【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题

【全国百强校】湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二
上学期期中考试数学（理）试题
一、单选题
1 . 不等式x 2－5x＋6<0的解集是
A．{x|－2<x<3}B．{x|－3<x<2}
C．{x|2<x<3}D．{x|－3<x<－2}
2 . 在等差数列{a n}中，若a 5，a 7是方程x 2－2x－6＝0的两根，则{a n}的前11项的和为
A．22B．－33C．－11D．11
3 . 在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为
A．B．πC．2πD．4π
4 . 设 x， y满足约束条件则 z= x+ y的最大值为（）
A．0B．1C．2D．3
5 . 若，则下列说法正确的是（）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6 . 在中，若，则=（）
A．1B．2C．3D．4
7 . 已知数列{a n}满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，则数列
的前13项和为
A．B．－C．D．－
8 . “ ”是“直线的倾斜角大于”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9 . 已知函数．若 g（ x）存在2个零点，则 a的
取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
10 . ．已知向量 a， e满足：a≠ e，| e|＝1，对任意 t∈R，恒有| a－te|≥| a－ e|，则( )
A．a⊥e B．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)
二、填空题
11 . 在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4，则sin B＝
________．
12 . 将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是_______
13 . 若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．
14 . 已知直线l 1：2x－y＋6＝0和直线l 2：x＝－1，F是抛物线C：y 2＝4x的焦点，点P在抛
物线C上运动，当点P到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF被抛物线所截得的线段
长是________．
15 . 平面α过正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1的顶点A，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD＝m，α∩平
面ABB 1A 1＝n，则m、n所成角的正弦值为________．
三、解答题
16 . 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状．
17 . 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能
的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？
18 . 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
19 . 设数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且
，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
20 . 已知函数f(x)＝cos 2，g(x)＝1＋sin 2x.
(1)设x＝x 0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x 0)的值．
(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间上的最大值为2，求m的最小值．
21 . 已知椭圆：的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．。