一元二次方程根与系数的关系教案1人教版(优秀教案)

( 二次项系数为 ) 是
－( ＋ ) ＋·＝．
我们来看个题 , 试试利用韦达定理简不简单
例已知方程＋－＝的一个根是，求它的另一个根及的值．
分析： 由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出的值，再由方程解出另一
个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个
注：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的的范围，然后再由
“两个实数根的平方和比两个根的积大
21”求出的值，取满足条件的的值即可．在今后的解
题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式
Δ是否大于或等于零．因为，
韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例已知 x1, x2 是一元二次方程 4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根．
【课堂练习】
．设 x1, x 2 是方程－＋＝的两根，求下列各式的值：
() x12 x22
()
(x1 x2 ) 2
. 设 x1 , x2 是一元二次方程 2 x2 5x 1 0 的两个根， 利用根与系数的关系， 求下列各式的值：
（） ( x1 3)( x2 3) ；
（） ( x1 1)2 (x 2 1) 2
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 童桐
复习引入 填写下列表格
方程
x1 , x 2
x1 x 2
x1x 2
2
x 2x 1 0
x2 x 0
x2 5x 4 0 x2 6x 3 0
3 23 3 23
问题：你发现了什么规律？
内容分析
如果＋＋＝ ( ≠ ) 的两根分别是， ，那么
这一关系也被称为韦达定理．
x1 x2
a2 b2
c 2 ，从已知条件里可知 a b
4, ab
7
,斜边为，
由勾股定理可知： c 2
a2
b 2 ，而由题意可知 a b
4, ab
7
，
2
所以 c2 a 2 b 2 (a b)2 2ab 9 ,
有因为是直角三角形的斜边，所以 > 得
例已知关于的方程＋ ( － ) ＋＋＝有两个实数根， 并且这两个实数根的平方和比两个根的积大，
() 是否存在实数 k ，使 (2 x1 x2)( x1 2 x)2
请您说明理由．
3 成立？若存在， 求出 k 的值；若不存在，
2
() 求使 x1 x2
x2 2 的值为整数的实数 k 的整数值． x1
解： () 假设存在实数 k ，使 (2 x1 x2 )( x1 2x2 )
根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之
和求出的值．
解： 设方程的另一个根为，则 2x1
6
，
5
x1
3
．
5
由 ( 3) 2 5
k
，得＝－．所以，方程的另一个根为
5
3
．的值为－
5
注：可能觉得这题并不能体现有多简单，如果我们把改为
2012 2011 ，又如何呢？
一 掌握韦达定理
例： 说出下列各方程的两根和与两根积
、 x 2 2 x 1 0 x1 x2 2 x1 x2 1
、 2x2
3x
1 2
0 x1
x2
3 2 x1 x2
1 4
、 2 x 2 6 x x1 x 2 3 x1 x2 0
、
： 例 已知是方程的两个根，分别根据下列条件求出和的值
:
（） x1 1, x2 2
（） x1 3, x2 6
（） ( x1 1 )( x2 1 )
3x2
3x1
三 已知一元二次方程两根的关系 ( 或系数关系 ) 求系数关系 ( 或求两根
的关系 ) ，可考虑用韦达定理
例 已知一个直角三角形的两条直角边长恰是方程
角形的斜边长是。
2 x2 8 x 7 0 的两个根，则这个直角三
分析：直角三角形的勾股定理：
变形就可以解出答案。
11
()
； () (x1 5)( x2 5) ；
x1 x2
() | x1 x2 | ．
解： 由题意，根据根与系数的关系得： x1 x2 2, x1x2 2007
() x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2x1x2 ( 2)2 2( 2007) 4018
11
()
x1 x2
x1 x2 x1 x2
2
2
x1 x2 表示求解
x12
x2 2
( x1
x2 )2
1 2 x1 x2 ，
1
x1 x2
x1 x2 ， (x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1x2 ， x1x2
| x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 4x1 x2 ， x1 x22 x12 x2 x1x2 ( x1 x2 ) ， x13 x23 (x1 x2 )3 3x1 x2 (x1 x2 ) 等等．韦达定理体现了整体思想．
b ， x1 x2 c ．
a
a
特别地，对于二次项系数为的一元二次方程
x 2 px q 0 ，若，是其两根，由韦达定
理可知
＋＝－，·＝，
即
＝－ ( ＋ ) ，＝·，
所以，方程＋＋＝可化为－ ( ＋ ) ＋·＝，由于，是一元二次方程＋＋＝的两根，所以，也是
一元二次方程－ ( ＋ ) ＋·＝．因此由已知两个数，为根的一元二次方程
求的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大得到关于的方程，从而
解得的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其 根的判别式应大于等于零．
解： 设，是方程的两根，由韦达定理，得
＋＝－ ( － ) ，·＝＋．
∵ x12 ＋ x22 －·＝，
∴ ( ＋) －·＝， 即[ － ( － )] － ( ＋ ) ＝， 化简，得－ 16m－＝，解得＝－，或＝． 当＝－时，方程为－＋＝， Δ＞，满足题意； 当＝时，方程为＋＋＝， Δ＝－××＜，不合题意，舍去． 综上，＝－．
（） x1
7, x2 7
（） x1 2 5 , x2 2 5
二 利用韦达定理求对称式
求与方程的根有关的代数式的值，通过转化把对称式转化为与
x1 x 2 ， x1x 2 有关的式子，然
后整体代入；
例 若 x1, x2 是方程 x2 2 x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
() x12 x22 ；
2007 2007
() ( x1 5)( x2 5) x1 x2 5( x1 x2 ) 25 2007 5( 2) 25 1972
() | x1 x2 | ( x1 x2 )2
( x1 x2 ) 2 4x1x2
( 2)2 4( 2007) 2 2008
注：应用韦达定理的代数式的值， 一般是关于 x1 、x2 的对称式， 这类问题可通过变形用 x1 x 2 、