专题05 二次函数的简单应用(解析版) 初升高数学无忧衔接(沪教版2020)

专题05
二次函数的简单应用
课程要求
《初中课程要求》
初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容。

《高中课程要求》二次函数也是高考必考内容，高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要。

热身练习
一、填空题
1．（2020·福建厦门市·厦门一中高一开学考试）平面直角坐标系xOy 中，已知点(),a b 在直线
222(0)y cx c c =++>上，且满足2222(12)40a b bc c b +-+++=，则c =________.
1
-【分析】将点(),a b 代入222y cx c =++，得222b ac c =++，再代入
2222(12)40a b bc c b +-+++=，利用非负数的性质，求出a 、b 用c 表示，再代入222b ac c =++解
方程即可解决问题.
【详解】将点(),a b 代入222y cx c =++得：222b ac c =++①，将222b ac c =++代入2222(12)40a b bc c b +-+++=得：
22222(12)422a b bc c ac c +-+++++2222=24422a b bc c ac c +--++++2222=24+42+2
a ac c
b b
c c ++--+
()()22
=+20a c b c +-=，所以2a c b c =-⎧⎨
=⎩②③
，将②③代入222b ac c =++得：22222c c c =-++，即2220c c +-=，
解得：1c =
或1c =-（舍）
1
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，属于中考填空题中的压轴题.
2．（2020·浙江高一开学考试）设x ≥0，y ≥0，且2x +y ＝6，则μ＝x 2+2xy +y 2﹣3x ﹣2y 的最小值是____．【答案】0
【分析】先由2x +y ＝6，得y ＝6﹣2x ，再代入μ＝x 2+2xy +y 2﹣3x ﹣2y ，即可得关于x 的二次函数，然后利用配方法将二次函数变形，根据二次函数的性质，结合x 的范围即可求出最小值．【详解】由题意得：x ≥0，y ＝6﹣2x ≥0，解得：0≤x ≤3．∵μ＝x 2+2xy +y 2﹣3x ﹣2y
＝x 2+2x （6﹣2x ）+（6﹣2x ）2﹣3x ﹣2（6﹣2x ）＝x 2﹣11x +24
＝2
112x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭﹣254，
∴当x ≤
11
2
时，y 随x 的增大而减小，故当x ＝3时，μ的最小值为2
1132⎛⎫- ⎪⎝
⎭﹣254＝0．故答案为：0．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握配方法并将待求式进行变形转化为二次函数求解是解题的关键．
3．（2020·浙江高一开学考试）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +a 2﹣1，当x ≥a 时，y 随x 的增大而增大．若点A （1，c ）在该二次函数的图象上，则c 的最小值为_____．【答案】-3
【分析】把二次函数y ＝ax 2﹣4ax +a 2﹣1，化成顶点式，求得对称轴，根据二次函数的增减性，结合条件“当
x ≥a 时，y 随x 的增大而增大．”求得a 的取值范围，再把A （1，c ）代入二次函数y ＝ax 2﹣4ax +a 2﹣1，得c 关于a 的二次函数，再根据二次函数的性质求得c 的最小值便可．【详解】
∵y ＝ax 2﹣4ax +a 2﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a +a 2﹣1，∴对称轴为x ＝2，
∵当x ≥a 时，y 随x 的增大而增大．∴a ≥2，
∵点A （1，c ）在该二次函数的图象上，∴c ＝a ﹣4a +a 2﹣1＝a 2﹣3a ﹣1＝（a ﹣32）2﹣134
，∴当a ＞3
2
时，c 随a 的增大而增大，∵a ≥2，
∴当a ＝2时，c 的值最小为：c ＝4﹣3×2﹣1＝﹣3，故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数的最值，二次函数的增减性的应用，解答本题的关键是根据二次函数的性质求出a 的取值范围．二、解答题
4．（2020·四川自贡市旭川中学高一开学考试）已知当41x -≤≤时，函数()2
2
41f x ax ax a =++-的最大
值为5，求实数a 的值.
【答案】2a =1a =.
【分析】讨论抛物线开口方向，根据函数的最大值得到关于a 的方程，即可得答案；【详解】()()2
22241241f x ax ax a a x a a =++-=++--，其图象的对称轴方程为2x =-，顶点坐标为(
)
2
2,41a a ---，图象开口方向由a 决定.
若0a <，函数图象开口向下，如图所示，
当2x =-时，函数取得最大值，即()22415f a a -=--=，
解得2a =2a =+（舍去）.故2a =-
若0a >，函数图象开口向上，如图所示，
∵41x -≤≤，∴当1x =时，函数取得最大值，即()2
1515f a a =+-=，
解得1a =或6a =-（舍去），故1a =.
综上，2a =-1a =.
【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意借助图形的直观性.
知识精讲
一、平移变换
在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．二、对称变换
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．三、分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．四、二次函数的最值
一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设f x ax bx c a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值．
分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b
a
=-2，当a >0时，抛物线开口向上，若-
∈b
a
m n 2[]，必在顶点取得最小值，
离对称轴较远端点处取得最大值；若-∉b a m n 2[]，，
当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a
=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．
当a <0时，同上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+<-+≥-=)
)((212)())((2
12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()
(2)2()(2)()(543min
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪，，如图如图212212910典例剖析
模块一：平移变换
例1.如图，抛物线
经过两点，顶点为D．
求a 和b 的值；
将抛物线沿y 轴方向上下平移，使顶点D 落在x 轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x 轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最
小值2，求平移的方向和单位长度．
【答案】
将抛物线向左平移个单位长度或向右平移
个单位长度．【解析】
代入
，
得：
，解得：
．
，
抛物线顶点D 的坐标为
．
将抛物线沿y 轴平移后，顶点D 落在x 轴上，平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移后的抛物线为，即．
若将抛物线
向左平移
个单位长度，则新抛物线的解析式为
，
时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点，
，
解得：舍去；
若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点．
，
解得：舍去．
将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
例2.已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【答案】向上平移3个单位．
【解析】由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，
则，
代入抛物线方程得：，
舍去．
所以向上平移3个单位．
例3.已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．
（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；
（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】
（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；
（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y=（x﹣1）2．
模块二：对称变换
例1.如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．
【解析】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴D(1，﹣9)．
(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B(4，0)．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E(1，0)．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P()．
例2已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.
(1)求函数的解析式;
(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.
【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.
【解析】(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,
根据题意得9a-2=
解得a=，
所以函数解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,
又因为二次函数的对称轴是直线x=3.
所以当x>3时,y随x增大而增大,
因为p>q>5>3,
所以m>n.
例3.已知抛物线经过点（1，-2）．
（1）求的值；
（2）若点A （m ，y 1）、B （n ，y 2）（m ＜n ＜3）都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．【答案】（1）a=-1；（2）y 1＜y 2．【解析】
(1)、∵抛物线经过点（1，-2），
∴，解得a=-1；
(2)、∵函数
的对称轴为x=3，
∴A（m，y 1）、B（n，y 2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y 1＜y 2．模块三：分段函数
例1.函数1()0
1x f x x -⎧⎪
=⎨⎪+⎩
)0()0()
0(<=>x x x ，则))1((f f 的值是___．【答案】0
【解析】∵函数f （x ）100010x x x x x -⎧⎪
==⎨⎪+⎩
，＞，，＜，
∴f （1）＝1﹣1＝0，
f （f （1））＝f （0）＝0．
故答案为：0．例
2.已知函数
，若
，则
_________．
【答案】
【解析】
，故
，填
．
例
3.函数__________．
【答案】1.【解析】由题意得．
故答案为：1．
模块四：二次函数的最值
例1.求下列函数的最大值或最小值．
（1）5322--=x x y ；
（2）432
+--=x x y ．【难度】★【解析】分析：由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22-
-x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-．（2）因为二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，即函
数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++
-x ，所以当2
3-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值425．（1）轴定区间定
画出已知区间的图象，找到最高点和最低点即可求出函数的最大值和最小值．
例2.当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．
说明：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
例3。

当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】作出函数2
(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．
例4.已知函数223()1,[1,3
f x x x x =-
-∈-，求函数f(x)的最大值与最小值．【难度】★
【答案】234()(33
f x x =--所以33x =时，min 4();13
f x x =-=-时，max 23()3f x =．（2）轴定区间动
讨论已知区间和对称轴之间的从属关系，分类求解．
例5.已知函数y ＝x 2
，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．
【难度】★★
【解析】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．
解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值
都是4，此时x ＝－2；
（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；
（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；
（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值
y ＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
例6.当1t x t ≤≤+时，求函数21522
y x x =--的最小值(其中t 为常数)．【难度】★★
【解析】分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522
y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图．(1)当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522
y t t =--；
(2)当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =
⨯--=-；(3)当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：
当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222
y t t t =+-+-=-
．综上所述：2min 213,023,0115,12
2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩（3）轴动区间定
将运动的对称轴与区间的端点和中点作相应比较，得到几种不同类型的抛物线部分图象．
例7.当10≤≤x 时，求函数122
++-=ax x y 的最大值（其中a 为常数）．
【难度】★★
【解析】分析：二次函数开口向下，对称轴方程为a x =，对称轴随a 的变化而变化，所以需要比较对称轴与范围的相对位置。

解：函数122++-=ax x y 的对称轴方程为a x =，画出其草图：
(1)当对称轴在所给范围左侧．即0a <时：当0x =时，max 1y =；
(2)当对称轴在所给范围之间．即10≤≤a 时：当x a =时，222max 211y a a a =-++=+；
(3)当对称轴在所给范围右侧．即1a >时：当1x =时，max 1212y a a =-++=．综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=1,210,10,12max a a a a a y ．
例8.求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值．
【难度】★★
【解析】函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）2-<a ；由图可知max ()(1)
f x f =-（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()
2
a f x f =（3）2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-
=2,)1
(
22,)
2(
2,)1(a f a a f a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2
,122,42,)1(2a a a a a a y 最大．
（4）轴变区间变
将参数范围的临界值分别和对称轴作比较，得到几段不同的参数范围，再分别求解得出二次函数最值的分段函数．
例9.已知24()(0)y a x a a =->，求22
(3)u x y =-+的最小值．
【难度】★★★
【解析】将24()y a x a =-代入u 中，得①，即时，
②，即时，
所以．
（5）逆向型
对已知区间里的函数最值，只可能在区间的端点和对称轴的地方取到，代入求解参数的值再进行检验即可．例10.已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．
【难度】★★★
【解析】2()(1)1,[3,2]
f x a x a x =++-∈-（1）若0,()1,a f x ==，不合题意．
（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+，由814a +=，得3
8
a =（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-，由14a -=，得3
a =-综上知38
a =或3a =-．（6）综合应用例11.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a a R =+-+∈，求f(x)的最小值．
【难度】★★★
【解析】（1）当x a ≥时，21
3()(24
f x x a =++-①若12a ≤-，则min 13()(24
f x f a =-=-；②若12
a >-，则2min ()()1f x f a a ==+．（2）当x a <时，21
3()()24f x x a =-+
+①若12
a <，则2min ()()1f x f a a ==+；②若12a ≥，则min 13()(24
f x f a ==+．综上所述，当12a ≤-时，min 3()4f x a =-；当1122a -<<时，2min ()1f x a =+；当12a ≥时，
min 3()4
f x a =+．例12.已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值．【难度】★★★
【解析】解析
1：讨论对称轴中1与,,2
m n m n +的位置关系．
①若，则max min ()()3()()3f x f n n f x f m m
==⎧⎨==⎩
解得
；②若12m n n +≤<，则max min
()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨==⎩，无解；③若12m n m +≤<，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m
==⎧⎨==⎩，无解；
④若
，则max min ()()3()()3f x f m n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解；综上，4,0m n =-=．
解析2：由211()(1)22f x x =--+，知113,,26
n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞，f(x)在[,]m n 上递增．所以max min ()()3()()3f x f n n f x f m m
==⎧⎨==⎩，解得4,0m n =-=．
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了．
对点精练
1．已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 及x x f x f 2)()1(=-+.
（1）求)(x f ；
（2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值.
【难度】★★
【答案】（1）设c bx ax x f ++=2
)(，由1)0(=f ，可知1=c ∵b
a ax c bx ax c x
b x a x f x f ++=++-++++=-+2)(])1()1([)()1(2
2故由x x f x f 2)()2(=-+得22=a ，0
=+b a 因而1=a ，1-=b 所以1)(2+-=x x x f ；（2）4
3)21(1)(22+-
=+-=x x x x f ∵]1,1[21-∈，所以当21=x 时，)(x f 的最小值为43当1-=x 时，)(x f 的最大值为3)1(=-f .
2．已知二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值．
【难度】★★★
【解析】分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分0a >与0a <两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪．若注意到()f x 的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明．解：（1）令21(32a f a --=，得12a =-，此时抛物线开口向下，对称轴为，且32[,2]2-∉-故12
a =-不合题意；（2）令(2)3f =，得12a =，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故12
a =符合题意；（3）若2
()33
f -=，得23a =-，经检验，符合题意．综上，12a =或23
a =-评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法．3．已知函数[]211,142
a y t at =-+-+∈-，t 的最大值为2，求a 的值．
【难度】★★
【答案】见解析【解析】221()(2)2
4a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =，（1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．（2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =．（3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得：a 的值为2a =-或103
a =．4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【难度】★★
【解析】(1)由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又
1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054
y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2)由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下
∴当42x =时，2max 342252424860432
y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
反思总结
二次函数在高中数学中占有十分重要的地位，内容相比初中更为具体，解题思路更为抽象，更着重于与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，同时它也是高一第一学期集合部分内容的一个解决问题的主要思路，因此，拓展学习二次函数是初高衔接一个必不可少的部分．
课后练习
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(1)y a x b =++与2(2)1y a x b =-++交于点A ．过点A 作y 轴的垂线，分别交两条抛物线于点B 、C (点B 在点A 左侧，点C 在点A 右侧)，则线段BC 的长为____．
【答案】6
【解析】设抛物线y ＝a （x +1）2+b 的对称轴与线段BC 交于点E ，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+b +1的对称轴与线段BC 交于点F ，如图所示．
由抛物线的对称性，可知：BE ＝AE ，CF ＝AF ，
∵抛物线y ＝a （x +1）2+b 的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+b +1的对称轴为直线x ＝2，∴BC ＝BE +AE +AF +CF ＝2（AE +AF ）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．
故答案为：6．
2．二次函数22y x x =--图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M ”形状的新图象，若直线12y x b =+与该新图象有两个公共点，则b 的取值范围为_____.
【答案】01b <<或916
b <-
【解析】如图,
当直线12y x b =
+经过点A (−2,0)时，b =1，当直线12y x b =+经过点O (0,0)时，b =0，∴0<b <1时,直线12y x b =+与新图形有两个交点，翻折后的抛物线为22y x x =+，由2212y x x y x b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩
方程组有一组解,消去y 得到：2x 2+3x −2b =0，∵△=0，
∴9+16b =0，
916b =-
由图象可知,916b <-
时,直线12y x b =+与新图形有两个交点.综上所述0<b <1或916b <-时,直线12y x b =+与新图形有两个交点.∴01b <<或916b <-3．如图，直线y =x +m 和抛物线y =x 2+bx +c 都经过点A （1，0）和B （3，2）
，不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集为______________．
【答案】x ＜1或x ＞3
【解析】
数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是x ＜1或x ＞3.
4．如图，将二次函数2y x m =-（其中0m >）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为1y ，另有一次函数2y x =+的图象记为2y ，若1y 与2y 恰有两个交点时，则m 的范围是________．
【答案】704
m <<
或4m >【解析】二次函数2y x m =-（其中0m >）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折得到的抛物线解析式为：2y x m =-+，
∵直线2y x =+，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-2，
∴直线2y x =+与x 轴交点为（-2,0），与y 轴的交点为（0,2），
①如下图，当抛物线经过点（-2,0）时，0=4-m ，解得m=4，
观察图象可知，当m ＞4时，1y 与2y 恰有两个交点，
②由22y x y x m =+⎧⎨=-+⎩
得220x x m ++-=，当1840m ∆=-+=时，解得：74m =，观察图象可知，当704m <<
时，1y 与2y 恰有两个交点，故答案为：704
m <<或4m >5、已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：
（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】(1)最大值为3，x =-2；(2)最大值为4，x =-1；(3)最大值为4，x =-1，最小值为0，x =1；
(4)最大值为3，x =0,最小值为-12，x =3．
6、函数)0(222≠++-=a b ax ax y 在2≤x ≤3上有最大值5及最小值2，求a ，b 的值．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】对称轴方程为1
=x （1）当0>a 时，有3=x 时取最大值，2=x 时取最小值，则
⎩⎨⎧=++-=++-2
2445269b a a b a a 得⎩⎨⎧==01b a （2）当时，有2=x 时取最大值，3=x 时取最小值，则⎩⎨⎧=++-=++-5
2442269b a a b a a 得⎩⎨⎧=-=31b a 经检验均符合题意，
所以⎩⎨⎧==01b a 或⎩⎨⎧=-=31b a。