分别代入两个函数表达式，得1215m n ++=−+即7m n −=−由题意，当0x =时，D y n =，C y m =．∴7CD n m =−=【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A 与点E 关于对称轴x=-1对称，点B 与点E 关于对称轴52x =对称． 4．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数l 1：y ＝x 2+6x +5k 和l 2：y ＝kx 2+6kx +5k ，其中k ≠0且k ≠1．(1)分别直接写出关于二次函数l 1和l 2的对称轴及与y 轴的交点坐标；(2)若两条抛物线l 1和l 2相交于点E ，F ，当k 的值发生变化时，判断线段EF 的长度是否发生变化，并说明理由；(3)在（2）中，若二次函数l 1的顶点为M ，二次函数l 2的顶点为N ；①当k 为何值时，点M 与点N 关于直线EF 对称？②是否存在实数k ，使得MN ＝2EF ？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)l1的对称轴为x ＝﹣3，和y 轴的交点坐标为(0，5k)；l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标(0，5k)(2)不发生变化，见解析(3)①k 为﹣1；②73或﹣13【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x ＝﹣2ba ＝﹣621⨯＝﹣3，令x ＝0，则y ＝5k ，故该抛物线和y 轴的交点坐标为（0，5k ）；同理可得l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标（0，5k ）；（2）可令y1＝y2，求出点E 、F 的横坐标，从而得到点E 、F 的坐标，进行得到EF 的长，就可解决问题；（3）易得点M 、N 的坐标及直线EF 的关系式，然后根据条件建立关于k 的方程，就可解决问题．（1）解：二次函数l1的对称轴为x ＝﹣2ba ＝﹣621⨯＝﹣3，令x ＝0，则y ＝5k ，故该抛物线和y 轴的交点坐标为（0，5k ）；同理可得：l2的对称轴为x ＝﹣3，与y 轴的交点坐标（0，5k ）；（2）解：线段EF 的长度不发生变化，理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k ＝kx2+6kx+5k ，整理得：（k ﹣1）（x2+6x ）＝0．∵k≠1，∴x2+6x ＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨设点E 在点F 的左边，则点E 的坐标为（﹣6，5k ），点F 的坐标为（0，5k ），∴EF ＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴线段EF 的长度不发生变化；（3）解：①由y1＝x2+6x+5k ＝（x+3）2+5k ﹣9得M （﹣3，5k ﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k ＝k （x+3）2﹣4k 得N （﹣3，﹣4k ）．∵直线EF 的关系式为y ＝5k ，且点M 与N 关于直线EF 对称，∴﹣4k ﹣5k ＝5k ﹣（5k ﹣9），解得：k ＝﹣1，∴当k 为﹣1时，点M 与N 关于直线EF 对称；②∵MN ＝|（5k ﹣9）﹣（﹣4k ）|＝|9k ﹣9|，MN ＝2EF ＝12，∴|9k ﹣9|＝12，解得k1＝73，k2＝﹣13，∴实数k 为73或﹣13．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程、轴对称的性质、解绝对值方程等知识，需要注意的是当两点横坐标相同时，两点之间的距离应为这两点纵坐标差的绝对值． (1)求抛物线的解析式及顶点(2)判断ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点，当(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点【答案】(1)抛物线的解析式为：213222y x x =−−；325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (2)ACB △是直角三角形(3)35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，ACM △的最小周长为：(4)存在，()2,3P −【分析】（1）根据点()1,0A −在抛物线2122y x bx =+−上，解出b ，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点D 的坐标；（2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点B 的坐标，根据勾股定理的逆定理即可；（3）当点M 在BC 与对称轴的交点上，根据点A ，点B 是对称点，连接AM ，则AM BM =且A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，设BC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，求出BC 的解析式，则得到点M 的坐标，即可；（4）以BC 为底，则12CPB S BC h =，当点P 到BC 的距离最远时，CPB △的面积最大如图所示，作直线l BC ∥,当直线l 与抛物线132222y x x =−−仅有一个交点时，h 最大，交点即为点P ．【详解】（1）∵点()1,0A −在抛物线2122y x bx =+−上， ∴1022b =−−， ∴32b =−， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =−−； ∵顶点坐标公式为：42,24bac b a a −⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点325,28D ⎛⎫− ⎪⎝⎭．∴抛物线的解析式为：2122y x =−；325,28D⎛⎫− ⎪⎝⎭．（2）∵抛物线213222y x x =−−与y 轴交于点C ，∴0x =，=2y −，∴2OC =， ∵抛物线213222y x x =−−与x 轴交于点A ，点B ， ∴2130222x x =−−，∴=1x −，4x =，∴点()4,0B ，∴1OA =，4OB =，5AB =，∵2225AC OA OC =+=；222222420BC OC OB =+=+=；225AB =，∴222AC BC AB +=，∴ABC 是直角三角形．（3）∵点A ，点B 是对称点，点M 在BC 与对称轴的交点上，∴AM BM =此时A ，C ，M 三点在一条直线上，距离最短，ACM C AC BC =+=设BC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，∴042k b b =+⎧⎨−=⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩， ∴122y x =− 当32x =时，1352224y =⨯−=−， ∴点35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭；∴点M 的坐标为35,24M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，ACM △的最小周长为：（4）存在，理由如下：∵以BC 为底， ∴12CPB S BC h =⨯，当点P 到BC 的距离最远时，CPB △的面积最大，作直线l BC ∥，且与213222y x x =−−仅有一个交点，设直线l 的解析式为y kx b =+，∵l BC ∥，∴12k =，即12y x b =+，∵直线l 与213222y x x =−−仅有一个交点， ∴21312222x x x b −−=+仅有一个实数根， ∴()144202b −⨯⨯−−=，解得4b =−，∴直线l 的解析式为：1y x 42=−，由214213222y x y x x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−−⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=−⎩， ∴点()2,3P −．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离．【答案】(1)证明见详解；（2）交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）；（3）证明见详解【分析】（1）先确定出抛物线的顶点坐标，即可得出结论；（2）联立二次函数的解析式与一次函数的解析式，求出方程组的解即可；（3）表示出MN 的长度再利用函数最值求出范围即可得出结论【详解】解：（1）证明：二次函数2221(1)1y ax ax a a x =++−=+−，顶点坐标为()1,1−−，把()1,1−−代入，1y ax a =+−中左边=-1，右边=-1∴左边=右边，∴二次函数图象的顶点必在一次函数1y ax a =+−的图象上；（2）联立解析式得：2211y ax ax a y ax a ⎧=++−⎨=+−⎩，解得x=0 或x=-1当x=0时，y=a-1 坐标为（0，a-1）当x=-1时，y=-1坐标为（-1，-1）∴交点坐标为（0，a-1）或（-1，-1）（3）证明：由题意可知2(,21)M m am am a ++−，(,1)N m am a +−由（2）可知，当a ＞0时，-1＜x ＜0有221ax ax a ++−＜1ax a +−∴221(21)MN am a am am a am am =+−−++−−−= =21()24a a m −++ 当10m −≤≤时，04a MN ≤≤∵02a <≤ ∴102MN ≤≤ 【点睛】二次函数综合题，主要考查了抛物线的顶点坐标的确定，抛物线与一次函数交点确定，极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B −．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MNy 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1−，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5−−；（2）①(2,3)−；②1或．【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B −的坐标分别代入2y x bx c =++，得5,2550.c b c =−⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =−⎧⎨=−⎩,b c ∴的值分别为4,5−−．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B −的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =−⎧⎨+=⎩，解得1,5.k n =⎧⎨=−⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =−．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =−=−．∴点M 的坐标是(2,3)−．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =−+−， //MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m −．∵点P 的横坐标为1,−∴点P 的坐标是()21,6m m −−，设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =−轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m −−．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤52(1)62PQ m m =−−−=−，()22396MN m m =−−−=−，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =−+=−10PE MN +=Q ，∴26610m m −+−=，解得12m =−（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m ≤时，26,6PE m MN m =−=−，10PE MN +=Q ，26610m m ∴−+−=，解得1m =（舍去），2m =（舍去）．（ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==−，10PE MN +=Q ，2610m m ∴+−=，解得1m =（舍去），2m =．综上所述，m 的值是1或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，抛物线2y x bx c =−++经过()()1,0,3,0A B −两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点P ，使得BCP 是以BC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为OC 的中点，若有一动点P 自点M 处出发，沿直线运动至x 轴上的某点(设为点E )，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点F )，最后又沿直线运动至点C ，则点P 运动的总路程最短为______．(请直接写出答案)【答案】（1）223y x x =−++；（2）存在，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，得到PH=CH ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a =−++−，求出a 即可；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ，求出OB=OR=3，PG=RG ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a −=−−−，求出a 即可；（3）做M 点关于x 轴的对称点M '，做C 点关于对称轴的对称点C '，连接M 'C 交x 轴于E 点，交对称轴于F ，此时点P 运动的总路程最短，由勾股定理求出M C ''=即可求出点P 运动的路径得到答案．【详解】解：（1）将()()1,0,3,0A B −代入2y x bx c =−++，得10930b c b c −−+=⎧⎨−++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴该抛物线的函数表达式是223y x x =−++；（2）存在．①当C 为直角顶点时，过点C 作CP ⊥BC ，交抛物线于点P ，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，∵OB=OC ，∠BOC=90°，∴△BOC 为等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC 为等腰直角三角形，即PH=CH ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a =−++−，解得121,0a a ==（舍去），此时2234a a −++=，∴P （1,4）；②当B 为直角顶点时，过点B 作BP ⊥BC ，交抛物线于点P ，交y 轴于R ，过点P 作PG ⊥y 轴于G ， ∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG 为等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG ，设P （2,23a a a −++），则2233a a a −=−−−，解得122,3a a =−=（舍去），此时2235a a −++=−，∴P （-2，-5）；综上，点P 的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）如图3，做M 点关于x 轴的对称点M '，做C 点关于对称轴的对称点C '，连接M 'C 交x 轴于E 点，交对称轴于F∴,ME M E CF C F ='='∵ME EF CF M EF C F M C ++='E++'=''此时点P 运动的总路程最短∵点M 为OC 的中点，C （0，3）∴3(0,)2M ∴3(0,)2M '− ∵2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵C （0,3）∴(2,3)C '9 22MC CC ='=∴∴M C ''===， ∴点P运动的路径，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键．题型二：面积问题一、解答题1．（2023·浙江衢州·校考一模）如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B −，与y 轴交于点C ．【答案】(1)2222y x x =−++(2)存在，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)【分析】（1）用待定系数法解答；（2）设D （x ，y ），根据题意及利用三角形面积列出方程，求出y 的值后代入抛物线的解析式即可解答（3）由勾股定理解得AC 的长，再根据勾股定理逆定理证明ABC 为直角三角形，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由平行线分线段成比例解得FM 的长，求得点F 的坐标，最后根据两点间的距离公式解答．【详解】（1）解：把点()()1040，，，A B −代入抛物线22y ax bx =++得2016420a b a b −+=⎧⎨++=⎩，1232a b ⎧=−⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ ∴213222y x x =−++（2）由题意可知(0,2),(1,0),(4,0)C A B −5,2AB OC ∴==1152522ABC S AB OC ∴=⋅=⨯⨯=23ABC ABD S S =△△ 315522ABD S ∴=⨯= 设D （x ，y ），11155222AB y y ∴⋅=⨯=3y ∴=当y=3时，由2132322x x −++=，解得：1x =或2x =此时点D 的坐标为（1，3）或（2，3）；当y=-3时，由2132322x x −++=−，解得：5x =或2x =−（舍去）此时点D 的坐标为（5，-3）；综上所述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）1,2,4,5AO OC OB AB ====AC BC ∴===222AC BC AB ∴+=ABC ∴为直角三角形，即BC AC ⊥如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意得：45FBC ∠=︒CF BC ∴==OC FMAO AC OM CF ∴=1OM2OC AC OM FM AF ∴==2FM ∴6FM ∴=(2,6),(4,0)F B ∴BF ∴==【点睛】本题考查二次函数的图象上点的特征、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理、平行线分线段成比例、两点间的距离公式等，关键是利用面积关系求出点D 的坐标． (1)求抛物线的解析式；(2)当0<x <3时，直接写出y (3)点P 为抛物线上一点，若【答案】(1)2y x 2x 3=−++(2)04y <≤(3)(4,5)−P 或(2,5)P −−【分析】（1）将A 与B 的坐标代入抛物线的解析式即可求出b 与c 的值，（2）根据图象即可求出y 的取值范围，（3）设P （x ，y ），△PAB 的高为|y|，AB=4，由S △PAB=10列出方程即可求出y 的值，从而可求出P 的坐标．【详解】（1）解：将点A （﹣1，0），B （3，0）两点代入y ＝2x −+bx+c ∴0=1+0=9+3+b c b c −−−⎧⎨⎩，解得=2=3b c ⎧⎨⎩，∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=−++，2y x 2x 3=−++；（2）==−++−−+22y (x 1x 3)x 24，物线的对称轴为=1x ，开口向下，y 的最大值为4，如图，∴0＜x ＜3时，04y <≤；（3）设P （x ，y ），∴△PAB 的高为|y|，A （﹣1，0），B （3，0），4AB ∴=，14102ABP S y ∴=⨯⨯=△，解得5y =±，当=5y 时，2523x x =−++，此时方程无解，当5y =−时，−2523x x =−++，解得124,2x x ==−，(4,5)P ∴−或(2,5)P −−．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023秋·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知拋物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A −，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，BC ，求ABC S ．(3)拋物线上是否存在一点E ，使得由．【答案】(1)223y x x =−++(2)6(3)()12，()1，()12−或()12−【分析】（1）把()1,0A −，()3,0B 两点坐标代入解析式即可求解；（2）先求出C 点坐标，即可得到ABC S ，（3）根据23ABE ABC S S =△△求出2E y =，代入解析式即可求解．【详解】（1）解：把()1,0A −，()3,0B 两点代入()230y ax bx a =++≠中，得030933a b a b =−+⎧⎨=++⎩，解得12a b =−⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =−++；（2）解：当0x =时，3y =，即()0,3C ， ∴3OC =，∵()1,0A −，()3,0B ，∴1OA =，3OB =，∴4AB =，∴1143622ABC S AB OC =⋅⋅=⨯⨯=△，即所求面积为6；（3）解：∵6ABC S =， ∴226433ABE ABC S S ==⨯=△△， ∵142ABE E S AB y =⋅⋅=△， ∴2E y =，把2y =代入抛物线表达式得：2223x x =−++，解得1x =把=2y −代入抛物线表达式得：2223x x −=−++，解得1x =综述所述，点E 的坐标为()12或()1或()12−或()12−．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用．，求POA 的面积．【答案】(1)m=3，24y x x =−+ (2)0x <或3x >(3)3【分析】（1）由点A 在一次函数y x =上，可将点A 的坐标代入y x =即可求出m ，然后将求出的点A 坐标代入2y x bx =−+即可求出b 值；（2）观察图象找出二次函数图像在一次函数图像下方部分的自变量取值范围即可；（3）求出点P 的坐标及抛物线与x 轴的另一个交点坐标，先计算由点A 、点P 、点O ，及抛物线与x 轴的另一个交点所构成的四边形面积，然后减去由点A 、点O ，及抛物线与x 轴的另一个交点所构成的三角形面积即可．【详解】（1）解：因为点A 在一次函数y x =上，所以()3m ，满足y x =，即3x =时y m =，可得：3m =；将点A ()33，代入2y x bx =−+得：2333b =−+，解得4b =，故二次函数的表达式为：24y x x =−+，综上所得，故答案为：m=3，24y x x =−+．（2）解：由图象可知，一次函数与二次函数交于()()0,03,3，两点，观察图象可以看出在0x <或3x >时，2y x bx =−+的图象在y x =图象的下方，所以当0x <或3x >时，2x bx x −+<，故答案为：0x <或3x >．（3）解：方法一：如图1所示，因为点P 为抛物线顶点，所以点P 坐标为：()24，，抛物线与x 轴的另一个交点为点()40B ，，点()33A ，，则四边形APOB 的面积()11124431139222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， ABO 的面积14362=⨯⨯=，∴POA 的面积=四边形APOB 的面积−ABO 的面积96=−3=，∴POA 的面积为3，故答案为：3．方法二：如图2所示，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交OA 于点D ，过点A 作AE PC ⊥，垂足为E ， 224(2)4y x x x =−+=−−+，∴顶点(2,4)P ，把2x =代入直线方程y x =中得：2y =，2()2D ∴,，422PD ∴=−=， POA 的面积OPD =的面积APD +的面积，111()222PD OC PD AE PD OC AE =⋅+⋅=+ 1232=⨯⨯3=.【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，结合图像求几何图形的面积及解对应的一元二次不等式，关键是解题过程要始终运用数形结合的思想方法．【答案】（1）1a =，3b =，4c =；（2）点E 的坐标为（1，6）时，面积最大；（3）d 最小值为5，此时F 点的坐标为（1，2）．【分析】（1）将A 、C 两个点的坐标代入二次函数解析式，即可得出b 、c 的值，将点A （－1，0）代入一次函数中，即可求得a 的值；（2）设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为234m m −++，过点E 作x 轴的垂线l ，交x 轴于点G ，交AD于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T ，联立直线方程和二次函数方程，即可得出D 的坐标，再根据ΔΔΔAED AEH HED S S S =+，得出含m 的函数，根据函数图象，可知，当1m =时，面积取得最大值，从而可得出E 的坐标；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过作FG ⊥y 轴交AS 于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，根据角平分线的性质可得：FM FN = ，即有11d FE FM FE FN =+−=+−，可知当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，d 取得最小值，即可得出点F 的坐标．【详解】解：（1）∵点C （0，4），A （-1，0）在函数的图象上，∴410c b c =⎧⎨−−+=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩，二次函数解析式为：234y x x =−++， ∵点A （－1，0）在一次一次函数y x a =+上，∴01a =−+,∴1a =，一次函数解析式为：1y x =+；所以1a =，3b =，4c =；（2）设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为234m m −++，过点E 作x 轴的垂线l ，交x 轴于点G ，交AD于点H ，则点H 的坐标为(),1m m +.过点D 作l 的垂线，垂足为T ，将1y x =+与2y 34x x =−++联立组成方程组，解得点D 的坐标为（3，4），所以ΔΔΔ1122AED AEH HED S S S EH AG EH DT =+=⨯+⨯ ()12EH AG DT =+ ()2134142m m m =−++−−⨯ ()2218m =−−+∵函数图象开口向下，存在最大值，∴AED S ∆有最大值，当1m =时，最大值为8，此时点E 的坐标为（1，6）；（3）过A 作y 轴的平行线AS ，过F 作FG ⊥y 轴交AS 于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于N ，如图所示：∵点D 的坐标为（3，4），点A 坐标为（-1，0）∴45DAB ∠=︒，∴AD 平分SAB ∠，∴FM FN = ，∴11d FE FM FE FN =+−=+−显然，当N 、F 、E 所在直线与x 轴垂直时，1d FE FN =+−最小，最小值为615d =−=，此时点F 的横坐标为1，代入1y x =+得：F 点的坐标为（1，2）．【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，二次函数、一次函数解析式的确定，组成面积的最值，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合函数的基本性质是解题关键． 6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知二次函数y ＝2x 2﹣8x +6的图象与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求四边形ADBC 的面积．【答案】四边形ADBC 的面积为8．【分析】先把抛物线解析式化成顶点式，求出C 、D 的坐标，然后求出A 、B 的坐标，最后根据=ABC ABD ADBC S S S +△△四边形进行求解即可．【详解】解：∵抛物线解析式为()()22228624446222y x x x x x =−+=−+−+=−−，∴点C 的坐标为（0，6），点D 的坐标为（2，-2），令0y =，则22860x x −+=，∴2430x x −+=，解得1x =或3x =，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0），∴AB=2，∴=ABC ABD ADBC S S S +△△四边形()11=22C D AB y AB y ⋅+⋅−()11262222=⨯⨯+⨯⨯−8=．【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点坐标，四边形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．把AOB 的面积分成相等的两部分．个单位，使其顶点落在AOB 的内部（不包括边界）【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）①3y x =；m <<．【分析】（1）将(2,3),(1,0)A B −代入2y x bx c =−++中，列方程组求解即可．（2）直线OP 把AOB 的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB 中点，求出中点坐标求解即可．（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与OP 平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.【详解】（1）将(2,3),(1,0)A B −代入2y x bx c =−++，得42310b c b c −++=⎧⎨−−+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩．（2）①取AB 的中点C ，∵(2,3),(1,0)A B − ∴13,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵P 是第一象限内抛物线上一点，且直线OP 把AOB 的面积分成相等的两部分．∴直线OP 必过AB 的中点C∴直线OP 的表达式为：3y x =②由（1）可得抛物线的一般式为：223y x x =−++，将一般式转化为顶点式如下：2223(1)4y x x x =−++=−−+∴顶点坐标为()1,4D设过抛物线的顶点(1,4)，且与直线OP 平行的直线解析式为：3'y x b =+将顶点()1,4D 代入3'y x b =+，得3'4b +=，解得'1b =∴31y x =+设AB y mx n =+，将(2,3)A ，(1,0)B −代入，得230m n m n +=⎧⎨−+=⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩∴1AB y x =+联立：311y x y x =+⎧⎨=+⎩ ，得：{01x y ==，设直线31y x =+与直线AB 的交点坐标为点M ，与x 轴的交点坐标为N ，则()0,1M 1,03N ⎛⎫− ⎪⎝⎭ , 抛物线顶点落在AOB 的内部，即顶点在点M ，点N 之间，如图：∴DM ==DN ==m <<【点睛】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．【答案】（1）223y x x =+−；（2）存在，638；（3）点M 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出C 、D 的坐标，设点()2,23(31)H a a a a +−−<<−，即可得到OBH OCHOBHC S S S =+△△四边形21123||22OB a a OC a =⨯+−+⨯，由此求解即可；（3）先求出E 点坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式，利用PC PE =求出P 点坐标，设设(,0)M d ，则()2,23G d d d +−，()22,23N d d −+−，利用FM MG =建立方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++的图象经过点(1,0)A ，(3,0)B − ∴10930b c b c ++=⎧⎨−+=⎩，∴23b c =⎧⎨=−⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+−；（2）当=1x −时，4y =−，所以点(1,4)D −−，当0x =时3y =−，，所以点(0,3)C − 设点()2,23(31)H a a a a +−−<<−所以OBH OCHOBHC S S S =+△△四边形21123||22OB a a OC a =⨯+−+⨯()2333222a a a =−−−2399222a a =−−+当322b a a =−=−时，638OBHC S =四边形．（3）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =+−；∴(0,3)C −，抛物线的顶点(1,4)D −−，∴(1,0)E −，设直线BD 的解析式为y mx n =+，∴304m n m n −+=⎧⎨−+=−⎩，∴26m n =−⎧⎨=−⎩∴直线BD 的解析式为26y x =−−，设点(,26)P m m −−， ∵(0,3)C −，(1,0)E −，根据勾股定理得，222(1)(26)PE m m =++−−，222(263)PC m m =+−−+，∵PC PE =，∴2222(1)(26)(263)m m m m ++−−=+−−+，∴2m =−，∴2(2)62y =−⨯−−=−，∴(2,2)P −−，如图，作PF x ⊥轴于F ，∵(2,0)F −，设(,0)M d ，则()2,23G d d d +−，()22,23N d d −+−∴以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM MG =，∴2|2|23d d d +=+−∴d =或d =，∴点M的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，两点距离公式等等，【答案】（1）（0，2），（4，0），抛物线的解析式是211242y x x =−++；（2）四边形ABCM 面积最大值为8，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）34m −≤≤−或32m −≤≤【分析】（1）对直线122y x =−+，分别令x=0，y=0求出相应的y ，x 的值即得点A 、C 的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B 的坐标；（2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设点M 的横坐标为m ，则MF 的长可用含m 的代数式表示，然后根据S 四边形ABCM=S △ABC+S △AMC 即可得出S 四边形ABCM 关于m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形ABCM 面积的最大值及点M 的坐标；（3）当m ＞0时，分旋转后点A '与点O '落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m 的代数式表示出点A '与点O '的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m 的值，进而可得m 的范围；当m ＜0时，用同样的方法可再求出m 的一个范围，从而可得结果．【详解】解：（1）对直线122y x =−+，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，∴点A 的坐标是（0，2），点C 的坐标是（4，0），把点A 、C 两点的坐标代入抛物线的解析式，得：2214404c b c =⎧⎪⎨−⨯++=⎪⎩，解得：122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x =−++， ∵抛物线的对称轴是直线1x =，C （4，0）， ∴点B 的坐标为（﹣2，0）；故答案为：A （0，2），C （4，0），抛物线的解析式是211242y x x =−++；（2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设M （m ，211m m 242−++），则F （m ，122m −+），∴221112424122m m m mMF m ⎛⎫⎛⎫=−−+=−++− ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，∴S 四边形ABCM=S △ABC+S △AMC =1122BC AO MF OC⋅+⋅2111624224m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯−+⨯ ⎪⎝⎭21262m m =−++ ()21282m =−−+，∵0＜m ＜4，∴当m=2时，四边形ABCM 面积最大，最大值为8，此时点M 的坐标为（2，2）；（3）若m ＞0，当旋转后点A '落在抛物线上时，如图2，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点A '的坐标是（m+2，m ），∴()()21122242m m m−++++=，解得：3m =−3m =−；当旋转后点O '落在抛物线上时，如图3，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点O '的坐标是（m ，m ），∴211242m m m−++=，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴当m ＞0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：32m −≤≤；若m ＜0，当旋转后点O '落在抛物线上时，如图4，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点O '的坐标是（m ，m ），∴211242m m m−++=，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；当旋转后点A '落在抛物线上时，如图5，线段O A ''与抛物线只有一个公共点， ∵点A '的坐标是（m+2，m ），∴()()21122242m m m−++++=，解得： 3m =−3m =−；∴当m ＜0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：34m −≤≤−；综上，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：34m −≤≤−或32m −≤≤．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．【答案】（1）224y x x =−−+；（2）点M 的坐标为（2，-4）；（3）n 的值为9．【分析】（1）直接把点B （-3，1）代入抛物线解析式进行求解即可；（2）由抛物线解析式为()2222y x kx k x x k=−+−=−+−，则当2x =时，4y =−，函数值与k 的取值无关，由此即可得到答案；（3）设直线BM 的解析式为1y k x b=+，直线BM 于y 轴的交点为E ，可求得直线BM 的解析式为2y x =−−，得到E 点坐标为（0，-2），从而求出15ABM S =V ；如图所示，在直线AB 上方作直线1l ∥AB ，且直线1l与抛物线只有一个交点1P ，对应的在直线AB 下方作直线2l ∥AB ，其中直线1l 与直线AB 的距离等于直线2l与直线AB 的距离，则123==ABP ABP ABP S S S △△△（等底等高），根据除去1P ，2P ，3P 这三个位置外，符合21=S nS 的P 点的个数为4个或2个；推出12ABP S nS =△，由此先求出直线AB 的解析式为4y x =+，则可设直线1l的解析式为2y x b =+，联立2224y x b y x x =+⎧⎨=−−+⎩得22340x x b +−+=，求得2254b =，从而求出点1P 的坐标为（32−，194），过点1P作x 轴的垂线交AB 于H ，根据111ABP P BH P AHS S S =+V V V ，求出1ABP S V 即可得到答案．【详解】解：（1）∵抛物线22y x kx k =−+−经过点B （-3，1），∴()21332k k=−−−−，∴2k =−，∴抛物线解析式为224y x x =−−+；（2）∵抛物线解析式为()2222y x kx k x x k=−+−=−+−，当2x =时，4y =−，函数值与k 的取值无关， ∴点M 的坐标为（2，-4）；（3）∵抛物线224y x x =−−+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，4），设直线BM 的解析式为1y k x b=+，直线BM 于y 轴的交点为E ，∴113124k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，∴112k b =−⎧⎨=−⎩，∴直线BM 的解析式为2y x =−−， ∴E 点坐标为（0，-2）， ∴()111522ABM ABE AME M B S S S AE x AE x =+=⋅+⋅−=V V V ；如图所示，在直线AB 上方作直线1l ∥AB ，且直线1l 与抛物线只有一个交点1P，对应的在直线AB 下方作直线2l ∥AB ，其中直线1l与直线AB 的距离等于直线2l 与直线AB 的距离， ∴123==ABP ABP ABP S S S △△△（等底等高），∵除去1P ，2P ，3P 这三个位置外，符合21=S nS 的P 点的个数为4个或2个；∴12ABP S nS =△，设直线AB 的解析式为21y k x b =+，∴211314k b b −+=⎧⎨=⎩，∴2114k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为4y x =+， ∴可设直线1l 的解析式为2y x b =+，联立2224y x b y x x =+⎧⎨=−−+⎩得22340x x b +−+=， ∴()22344b ∆=+−=0 ，∴2254b =，∴29304x x ++=，解得32x =−，∴点1P 的坐标为（32−，194），过点1P作x 轴的垂线交AB 于H ， ∴点H 的横坐标为32−，∴点H 的纵坐标为52，∴194PH =，∴111ABP P BH P AHS S S =+V V V ()()111122H B A H PH x x PH x x =⋅−+⋅−()112A B PH x x =⋅−278=，∴27158n =，∴409n =．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，平行线间距问题，待定系数法求函数解析式等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．【答案】（1）A 点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）4；（3）（4，﹣8）．【分析】（1）在y ＝﹣x2+2x 中，令y=0，求得x 的值，从而确定A 点坐标，利用对称轴公式2bx a =−求得抛物线对称轴；（2）分别求得B 点和C 点坐标，求得直线OD 的解析式，然后通过求解△OBD 的面积求得平行四边形的面积；（3）结合平行四边形的性质及平移的思想分析点B ，点D 及点C 的坐标，然后仿照（2）中的解题思路分析求解．【详解】解：（1）在y ＝﹣x2+2x 中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2， ∵抛物线y ＝﹣x2+2x 与x 轴正半轴交于点A ， ∴A 点坐标为（2，0），抛物线y ＝﹣x2+2x 的对称轴为直线()221x =−⨯−=1，即A 点坐标为（2，0），抛物线对称轴为直线x=1；（2）设OD 与抛物线对称轴交于点E ，连接BD ，∵点B B 的纵坐标是﹣3， ∴B 点坐标为（1，-3），∵点D 在抛物线上，且点D 的横坐标是52，∴点D 的纵坐标为255222⎛⎫−+⨯ ⎪⎝⎭=54−， ∴D 点坐标为55,24⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线OD 的解析式为OD y kx=，将D 点坐标为55,24⎛⎫− ⎪⎝⎭代入，可得5524k =−，解得：12k =−， ∴直线OD 的解析式为12OD y x=−，当x=1时，12y =−，∴E 点坐标为11,2⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴1522BOD S BE =⨯△=()51342⎡⎤⨯−−−⎢⎥⎣⎦=258， ∴S ▱OBCD ＝2524BOD S =△，故答案为：254；（3）设OD 与抛物线对称轴交于点E ，连接BD ，设B 点坐标为（1，-b ），D a ，﹣a2+2a ），∵点D 在抛物线上，且在对称轴右侧，且点C 在抛物线上，四边形OBCD 为平行四边形，∴OB=CD ，OB ∥CD ，∵将点O 向右平移1个单位长度，再向下平移b 个单位长度后得到点B ，∴将点D 向右平移1个单位长度，再向下平移b 个单位长度后可得到点C ，∴C 点坐标为（a+1，﹣a2+2a-b ），将C 点坐标代入到y ＝﹣x2+2x 中，可得：﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b ，整理，可得：b=2a-1，设直线OD 的解析式为1OD y k x =，将D 点坐标（a ，﹣a2+2a ），代入，可得22ka a a =−+，解得：2k a =−+，∴直线OD 的解析式为()2OD y a x =−+，当x=1时，2y a =−+，。

(word完整版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案,推荐文档

人教版九年级下册数学二次函数知识点总结教案主讲人：李霜霜一、教学目标：(1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题．(2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想．二、教学重点、难点教学重点：二次函数的图像，性质和应用教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题．三、教学过程复习巩固（一）二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：（三）二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．（四）二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． (五)二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．(六)二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.(七)二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．(八)二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；例题讲解：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52-). (1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。

九年级数学下册难点专题二次函数的综合题勇于探究的能力北师大版

难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】——代几结合，突破面积及点的存在性问题♦类型一抛物线与三角形的综合一、求最值1. 如图，抛物线y= x2—bx + c交x轴于点A(1 , 0)，交y轴于点B,对称轴是直线x =2.(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点巳使厶PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题22. 如图，已知抛物线y= ax + bx+ c(a 工0 )经过A( —1, 0) , B(3 , 0) , C(0, —3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线I上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3) 点M也是直线I上的动点，且厶MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标.【易错4】3. ^如图，已知抛物线经过原点0,顶点为A(1 , 1)，与直线y = x —2交于B, C两点.(1) 求抛物线的解析式及点C的坐标；(2) 求证：△ ABC是直角三角形；(3) 若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN Lx轴与抛物线交于点M则是否存在以0,M N为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.三、与面积相关的问题_ 24.如图，坐标平面上，二次函数 y =— x + 4x — k 的图象与x轴交于A , B 两点，与y轴交于C 点，其顶点为 D,且k > 0.若厶ABC 与厶ABD 的面积比为1 : 4,贝U k 的值为()_ 25. ^如图，二次函数 y = ax + bx 的图象经过点 A(2, 4)与B(6 , 0).⑴求a , b 的值；⑵ 点C 是该二次函数图象上 A , B 两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)，写出四边形OACB 勺面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求 S 的最大值.A. 11 4 B-2 C .34D5♦类型二抛物线与特殊四边形的综合6•抛物线y=—x2+ 6x —9的顶点为A,与y轴的交点为B,如果在抛物线上取点C,在x轴上取点D,使得四边形ABCD^平行四边形，那么点D的坐标是（）A. （—6，0）B. （6，0）C. （—9，0）D. （9，0）7.如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4, 2，则过A, B, C三点的拋物线的函数关系式是______________________ .&如图，四边形OABC是边长为1的正方形, 抛物线y = ax2（a v 0）上，贝U a的值为_________ .9.正方形OABC勺边长为4,对角线相交于点正方形内的抛物线l 上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系,①直接写出O, P, A 三点坐标；②求抛物线l 的解析式；（2）求厶。

中考复习专题：二次函数与几何的综合题PPT课件

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即y=∴∴13x–二23–次=a函83(0x数+–13的)．(0解–析9)，式解为4分得y=a=13(x3+1，)(x–9)，
（2０11资阳）已知抛物线C：y=ax2+bx+c(a<0)过原点，与x 轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．
(1) 如图14-1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；(3分)
2008年资阳24．（本小题满分12分）如图10，已知点A的坐标是（－1，0），
点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、 BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；
解：(1) ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
3.联立函数表达式.
互转化的基础是：点坐标与线段长。一般解题思路是：
解析式方程组的解是图像交点坐标
（1）已知点坐标线段长，线段长点
坐标；
（2）用待定系数法求函数解析式；
（3）解析式点坐标线段长面积
及其它。
（压轴题07）点P为抛物线 y x2 2mx m2 (m为常数， )上任m一点0，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90度后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q 为点P旋转后的对应点.
(2) (3分) 求点D的坐标；
三垂直：横平竖直
F
O'D=O'A=2,DC=AC=4 ∆DO'F∽∆CDM,类似比1：2 设O'F=a，DF=b。则DM=2a，CM=2b。所以，2a+b=4.且2+a=2b。
DN=DF-FN=3/5
N

中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数的实际应用与几何问题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝12x2的图象，C2是函数y＝－12x2的图象，则图中阴影部分的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π2．如图，已知抛物线y=mx2﹣6mx+5m与x轴交于A、B两点，以AB为直径的⊙P经过该抛物线的顶点C，直线l⊙x轴，交该抛物线于M、N两点，交⊙P与E、F两点，若EF=2√3，则MN的长为（）A．2√6B．4√2C．5D．63．如图，已知⊙ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣24．如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以√2cm/s的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC →CB方向运动到点B．设⊙APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．5．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=（12﹣x2）C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）6．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。

已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。

设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m²)，则y关于x的函数表达式是()A．y=-x²+50x B．y= −12x²+24xC．y= −12x2+25x D．y= −12x2+26x7．如图，四边形ABCD中，AB=AD，CE⊙BD，CE= 12BD．若⊙ABD的周长为20cm，则⊙BCD的面积S（cm2）与AB的长x（cm）之间的函数关系式可以是（）2−10x+100B．S=2x2−40x+200A．S=14xC．S=x2−20x+100D．S=x2+20x+1008．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．12B．18C．24D．369．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若⊙ABC与⊙ABD的面积比为1：4，则k值为（）A．1B．12C．43D．4510．半径是3的圆，如果半径增加2x，那么面积S和x之间的函数关系式是（）A．S＝2π（x＋3）2B．S＝9π＋xC．S＝4πx2＋12x＋9D．S＝4πx2＋12πx＋9π11．设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M ,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 () A．y=−3(x−1)2+1B．y=2(x−0.5)(x+1.5)C．y=13x 2−43x+1D．y=(a2+1)x2−4x+2(a为任意常数)12．已知坐标平面上有两个二次函数y=a(x+1)(x−7)，y=b(x+1)(x−15)的图形，其中a、b为整数．判断将二次函数y=b(x+1)(x−15)的图形依下列哪一种方式平移后，会使得此两图形的对称轴重叠（）．A．向左平移4单位B．向右平移4单位C．向左平移8单位D．向右平移8单位二、填空题13．如图，点A（0，1），平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2(x≥0)与y2=14x2（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE⊙AC，交y2于点E，则DE ＝．14．用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是cm2．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，⊙AOC=60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊙AB时，CE的长为。

2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)

重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。

所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。

北师大中考数学总复习《二次函数与几何综合类存在性问题》课件

二次函数与几何综合类存在性问题
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在
一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与 “形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，
2
(3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，交 OB 于点 F，设 P(x， x2－2x－3)．由 x2－2x－3＝0 得点 A 的坐标为(－1，0)．∵B 点的坐标为(3，0)，C 点的坐标为(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为：y＝x－ 2 3，∴Q 点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x ＋ 1 1 1 1 3x.∴S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝ AB² CO＋ PQ² BF＋ PQ² FO＝ AB² CO 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ＋ PQ²(BF＋FO)＝ AB²CO＋ PQ²BO＝ ³4³3＋ (－x ＋3x)³3＝ 2 2 2 2 2 3 3 2 9 3 2 75 － x ＋ x＋6＝－ x－＋ . 2 2 2 2 8 3 ∴当 x ＝时，四边形 ABPC 的面积最大．此时 P 点的推出矛盾，即可否定假设；
若推出合理结论，则可肯定假设．
探究一
二次函数与三角形的结合
例1 [2013²重庆] 如图42－1，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A 的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标； (2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．图42－1

二次函数与几何综合考点归纳与训练

二次函数与几何综合考点归纳与训练命题点1 二次函数中线段与面积问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．2．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE∥x轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）4．如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．（1）求此抛物线的解析式；（2）当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P 的坐标以及P A﹣PB的最大值．命题点2 二次函数中的特殊角5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（3，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当的值最大时，求点D的坐标；（3）P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ＝时，请直接写出点P的横坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．命题点3 二次函数与三角形的存在性7．已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．命题点4 二次函数与四边形的存在性10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B （0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学二次函数与几何图形综合题重点考点解析

中考数学二次函数与几何图形综合题注：二次函数与几何图形综合题每年24题必考，设问2～3问，分值10分，其中涉及二次函数图象平移变换4次，中心对称变换3次，轴对称变换1次．类型一二次函数与特殊三角形判定(2016、2012.24)【类型解读】二次函数与三角形判定近10年考查2次，涉及等腰三角形(1次)、等腰直角三角形(2次)的判定，均涉及求抛物线表达式，考查形式包含：①已知抛物线表达式中的常数项和图象上两点坐标求表达式，判定抛物线与x轴的交点个数，求使等腰直角三角形成立的抛物线平移方式(2016)；②求使等腰直角三角形成立的抛物线表达式(2012.(2))．1.抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)．(1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(2)将抛物线C1向左或向右平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.若抛物线C2的对称轴上存在点P，使△P AC为等边三角形，求m的值．2.在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2＋bx－5经过点A(－1，0)、B(5，0)，顶点为M.(1)求抛物线L的表达式；(2)求抛物线L的对称轴和顶点M的坐标；(3)若抛物线L′与抛物线L关于y轴对称，在抛物线L′的对称轴上是否存在一点P，使得以点B、M、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知抛物线L：y＝x2＋bx＋c过点A(－1，7)，B(4，2)，其顶点为C.(1)求抛物线L的表达式及点C的坐标；(2)若点M为抛物线L上一点，抛物线L关于点M所在直线x＝m对称的抛物线为L′，点C的对应点为C′，在抛物线上是否存在点M，使得△CMC′为等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.已知抛物线C1：y＝x2－2x－3的顶点为M，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求点A和点M的坐标；(2)点P是x轴负半轴上一点，将抛物线C1绕点P旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，与x轴交于C，D两点(点C在点D的左侧)，当以点C，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，求点P的坐标．类型二二次函数与特殊四边形判定(2017、2015、2014、2010～2012.24)【类型解读】二次函数与特殊四边形判定近10年考查6次，涉及平行四边形(4次)、矩形(1次)、菱形(1次)的判定，考查形式包含：①已知两点和关于y轴对称的两条抛物线上各一点，且以这四点为顶点构成平行四边形，求两点坐标(2017)；②求满足过原点和以原点为对称中心的矩形上两个顶点的抛物线的表达式(2012)；③已知其中三个顶点坐标，求使平行四边形成立的点坐标(2011)；④已知其中两个顶点坐标，求使平行四边形成立的点(2010)．其中2015年和2014年涉及图形面积(详见P169类型三)．【满分技法】链接至P47、P50“满分技法”．1.已知抛物线L：y＝ax2－52x＋c经过点A(0，2)、B(5，2)，且与x轴交于C、D两点(点C在点D左侧)．(1)求点C、D的坐标；(2)判断△ABC的形状；(3)把抛物线L向左或向右平移，使平移后的抛物线L′与x轴的一个交点为E，是否存在以A、B、C、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线L′的表达式及平移方式；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点(1，0)和(3，0)，且过点M(0，3)，顶点为点A.(1)求二次函数的表达式及顶点A的坐标；(2)若将该二次函数的图象绕坐标轴上一点P旋转180°，点A、M的对应点分别为点A′、M′.当以A、M、A′、M′为顶点的四边形是菱形时，求点P的坐标．3.(2019西工大附中模拟)已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，且a≠0)与x轴分别交于A(－2，0)、B(2，0)两点，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线C1的表达式；针对训练(2)将C1平移后得到抛物线C2，点D、E在抛物线C2上(点E在点D的上方)，若以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形，求抛物线C2的表达式．4.在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(－1，4)，且与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线L1的表达式；(2)将抛物线L1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L2，求抛物线L2的表达式；(3)是否在抛物线L1上存在点P，在抛物线L2上存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以OC为边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．类型三二次函数与图形面积(2018、2015、2014.24)【类型解读】二次函数与图形面积近10年考查3次，涉及面积计算、面积定值、面积相等，考查形式：①平移后抛物线与坐标轴所围成的图形面积与原抛物线与坐标轴所围成的图形面积相等(2018)；②已知抛物线上四点和其关于原点对称的抛物线上四点，求这八个点中的四个为顶点的平行四边形中不是菱形的平行四边形的面积(2015)；③求使已知抛物线上两点坐标与平移后抛物线上两点坐标构成的平行四边形中满足面积为定值的抛物线平移方式(2014)．【满分技法】链接至P47、P52类型三“满分技法”．1. (2018陕西副题24题10分)已知抛物线L ：y ＝mx 2－8x ＋3m 与x 轴相交于A 和B (－1，0)两点，并与y 轴相交于点C .抛物线L ′与L 关于坐标原点对称，点A 、B 在L ′上的对应点分别为A ′、B ′.(1)求抛物线L 的函数表达式；(2)在抛物线L ′上是否存在点P ，使得△P A ′A 的面积等于△CB ′B 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2. (2019西安高新一中模拟)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx －4的图象L 经过A (－1，0)、C (2，－6)两点，顶点为M .(1)求该二次函数的表达式和顶点M 的坐标；(2)设图象L 的对称轴为直线l ，点D (m ，n )(－1<m <2)是图象L 上一动点，当△ACD 的面积为278时，点针对训练D 关于直线l 的对称点为点E ，能否在图象L 和直线l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．第2题图3. (2019西安铁一中模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1，0)，B (0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象经过点C . (1)求抛物线的表达式；(2)沿x 轴水平平移该抛物线，设平移后抛物线的对称轴所在直线为l .若直线l 恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分，求平移后抛物线的表达式．第3题图4. (2015陕西副题24题10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．已知A (－3，0)，该抛物线的对称轴为直线x ＝－12. (1)求该抛物线的函数表达式；(2)求点B 、C 的坐标；(3)假设将线段BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x 轴上．如若将点B 、C 平移后的对应点分别记为点D 、E ，求以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积的最大值．第4题图5.已知抛物线C1：y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线C1的函数表达式；(2)将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2，求抛物线C2的函数表达式；(3)已知点D是第一象限内抛物线C1上的一点，过点D作DP⊥x轴交抛物线C2于点P，连接AP、AD、CP、CD，设点D的横坐标为m，四边形DCP A的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．类型四二次函数与三角形相似(2019、2013.24)【类型解读】二次函数与三角形相似近10年考查2次，考查形式：①关于原点对称的抛物线上存在一点使得两直角三角形相似，求该点坐标(2019)；②求使相似三角形成立的点所在抛物线的表达式(2013)．【满分技法】链接至P47、P52类型四“满分技法”．针对训练1. (2019西工大附中模拟)如图，已知抛物线w1经过点A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)，点D为OC中点，连接AC、BD，并延长BD交AC于点E.(1)求抛物线w1的表达式；(2)若抛物线w1与抛物线w2关于y轴对称，在抛物线w2位于第二象限的部分上取一点Q，过点Q作QF⊥x轴，垂足为点F，是否存在这样的点F，使得△QFO与△CDE相似？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. (2019陕西副题24题10分)在平面直角坐标系中，抛物线L 经过点A (－1，0), B (3，0), C (1，－2).(1) 求抛物线L 的表达式；(2)连接AC 、BC .以点D (1，2)为位似中心，画△A ′B ′C ′，使它与△ABC 位似，且相似比为2，A ′、B ′、C ′分别是点A 、B 、C 的对应点．试判定是否存在满足条件的点A ′、B ′在抛物线L 上？若存在，求点A ′、 B ′的坐标；若不存在，请说明理由．3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，2)，抛物线的对称轴为直线x ＝52，且OB ＝2OC .连接BC ，点D 是线段OB 上一点(不与点O 、B 重合)，过点D 作x 轴的垂线，交BC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求抛物线的表达式；(2)当线段MN 最大时，求点M 的坐标；(3)连接BN ，以B 、D 、N 为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由．第3题图4. (2019陕师大附中模拟)已知抛物线C1：y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为点D.(1)求A、B、D三个点的坐标；(2)判断△BCD的形状；(3)将抛物线C1向上(或向下)平移，使得平移后的抛物线C2与y轴交于点E，试问是否存在点E使得以E、B、C为顶点的三角形和△ABC相似(不包含全等)？若存在，请求出新抛物线C2的顶点坐标；若不存在，请说明理由．类型五二次函数与线段最值【类型解读】二次函数与线段最值近10年真题虽然未考查，但在2017年副题24题第(2)问和2017～2018中考说明中均有涉及，另外通过大量调研一线名师，均觉得有必要设此类型进行拓展．1. (2019西安铁一中模拟)抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(－3，0)，点C的坐标为(0，－3)，对称轴为直线x＝－1.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．2.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，图象经过B(－3，0)、C(0，3)两点，且与x轴交于点A.(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最小，求出点M的坐标；(3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点，请求出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．第2题图3. (2019赤峰)如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D.(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使EC＋ED的值最小，求EC＋ED的最小值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB.若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．第3题图参考答案类型一二次函数与特殊三角形判定1. 解：(1)∵抛物线C 1经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝0， ∴抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，顶点坐标为(1，－1)；(2)如解图，连接BC ，BP ，第1题解图①当将抛物线C 1向右平移m (m ＞0)个单位时，得到抛物线C 2的表达式为y ＝(x －m )2－2(x －m )， ∵抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C.∴C (0，m 2＋2m )，B (2＋m ，0)，由抛物线对称性可知AP ＝BP ，∵△P AC 为等边三角形，∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，∴C ，A ，B 三点在以点P 为圆心，P A 为半径的圆上，∴∠CBO ＝12∠CP A ＝30°， ∴BC ＝2OC ，∴由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ， ∴3(m 2＋2m )＝m ＋2，解得m 1＝33，m 2＝－2(舍去)， ∴m ＝33； ②当将抛物线C 1向左平移m (m ＞0)个单位时，得到抛物线C 2的表达式为y ＝(x ＋m )2－2(x ＋m )， ∵抛物线C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C.∴C (0，m 2－2m )，B (2－m ，0)，同①可得，3(m 2－2m )＝2－m ，解得m 1＝－33(舍去)，m 2＝2.综上所述，m 的值为33或2. 2. 解：(1)将点A (－1，0)、B (5，0)代入抛物线L ：y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝025a ＋5b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－4x －5；(2)∵抛物线L 的表达式为y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴抛物线L 的对称轴为直线x ＝2，顶点M 的坐标为(2，－9)；(3)存在．∵抛物线L ′与抛物线L 关于y 轴对称，∴抛物线L ′的表达式为y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，∴抛物线L ′的对称轴为直线x ＝－2，∴设点P 的坐标为(－2，m )，∵以点B 、M 、P 为顶点的三角形是等腰三角形， BP ＝49＋m 2， BM ＝（5－2）2＋92＝310， PM ＝16＋（m ＋9）2，①当BP ＝BM 时，即49＋m 2＝310，解得m 1＝41，m 2＝－41，∴P 1(－2，41)，P 2(－2，－41)；②当BM ＝PM 时，即310＝16＋（m ＋9）2，解得m 1＝－9＋74，m 2＝－9－74，∴P 3(－2，－9＋74)，P 4(－2，－9－74)；③当BP ＝PM 时，即49＋m 2＝16＋（m ＋9）2，解得m ＝－83， ∴P 5(－2，－83)．综上所述，存在满足条件的点P ，其坐标为(－2，41)、(－2，－41)、(－2，－9＋74)、(－2，－9－74)或(－2，－83)． 3. 解：(1)将点A (－1，7)，B (4，2)代入抛物线L ：y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝716＋4b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝2， ∴抛物线L 的表达式为y ＝x 2－4x ＋2，∵y ＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2，∴点C 的坐标为(2，－2)；(2)存在．∵点M 在抛物线L ：y ＝x 2－4x ＋2上，∴M (m ，m 2－4m ＋2)，∵点C 的坐标为(2，－2)，抛物线L 关于点M 所在直线x ＝m 对称的抛物线为L ′，∴点C 的对应点C ′的坐标为(2m －2，－2)，∵点C ′、C 关于直线x ＝m 对称，点M 在直线x ＝m 上，∴△CMC ′为等腰三角形，要使△CMC ′为等腰直角三角形，则m 2－4m ＋2－(－2)＝12|2m －4|，即m 2－4m ＋4＝|m －2|，当m 2－4m ＋4＝m －2时，解得m ＝3或m ＝2(舍去)，此时点M 的坐标为(3，－1)；当m 2－4m ＋4＝2－m 时，解得m ＝1或m ＝2(舍去)，此时点M 的坐标为(1，－1)．综上所述，存在满足条件的点M ，且当点M 的坐标为(3，－1)或(1，－1)时，△CMC ′为等腰直角三角形．4. 解：(1)∵抛物线C 1的表达式为y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点M 的坐标为(1，－4)．令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∵点A 在点B 的左侧，∴点A 的坐标是(－1，0)；(2)∵将抛物线C 1绕点P 旋转180°后得到抛物线C 2，∴抛物线C 2的顶点N 的纵坐标是4，∵点P 是x 轴负半轴上一点，∴顶点N 的横坐标小于0，∴以点C 、M 、N 为顶点的三角形是直角三角形时，分∠MCN ＝90°和∠MNC ＝90°两种情况讨论：①如解图①，当∠MCN ＝90°时，设点N 的坐标为(m ，4)(m ＜0)，过点N 作NE ⊥x 轴于点E ，则点E 的坐标为(m ，0)，点C 的坐标为(m －2，0)，则NM 2＝(m －1)2＋64，CN 2＝20，CM 2＝(m －3)2＋16，∵NM 2＝CN 2＋CM 2，即(m －1)2＋64＝20＋(m －3)2＋16，解得m ＝－5，∴点N 的坐标为(－5，4)，∵点M 、N 关于点P 对称，∴点P 的坐标为(－2，0)；第4题解图①②如解图②，当∠MNC ＝90°时，设点N 的坐标为(n ，4)(n ＜0)，过点N 作NE ⊥x 轴于点E ，则点E 的坐标为(n ，0)，点C 的坐标为(n －2，0)，则NM 2＝(n －1)2＋64，CN 2＝20，CM 2＝(n －3)2＋16，∴CM 2＝CN 2＋NM 2，即(n －3)2＋16＝20＋(n －1)2＋64，解得n ＝－15，∴点N 的坐标为(－15，4)，∵点M 、N 关于点P 对称，∴点P 的坐标为(－7，0)．第4题解图②综上所述，符合条件的点P 的坐标为(－2，0)或(－7，0)．类型二二次函数与特殊四边形判定1. 解：(1)将A (0，2)、B (5，2)代入y ＝ax 2－52x ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝225a －252＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12c ＝2. ∴抛物线L 的表达式为y ＝12x 2－52x ＋2，令y ＝0，即12x 2－52x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.∴C (1，0)，D (4，0)；(2)∵A (0，2)、B (5，2)、C (1，0)，∴AB ＝5，AC ＝12＋（－2）2＝5，BC ＝（5－1）2＋22＝25，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形；(3)存在．设抛物线L ′的表达式为y ＝12(x ＋m )2 －52(x ＋m )＋2， ∵以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形为平行四边形，且点E 在x 轴上，∴CE ∥AB ，CE ＝AB ＝5，∵C (1，0)，∴点E 的坐标为(6，0)或(－4，0)，①当点E 的坐标为(6，0)时，12(6＋m )2 －52(6＋m )＋2＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－5.此时抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2－92x ＋9或y ＝12x 2－152x ＋27； ②当点E 的坐标为(－4，0)时，12(－4＋m )2 －52(－4＋m )＋2＝0，解得m 1＝5，m 2＝8.此时抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2＋52x ＋2或y ＝12x 2＋112x ＋14. 综上所述，当m ＝－2时，即将抛物线L 向右平移2个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2－92x ＋9；当m ＝－5时，即将抛物线L 向右平移5个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2－152x ＋27；当m ＝5时，即将抛物线L 向左平移5个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2＋52x ＋2；当m ＝8时，即将抛物线L 向左平移8个单位，新抛物线L ′的表达式为y ＝12x 2＋112x ＋14. 2. 解：(1)设y ＝a (x －1)(x －3)，将(0，3)代入，得a ＝1，∴二次函数的表达式为y ＝(x －1)(x －3)，即y ＝x 2－4x ＋3，将其表示成顶点式为y ＝(x －2)2－1，∴顶点A 的坐标为(2，－1)；(2)由旋转的性质可知，AP ＝A ′P ，MP ＝M ′P ，∴以A 、M 、A ′、M ′为顶点的四边形是平行四边形，∴当∠APM ＝90°时，以A 、M 、A ′、M ′为顶点的四边形是菱形．如解图，①当点P 在y 轴上时，∠APM ＝90°，则AP ⊥y 轴，此时点P 的坐标为P 1(0，－1)；②当点P 在x 轴上时，设P (m ，0)，则AP 2＝(2－m )2＋12，PM 2＝m 2＋32，AM 2＝20，根据勾股定理得AP 2＋PM 2＝AM 2，即(2－m )2＋12＋32＋m 2＝20，解得m 1＝3，m 2＝－1，此时点P 的坐标为P 2(3，0)或P 3(－1，0)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3，0)或(－1，0)或(0，－1)．第2题解图3. 解：(1)将A (－2，0)、B (2，0)、C (0，2)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝0c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝0c ＝2，∴抛物线C 1的表达式为y ＝－12x 2＋2； (2)分两种情况讨论：①当BC 为对角线时，则D (0，0)、E (2，2)，设抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋m 1x ＋n 1，将点D (0，0)、E (2，2)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1＝0－2＋2m 1＋n 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝2n 1＝0，此时抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋2x ； ②当BC 为边时，有两种情况：a ．D (4，2)、E (2，4)，设抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋m 2x ＋n 2，将点D (4，2)、E (2，4)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－8＋4m 2＋n 2＝2－2＋2m 2＋n 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2n 2＝2，此时抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋2x ＋2； b ．D (0，－2)、E (－2，0)，设抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋m 3x ＋n 3，将点D (0，－2)、E (－2，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧n 3＝－2－2－2m 3＋n 3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 3＝－2n 3＝－2，此时抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2－2x －2. 综上所述，当以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为正方形时，抛物线C 2的表达式为y ＝－12x 2＋2x 或y ＝－12x 2＋2x ＋2或y ＝－12x 2－2x －2. 4. 解：(1)设抛物线L 1的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋4，将点C (0，3)代入得a ＋4＝3，解得a ＝－1，∴抛物线L 1的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3；(2)把抛物线L 1向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，即将点A 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时得到的抛物线L 2的顶点坐标为(2，2)，∴抛物线L 2的表达式为y ＝－(x －2)2＋2＝－x 2＋4x －2;(3)存在．如解图，∵以点O 、C 、P 、Q 为顶点的平行四边形以OC 为边，∴PQ ＝OC ，且PQ ∥OC ，∵OC ＝3，且OC ⊥x 轴，∴设点P (x ，－x 2－2x ＋3)，点Q (x ，－x 2＋4x －2)，∴PQ ＝|－x 2－2x ＋3－(－x 2＋4x －2)|＝|－6x ＋5|＝3，当－6x ＋5＝3时，解得x ＝13， ∴－(13)2－2×13＋3＝209，－(13)2＋4×13－2＝－79，此时点P 1(13，209)，Q 1(13，－79)；当－6x ＋5＝－3时，解得x ＝43， ∴－(43)2－2×43＋3＝－139，－(43)2＋4×43－2＝149，此时点P 2(43，－139)，Q 2(43，149)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(13，209)或(43，－139)．第4题解图类型三二次函数与图形面积1. 解：(1)将B (－1，0)代入y ＝mx 2－8x ＋3m ，得m ＋8＋3m ＝0，解得m ＝－2，∴抛物线L 的函数表达式为y ＝－2x 2－8x －6; (3分)(2)存在．在L 中，令x ＝0，则y ＝－6，∴C (0，－6)．令y ＝0，则－2x 2－8x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝－3，∴A (－3，0)．∵抛物线L ′与L 关于坐标原点对称，∴A ′(3，0)，B ′(1，0)．∴AA ′＝6，BB ′＝2，OC ＝6.(5分)设L ′上的点P 在L 上的对应点为P ′，P ′的纵坐标为n ，由对称性，可得S △P ′A ′A ＝S △P A ′A .要使S △P ′A ′A ＝S △CB ′B ，则12·AA ′·|n |＝12·B ′B ·O C. ∴|n |＝2，n ＝±2.(7分)令y ＝2，则－2x 2－8x －6＝2.解得x ＝－2.令y ＝－2，则－2x 2－8x －6＝－2.解得x ＝－2＋2或x ＝－2－ 2.∴P ′的坐标为(－2，2)，(－2＋2，－2)或(－2－2，－2)．由对称性可得P 的坐标为(2，－2)，(2－2，2)或(2＋2，2)．(10分)2. 解：(1)将点A 、C 坐标代入二次函数y ＝ax 2＋bx －4的表达式中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝04a ＋2b －4＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴该二次函数表达式为y ＝x 2－3x －4，∵y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254， ∴顶点M (32，－254)； (2)能．∵点D (m ，n )(－1<m <2)，∴点D 在AC 下方的抛物线上，如解图，过点D 作DF ∥y 轴交AC 于点F ，设直线AC 的表达式为y ＝cx ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧－c ＋d ＝02c ＋d ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2d ＝－2， ∴直线AC 的表达式为y ＝－2x －2，则F (m ，－2m －2)，∴DF ＝－2m －2－n ＝－2m －2－(m 2－3m －4)＝－m 2＋m ＋2，∵S △ACD ＝12DF ·(x C －x A )＝278， ∴[2－(－1)]×(－m 2＋m ＋2)＝2×278，解得m ＝12， ∴n ＝－214， ∴D (12，－214)，E (52，－214)， ∴DE ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，DE 为平行四边形的边，则PQ ∥DE ，且PQ ＝DE ＝2，∴点P 的横坐标为32－2＝－12或32＋2＝72， ∴P 1(－12，－94)或P 2(72，－94)；第2题解图①②如解图②，DE 为平行四边形的对角线，则PQ 平分DE ，又∵点Q 在直线l 上，∴点P 也在直线l 上，∴点P 与顶点M 重合，∴P (32，－254)．第2题解图②综上所述，存在符合条件的点P ，点P 的坐标为(－12，－94)或(72，－94)或(32，－254). 3. 解：(1)如解图①，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠CAD ＋∠ACD ＝90°.第3题解图①∵∠OBA ＋∠OAB ＝90°，∠OAB ＋∠CAD ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACD ，∠OBA ＝∠CA D.在△AOB 与△CDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAB ＝∠DCA AB ＝CA ∠OBA ＝∠DAC，∴△AOB ≌△CDA (ASA)．∵A (0，1)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2，∴CD ＝OA ＝1，AD ＝OB ＝2，∴OD ＝OA ＋AD ＝3，∴C (3，1)．∵点C (3，1)在抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象上， ∴1＝12×9＋3b －2，解得b ＝－12. ∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－12x －2； (2)在Rt △AOB 中，OA ＝1，OB ＝2，由勾股定理得AB ＝ 5.∴S △ABC ＝12AB 2＝52. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，∵B (0，2)，C (3，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝23k ＋t ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13t ＝2， ∴直线BC 的解析式为y ＝－13x ＋2.同理求得直线AC 的解析式为y ＝12x －12. 如解图②，设直线l 与BC 、AC 分别交于点E 、F ，第3题解图②设点E (x ，－13x ＋2)(x ＜3)，则点F (x ，12x －12)， ∴EF ＝(－13x ＋2)－(12x －12)＝52－56x . 在△CEF 中，EF 边上的高h 为OD －x ＝3－x .由题意得S △CEF ＝12S △ABC ，即12EF ·h ＝12S △ABC ， ∴12×(52－56x )(3－x )＝12×52，整理得(3－x )2＝3，解得x ＝3－ 3 或x ＝3＋ 3 (不合题意，舍去)，∴当直线l 为x ＝3－ 3 时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分．又∵平移前的抛物线表达式为y ＝12(x －12)2－178，顶点为(12，－178)， ∴平移后的抛物线顶点为(3－3，－178)， ∴平移后的抛物线的表达式为y ＝12(x －3＋3)2－178. 4. 解：(1)∵所求抛物线的对称轴为直线x ＝－12，且过A (－3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝－129－3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－6 ，(2分) ∴所求抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋x －6；(3分)(2)令x ＝0，得y ＝－6，∴C (0，－6),令y ＝0，得x 2＋x －6＝0，∴x1＝2，x2＝－3(舍)，∴B(2，0)；(5分)(3)由平移性质可知，BC∥DE且BC＝DE.∴以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形. (6分)如解图，符合条件的四边形有三个：第4题解图▱BCE1D1、▱BCE2D2、▱BCE3D3.∴S▱BCE1D1＝OC·BD1，S▱BCE2D2＝OC·BE2，S▱BCE3D3＝OC·BE3. ∵BE2>BD1，BE2>BE3，∴▱BCE2D2的面积最大. (8分)令y＝6，得x2＋x－6＝6.∴x1＝3(舍去)，x2＝－4.∴D2(－4，6)，E2(－6，0).∴BE2＝2－(－6)＝8.∴S▱BCE2D2＝OC·BE2＝6×8＝48.∴四边形BCED面积的最大值为48.(10分)5.解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝－b2×（－1）＝1，解得b＝2，∵抛物线过点C(0，3)，∴c＝3，∴抛物线C1的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵抛物线C2是由抛物线C1沿x轴翻折得到的，∴抛物线C2的开口方向向上，开口大小与抛物线C1相同，且抛物线C2的顶点与抛物线C1的顶点关于x轴对称．∵抛物线C1：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)，则抛物线C2的顶点坐标为(1，－4)，∴抛物线C2的函数表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3；(3)如解图，令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∵点A在点B的右侧，∴点A的坐标为(3，0)，∵点D是第一象限内抛物线C1上的一个动点，∴设点D的坐标为(m，－m2＋2m＋3)(0<m<3)，∵DP⊥x轴，交抛物线C2于点P，∴点P的坐标为(m，m2－2m－3)，∴DP＝(－m2＋2m＋3)－(m2－2m－3)＝－2m2＋4m＋6，设DP交x轴于点E，则S＝S△CDP＋S△ADP＝12DP·OA＝12(－2m2＋4m＋6)×3＝－3m2＋6m＋9.∵S＝－3m2＋6m＋9＝－3(m－1)2＋12，0<m<3，∴当m＝1时，S有最大值，最大值为12.第5题解图类型四二次函数与三角形相似1.解：(1)设抛物线w1的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将C(0，2)代入y＝a(x＋1)(x－2)，解得a＝－1.∴抛物线w1的表达式为y＝－x2＋x＋2；(2)存在．∵抛物线w1与w2关于y轴对称，∴抛物线w2的表达式为y＝－x2－x＋2，∵点D是OC的中点，OC＝2，∴OD＝1，∵OA＝OD＝1，OC＝OB＝2，∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△DOB，∴∠ACO＝∠DBO，∵∠CDE＝∠BDO，∴△DOB∽△DEC，∴OD OB ＝DE CE ＝12， ∠CED ＝∠BOD ＝90°，又∵∠QFO ＝90°，∴设Q (x ，y )(－2<x <0)，分两种情况讨论：①当△QFO ∽△DEC 时，∴QF OF ＝DE CE ＝12＝y －x， ∴y ＝－12x ，则Q (x ，－12x )， ∴－12x ＝－x 2－x ＋2，解得x ＝－1＋334(舍)或x ＝－1－334， ∴F (－1－334，0)； ②当△OFQ ∽△DEC 时，∴OF QF ＝DE CE ＝12＝－x y， ∴y ＝－2x ，则Q (x ，－2x )，∴－2x ＝－x 2－x ＋2，解得x ＝2(舍)或x ＝－1，∴F (－1，0)．综上所述，存在符合条件的点F ，点F 的坐标为(－1－334，0)或(－1，0)． 2.解：(1)∵抛物线L 经过点A （-1,0），B （3,0），∴设L ：y=a （x +1）（x -3）（a ≠0）.（2分）又∵C （-1,2）在L 上，∴a =12. ∴y =12x 2-x -32.（4分）（2）如解图，∵L ：y =12x 2-x -32， ∴D （1,2）在L 的对称轴x =1上.∵△A ′B ′C ′与△ABC 位似，位似中心为D （1,2），且相似比为2，∴①当△A ′B ′C ′在△ABC 下方时，显然，点A ′、B ′不会在抛物线L 上（图略）；（5分）②当△A ′B ′C ′在△ABC 上方时，易知A ′B ′=2AB =8，∴点A ′、B ′的横坐标分别为5，-3.设对称轴x =1分别与AB 、A ′B ′的交点为E 、E ′.由题意，可知DE =2,∴点E 的对应点E ′（1，6）.∴点A '、B '的纵坐标均为6，∴A '(5，6)，B '( -3，6).(8分)∵当x =5时，y =12×52-5-32=6， ∴点A '(5 ，6)在拋物线L 上.同理,可得B '( -3，6)也在拋物线L 上.∴存在点A '(5，6)，B '( -3，6)在抛物线L 上. (10分)第2题解图3. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C (0，2)，且OB ＝2OC ，对称轴为直线x ＝52， ∴B (4，0)，c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋2＝0－b 2a ＝52，解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－52， ∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－52x ＋2； (2)设直线BC 的表达式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，将B (4，0)、C (0，2)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝0n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12n ＝2， ∴直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋2，设点D 的坐标为(x ，0)，则点M 的坐标为(x ，－12x ＋2)，点N 的坐标为(x ，12x 2－52x ＋2)，其中0<x <4，∴MN ＝－12x ＋2－(12x 2－52x ＋2) ＝－12x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2， ∴当x ＝2时，MN 有最大值，此时点M 的坐标为(2，1)；(3)以B 、D 、N 为顶点的三角形能与△OBC 相似．设点N 坐标为(t ，12t 2－52t ＋2)，则点D 的坐标为(t ，0)，其中0<t <4， ①当△DBN ∽△OBC 时，可得DB OB ＝DN OC，即4－t 4＝|12t 2－52t ＋2|2，当4－t ＝2(12t 2－52t ＋2)时，解得t 1＝0，t 2＝4，均不符合题意，舍去；当4－t ＝－2(12t 2－52t ＋2)时，解得t 1＝2，t 2＝4(舍)，∴N (2，－1)；②当△DNB ∽△OBC 时，可得DN OB ＝DB OC，即|12t 2－52t ＋2|4＝4－t 2，当12t 2－52t ＋2＝2(4－t )时，解得t 1＝－3，t 2＝4，均不符合题意，舍去；当12t 2－52t ＋2＝－2(4－t )时，解得t 1＝4，t 2＝5，均不符合题意，舍去．综上所述，存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(2，－1)．4. 解：(1)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴点D (1，－4)，令y ＝x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，∵点A 在点B 的左边，∴A (－1，0)，B (3，0)；(2)令x ＝0，得y ＝－3，∴点C (0，－3)，∴BC 2＝(3－0)2＋(0＋3)2＝18，CD 2＝(1－0)2＋(－4＋3)2＝2，BD 2＝(3－1)2＋(0＋4)2＝20， ∵BC 2＋CD 2＝BD 2，∴△BCD 是直角三角形；(3)存在．∵B (3，0)，C (0，－3)，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，点E 为抛物线C 2与y 轴的交点，若点E 在点C 下方，则∠ECB ＝135°，以E 、B 、C 为顶点的三角形一定不与△ABC 相似，故点E 在点C 上方．∵∠OBC ＝∠ECB ＝45°，∴分两种情况：①当△CBE ∽△BAC 时，则有CB BA ＝CE BC， ∵BC ＝32，AB ＝4，∴CE ＝92， ∴点E (0，32)，此时抛物线C 1向上平移92个单位得到抛物线C 2， ∴抛物线C 2的顶点坐标为(1，12)； ②当△CEB ∽△BAC 时，则有CB BC ＝CE BA＝1，此时两三角形全等，故舍去．综上所述，存在点E ，使得以E 、B 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，此时新抛物线C 2的顶点坐标为(1，12)．类型五二次函数与线段最值1. 解：(1)已知抛物线的对称轴为直线x ＝－1，可设抛物线的表达式为 y ＝a (x ＋1)2＋k ，将点A (－3，0)，点C (0，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝0a ＋k ＝－3 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1k ＝－4， ∴抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4＝x 2＋2x －3；(2)由(1)知抛物线表达式为y ＝x 2＋2x －3，令y ＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴点B 的坐标为(1，0)，∵点C 坐标为(0，－3)，∴OB ＝1，OC ＝3，∴S △BOC ＝12OB ·OC ＝12×1×3＝32， ∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为(m ，m 2＋2m －3)，∴S △POC ＝12OC ·|m |＝32|m |， ∵S △POC ＝4S △BOC ，∴32|m |＝4×32，解得m ＝4或m ＝－4，∴当m ＝4时，m 2＋2m －3＝21，当m ＝－4时，m 2＋2m －3＝5，∴满足条件的点P 有两个，分别为P 1(4，21)，P 2(－4，5)；(3)如解图，设直线AC 的解析式为y ＝bx ＋c ，将点A (－3，0)，C (0，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－3， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x －3，由于点Q 在AC 上，可设点Q (n ，－n －3)，则点D (n ，n 2＋2n －3)，其中－3<n <0，∴DQ ＝－n －3－(n 2＋2n －3)＝－n 2－3n＝－(n ＋32)2＋94， ∴当n ＝－32时，DQ 长度有最大值94.第1题解图2. 解：(1)∵二次函数的对称轴为直线x ＝－1，∴－b 2a＝－1，b ＝2a ，又∵二次函数图象经过B (－3，0)、C (0，3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0c ＝3b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)如解图，作点C 关于对称轴直线x ＝－1的对称点C ′，连接C ′A 交对称轴于点M ，此时△ACM 的周长最小，∵点C (0，3)，抛物线对称轴为x ＝－1，∴点C ′(－2，3)，令y ＝－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，设直线AC ′的表达式为y ＝kx ＋b ，将点C ′(－2，3)，A (1，0)代入可求得直线AC ′的表达式为y ＝－x ＋1，∴当x ＝－1时，y ＝2，∴M (－1，2)；第2题解图(3)设P (－1，t )．∵P (－1，t )，B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝t 2＋4，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①当点B 为直角顶点时，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋t 2＋4＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2，∴P (－1，－2)．②当点C 为直角顶点时，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝t 2＋4，解得t ＝4，∴P (－1，4)．③当点P 为直角顶点时，则PC 2＋PB 2＝BC 2，即t 2＋4＋t 2－6t ＋10＝18，解得t ＝3＋172或t ＝3－172， ∴P (－1，3＋172)或(－1，3－172)．综上所述，点P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)． 3. 解：(1)在直线y ＝－x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝3，故点B 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，3)，把点B 、C 的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝3. ∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′(0，－3)，在x 轴上取一点E ，连接EC 、ED 、EC ′，则EC ＝EC ′，EC ＋ED ＝EC ′＋ED ，∴当点C ′、E 、D 三点共线时，EC ′＋ED 的值最小，即EC ＋ED 的值最小，最小值为DC ′. ∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴点D 的坐标为(1，4)，∴DC ′＝12＋[4－（－3）]2＝5 2 .设直线DC ′的解析式为y ＝mx ＋n ，代入点C ′、D 的坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－3m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7n ＝－3，故直线DC ′的解析式为y ＝7x －3，易得点E 的坐标为(37，0)． ∴当点E 的坐标为(37，0)时，EC ＋ED 的值最小，最小值为52；第3题解图①(3)存在．如解图②，设直线BC 交对称轴于点G ，连接AG ，由(1)易得抛物线对称轴为直线x ＝1，∴点G 坐标为(1，2)，又由题易得A (－1，0)、B (3，0)、C (0，－3)，∴易知△BOC 和△ABG 都是等腰直角三角形，∴AG ＝BG ＝22，∠OCB ＝45°.以点G 为圆心，以GA 长为半径作圆，交对称轴于点P ，点P 位于弦AB 上方，由圆周角定理可知∠APB ＝12∠AGB ＝45°＝∠OC B. ∵AG ＝BG ＝PG ＝22，∴点P 的纵坐标为2＋22，横坐标为1，∴点P 的坐标为(1, 2＋22)；同理，当点P ′位于弦AB 下方，点P ′与点P 关于x 轴对称，点H 与点G 关于x 轴对称，此时∠AP ′B ＝12∠AHB ＝45°＝∠OCB ，点H (1，－2)，HP ′＝PG ＝22， ∴点P ′的坐标为(1，－2－22)．综上所述，存在满足条件的点P ，其坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)．第3题解图②。

中考数学二次函数与几何综合题

当点 P 位于第四象限时，PM＝－m2＋2m＋3，PQ＝m2－2m－3＋
3m＋3＝m2＋m．
∵PM ＝1PQ，∴－m 2＋2m ＋3＝1(m 2＋m )．
2
2
解得 m＝－1(舍去)或 m＝2．
综上，当 PM＝12PQ 时，m 的值为 6 或 2．
专题十二二次函数与几何综合题
(3) 在 (2) 的条件下， N 是直线 AC 上一点．当 △PQN 是直角三角形时，求点N的坐标．
当点 P 位于第一象限时，PM＝m2－2m－3，PQ＝m2－2m－3＋3m＋
3＝m2＋m．
∵PM ＝1PQ，∴m2－2m －3＝1(m2＋m)．解得 m ＝－1(舍去)或
2
2
m＝6．
专题十二二次函数与几何综合题
当点 P 位于第二象限时，PM＞PQ，不合题意，舍去．
当点 P 位于第三象限时，PM＞PQ，不合题意，舍去．
专题十二二次函数与几何综合题
(2)若点 P 是 x 轴上的点，连接 PB，PA，当 PPAB＝25 时，求点 P 的坐标；
解：设 P(t,0)，则有PPAB＝ tt＋＋1522＋＋5222＝25．整理，得 21t2＋242t＋621＝0．解得 t＝－277 或－233． ∴满足条件的点 P 的坐标为－277，0或－233，0．
【提示】设M(t，t2－2t－3)，N(n, 2 n-2 ) ． 3
如答图6，线段OM绕点O逆时针旋转90°得到线段ON，作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于点H，则∠OGM＝∠OHN＝90°．
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON， ∴OM＝ON，∠MON＝90°． ∵∠GOH＝90°， ∴∠MOG＝∠NOH．

初三数学二次函数复习纲要及习题

初三数学二次函数复习纲要及习题二次函数的几个基本名词：抛物线的顶点、对称轴和开口方向大纲要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之閴的联系〒内容（9）亄次函数及其图蹡如果y=ax 2+bxc(a,b,c 是常数，a ≠09,那么，y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用懏点法画出二次凝数的嚾象。

（2）抛物线的顦点、对称轴和开口旹向（2）抛物线的顦点、对称轴和开口旹向抛癩线y=ax 2+bx 耫c(a ≠0)的顶点是)44,2(2ab ac a b --，姹称轴是a b x 2-=䀕，当a>0时，抛物线开䏣向上，当a>0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a （x+h ）2Ыj(a ≠0)的顶点是（,h ，k ），对緰轴是x=-h.考查重点与常见题型：考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点，则m 的值是1．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（）2．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。

2023年中考数学复习专题：二次函数图象与性质的综合题课件

(2)若直线y＝－1与抛物线只有一个交点，求k的值；
【分层分析】
由图象知抛物线的顶点在直线y＝－1上．
解：由题意得抛物线顶点的纵坐标为－1.
4×（－1）×（1－k2）－（1－2k）2
9
即
4×（－1）
＝－1，解得k＝4.
(3)若抛物线经过点P(－3，n)与点Q(5，n)，求k的值；【分层分析】由抛物线的对称性得对称轴为x＝－32＋5，利用对称轴公式求k.
x＝－
1－2k 2×（－1）
在0≤x≤3这个区间的右侧，当x＝3时，有最大值，并
检验．
1－2k 1－2k
1－2k
解：分三种情况．当对称轴－2×（－1）＝ 2 满足0≤ 2 ≤3时，
4×（－1）×（1－k2）－（1－2k）2 7
1
4×（－1）
＝4，解得k＝－2，
此时
1－2k 1＝y2，求顶点到MN的距离；
∵y1 ＝y2，∴点M，N关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线x＝2，且x2－x1＝3，
1
7
1
∴x1＝2，x2＝2，当x＝2时，
y1＝221－22－1＝72， 79
∴当y1＝y2时，顶点到MN的距离＝2＋1＝2.
(2)当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．
(2)若该抛物线的顶点在第二象限，且过点(1，1)，当a<b时，求证：－ 3<2a＋b＜－1；【分层分析】由一元二次方程根的判别式可知抛物线与x轴有两个交点，再结合抛物线的顶点在第二象限可判断出开口方向和对称轴的正负；由抛物线过点(1，1)可得出a与b的关系，从而将2a＋b化为只含有一个未知数的式子，利用a<b和对称轴的正负即可得证．

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合题目背景07 年课改后，最后一题宽泛为抛物线和几何结合（主若是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。

几何题可能想许久都不能够动笔，而代数题则能够想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。

因此，课改此后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单很多，而这也吻合教育部要求给学生减少负担的主旨，因此也会连续下去。

要做好这最后一题，主若是要在有限的时间里面找到的简略的计算方法。

要做到这一点，一是要加强自己的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。

题型解析题目解析及对考生要求（1）第一问平时为求点坐标、解析式：本小问要修业生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。

（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。

解题偏代数，要修业生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。

要修业生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转变，获取相应的点坐标，再进行相应的代数计算。

（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。

解题偏几何，要修业生能够对题目所给条件进行转变，合理设参数，将点坐标转变成相应的线段长，再依照题目条件合理构造相似、全等，也许利用锐角三角函数，将这些线段与题目成立起联系，再进行相应计算求解，此处要修业生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。

在我们解题时，经常有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转变，变成方便我们使用的条件，以下为两种常有的条件转变思想。

1、遇到面积条件： a. 不规则图形先进行切割，变成规则的图形面积； b. 在第一步变化后仍不是很好使用时，依照同底等高，也许等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转变； c. 当面积转变成一边与坐标轴平行时，以这条边为底，依照面积公式转变成线段条件。

2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等也许利用锐角三角函数，转变成线段条件。

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)(含答案)

2023年中考数学专题复习：二次函数综合题（角度问题）1．如图，抛物线y=ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COD:S△COB＝1：3时，求点F的坐标；(3)如图2，点E的坐标为（0，﹣3），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？2若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4)，连接AC、BC．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；(3)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标．3．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C ，抛物线y ＝ax 2﹣3x +c 经过A ，C 两点，并且与x 轴交于另一点B ．点D 为第四象限抛物线上一动点(不与点A ，C 重合)，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，交直线AC 于点E ，连接BE ．设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠ECD ＝∠EDC 时，求出此时m 的值；(3)点D 在运动的过程中，△EBF 的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．4．抛物线y ＝ax 2+4（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左侧），AB ＝4，点P （2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．5．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C，且OC=3OB．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△P AB的面积最大时，直接写出点P的坐标．6．如图，抛物线23=++交x轴于A(3,0),B(−1,0)两点，交y轴于点C．y ax bx(1)求抛物线的解析式和对称轴．(2)若R为抛物线上一点，满足∠BCR=45°，求R的坐标．(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A，B两点与x轴相交于点C点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC＋∠OBA＝45°时，求点P的坐标；(3)点M为抛物线上任意一点，当S△ABM:S△ABC=1:3时，请直接写出点M的坐标．8．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(−1,0)，C(0,−3)两点，对称轴为直线x=1，对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的点，当∠ACP=45°时，求点P的坐标；(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．9．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 10．如图，抛物线y=−12轴交于点C．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线AC的函数表达式；(2)若D是第一象限内抛物线上一动点，且△BCD的面积等于△AOC的面积，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，连接AD，试判断在抛物线上是否存在点M，使∠MDA＝∠ACO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA=OC=3．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；(3)在y轴上是否存在一点N，使得∠BCO+∠BNO=45°，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，顶点坐标为(3,4)的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,−5)．(1)求a，b的值；(2)已知点M在射线CB上，直线AM与抛物线y=ax2+bx+c的另一公共点是点P．①抛物线上是否存在点P，满足AM:MP=2:1，如果存在，求出点P的横坐标；如果不存在，请说明理由；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若A(−1,0)且OC=3OA．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D 是该抛物线的顶点，点P (m,n )是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、BP ，当2PBA CBD ∠=∠时，求m 的值；(3)如图2，∠BAC 的角平分线交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与射线AB ，AC 分别交于E ，F ，已知当直线l 绕点M 旋转时，1AE+1AF为定值，请直接写出该定值．14．如图，已知A(−2,0),B(3,0)，抛物线y =ax 2+bx +4经过A 、B 两点，交y 轴于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一点，点P 的横坐标为m ．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．过点P 作PN ⊥BC ，垂足为点N ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？(3)连接PC ，在第一象限的抛物线上是否存在点P ，使得∠BCO +2∠PCN =90°？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式．(2)点N是y轴负半轴上的一点，且ON=√2，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分OMD∠时，求点M的坐标．(3)直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P 的坐标．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0),B(2,0),C(0,2)三点，点D在该抛物线的对称轴l上．(1)求抛物线的表达式；(2)若DA=DC，求∠ADC的度数及点D的坐标；(3)若在（2）的条件下，点P在该抛物线上，当PBC DAB∠=∠时，请直接给出点P的坐标．17．如图，已知抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且D (2,3)，tan ∠DBA =12．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)若抛物线上存在一个点P ，使得∠PDB =∠ABD ，请求出P 点的坐标．(3)已知点M 的坐标(−2,0)，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标，若不存在，请说明理由．18．抛物线y ＝ax 2+c （a <0）与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 在抛物线上，且位于x 轴上方．(1)如图1，若P (1，2)，A (-3，0)． ①求该抛物线的解析式；②若D 是抛物线上异于点P 一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标； (2)如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，OE+OF OC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．19．如图（1），抛物线y=ax2+(a−5)x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝13．(1)求抛物线的解析式；(2)如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP=∠ACB，求点P的坐标；(3)如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB=3∠ACB，求点D的坐标20．如图，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，3)，点A 在原点左侧，2CO=9AO，连接BC．(1)求点A坐标：(2)求该抛物线的解析式：(3)点D在该抛物线上，∠DCB=∠ABC，求出点D的坐标．参考答案：1．(1)y =−x 2+2x +3；(2)F （35，125）； (3)存在，P （13，329）或（﹣73，﹣649）．2．(1)y =−14x 2+32x +4(2)D (−8,8),24(3)P (6,4)或(343,−1009)3．(1)抛物线的解析式是y =x 2-3x -4；(2)m =4−√2；(3)存在，m =1.5时，△BEF 的周长最小．4．(1)y =−x 2+4；(2)点M 的坐标为(13,359)或(135,−6925)； (3)（3）抛物线顶点横坐标t 的取值范围为-3≤t ＜0或5−√212<t ≤5+√212 ．5．(1)y =−x 2+2x +3(2)点D 的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P （12，154）6．(1)y =−x 2+2x +3，对称轴为直线x =1(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或(2,3+√172)或(2,3−√172)7．(1)y =−12x 2+x +4(2)(6,−8)和(3,52)(3)M 1(2,4)，M 2(−4,−8)8．(1)y =(x −1)2−4(2)P (4,5)(3)M (0,−3)或M (−2,5)或M (4,5)9．(1)y =−x 2+2x +3(2)①(53,329)；②73或510．(1)A (－2，0)，B (4，0)，C (0，4)，y =2x +4(2)(2，4)(3)存在，(－23，289)或(－6，－20)11．(1)y =x 2+2x −3(2)（-2，-3）或（-1，-4）(3)（0，2）或（0，-2）12．(1)-1；6(2)①存在，5+√172或5+√332或5−√332；②(136,−176)；(236,−76)13．(1)y =x 2−2x −3(2)−74(3)10+√101014．(1)y =−23x 2+23x +4(2)PN =−25m 2+65m ，当m =32时，有最大值910(3)存在，m =7415．(1)1(1,1)M 或2(1,1)M -(2)y =x 2−2x −3(3)1(3,4)P --或2(1,6)P --或3(2,1)P 或4(4,1)P -．16．(1)y =−x 2+x +2(2)∠ADC =90°，点D 的坐标为(12,12) (3)点P 的坐标为(1,2)或(−12,54)17．(1)213222y x x =+- (2)P (−5,3)或(−73，−259)(3)点Q 的坐标为(−2,4)或(−2,−1)．18．(1)①y =−14x 2+94；②(-1，2)或(133，−229) (2)OE+OF OC 是定值，定值为2．19．(1)y =x 2−4x +3(2)P (5，8)(3)D (2011，1311)20．(1)（-23，0）(2)y =−12x 2+256x +3 (3)（253，3）或（596，−358）。

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