北京东城汇文中学2016-2017学年高二下期末(北师大版) 数学(理)试题(含精品解析)

北京汇文中学2016-2017学年度
第二学期期末考试
高二数学（理科）
一、选择题（4分×18=72分）
1.若集合，，则（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：先解一元二次方程得集合A,B，再根据交集定义得结果.
详解：∵，
或，
∴，
又∵，，，
∴．
故选．
点睛：集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2.已知全集，，，则集合是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：分别根据并集、交集、补集得定义求各选项，再与对照可得结果.
详解：∵，
，
，
．
故选．
点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
3.函数的值域是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据得分母范围，再根据倒数性质求值域.
详解：∵，，，
∴．
故选．
点睛：本题考查函数值域，考查基本求解能力.
4.与命题“若，则”等价的命题是（）．
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
分析：根据四种命题等价性关系判断.
详解：原命题与其逆否命题等价，项是原命题的逆否命题，符合要求．
故选．
点睛：⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非具有等价关系.
5.已知，则（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据自变量范围代入对应解析式，再根据函数值范围代入对应解析式得结果.
详解：，
．
故选．
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
6.下列函数中，既是单调增函数，又是奇函数的是（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据单调性排除，C项；再根据奇偶性排除项；
详解：，，
∵不恒正也不恒负，说明不是单调函数，排除项；
单调递减，排除C项；
，
，
是偶函数，排除项；
，，
，符合要求．
故选．
点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断与是否具有等量关系．
7.函数的图象是（）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据的渐近线排除，，再根据函数值正负排除，最后确定选项.
详解：∵的渐近线为，排除，，
当时，，排除，项符合要求．
故选．
点睛：识别函数图像，实质是研究函数性质，具体从函数定义域、单调性、奇偶性、对称性以及函数值进行判断.
8.函数的定义域是集合，函数的定义域是集合，且为空集，则实数的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据偶次根式被开方数非负解得集合A，根据分母不为零解得集合B，再结合数轴根据为空集，解得实数的取值范围.
详解：，
定义域为，解得，
∴或，
，定义域为，解得，
∴，
又∵，
∴，解得．
故选．
点睛：具体函数定义域主要考虑：(1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.（3）对数中真数大于零.(4)零次幂得底不为零.
9.“”是“”的（）．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】分析：利用原命题与逆否命题等价性，先判断与关系，即得结果.
详解：“”不一定能推出“”，如，，k时，
由“”推出“且”，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选．
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
10.曲线的参数方程为（是参数），则曲线是（）．
A. 抛物线
B. 双曲线的一支
C. 圆
D. 直线
【解析】
分析：根据平方关系消参数，再根据曲线方程确定曲线形状.
详解：参数方程为，
则，
整理得：是抛物线．
故选．
点睛：1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
11.已知圆的直角坐标方程为．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程.
详解：将代入，
即可得到圆的极坐标方程为，即，故选A.
点睛：本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程的互化，其中熟记极坐标与直角的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
12.设，是区间上的减函数，下列命题中正确的是（）．
A. 在区间上有最小值
B. 在上有最小值
C. 在上有最小值
D. 在上有最小值
【答案】D
分析：根据单调性确定函数最值，是区间上的减函数，是区间上的减函数，）是区
间上的增函数，单调性与函数值正负有关.
详解：项错误，在上最小值为，
项错误，当时，在上最小值为，
项错误，在上有最小值，
项正确．
故选．
点睛：求函数最值往往利用函数单调性，而函数单调性的判断式解题得关键，若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13.函数是奇函数，则函数的对称中心为（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据奇函数关于原点对称以及函数图像平移求函数的对称中心.
详解：∵是奇函数，
∴，
∴对称中心为．
故选．
点睛：利用函数奇偶性性质与图像变换关系研究函数性质，关键抓住两者之间切入点.
14.给出四个等式：①；②；③；④，则不满足任一等式的函数是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据指数运算法则、对数运算法则、幂函数运算法则验证等式，即得结果.
详解：项满足②；
项满足④；
项满足③；
．
故选.
点睛：指对数运算：
15.已知，则的值的集合是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据对数运算法则化简得，根据对数真数大于零取舍得结果.
详解：∵，
∴，
∴，
即，同除可得，
，令，
∴，
，解得或，
因为，所有
∴，
∴的值的集合为．
故选B．
点睛：对数运算法则：
16.某公司为了实现万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的，则在所给个函数模型中，能符合公司的要求的为（）．（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：根据条件列三个要求：①函数是增函数，②恒成立，③恒成立，再根据条件判断选项.详解：由题目，需足个要求，①函数是增函数，②，③，
只有项符合要求．A,C不满足②，D与实际意义不符.
故选．
点睛：善于将实际意义中转化为函数性质，方程的解，不等式恒成立等问题.
17.存在函数满足，对任意都有（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
A：取，可知，即，再取，可知
，即，矛盾，∴A错误；同理可知B错误，C：取，可知
，再取，可知，矛盾，∴C错误，D：令，
∴，符合题意，故选D.
考点：函数的概念
18.已知函数，且，，集合，则（）
A. ，都有
B. ，都有
C. ，使得
D. ，使得
【答案】A
【解析】
试题分析：∵函数，且，，故有且，∴，即，且，即，∴，又，∴为的一个零点，由根与系数的关
系可得，另一个零点为，∴有，∴，∴恒成立．
考点：函数的零点、函数的性质．
二、填空题（4分×7=28分）
19.若集合，集合，则__________．
【答案】
【解析】
分析：根据补集得定义求结果.
详解：∵，，
．
点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
20.命题“，”的否定是：__________．
【答案】，
【解析】
分析：全称命题的否定是特称命题，即的否定为．
详解：因为的否定为，所以命题“，”的否定是，.
点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上
量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.
21.将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移个单位，所得函数的解析式为
__________．
【答案】
【解析】
分析：根据图像平移规律确定函数解析式.
详解：
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
22.仔细阅读下面三个函数性质：
（）对任意实数，存在常数，使得．
（）对任意实数，存在常数，使得．
（）对任意实数，存在常数，使得．
请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）
【答案】
【解析】
分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数.
详解：由题目约束条件可得到的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，
因此可选三角函数.
点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.
23.已知、两地相距千米，某人开汽车以千米/小时的速度从到达地，在地停留小时后再以千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间的函数，表达式为__________．
【答案】
【解析】
分析：根据路程等于速度乘以时间列分段函数解析式.
详解：从到用时，在地停留内，距离不变，
返回地时，距离减少．因此
点睛：分段函数是一个重要得函数，自变量不同对应得解析式不同是其最大得特点，即列分段函数要注意对应性.
24.设，，比较，的大小__________（用“”“＜”“=”表示）．
【答案】
【解析】
分析：作差，通分，因式分解，最后根据各因子符号确定差的大小.
详解：∵
．
所以
点睛：作差比较法是判断两个数大小得一种有效得方法，作差法关键要尽量通过因式分解化为因子的乘积，再根据各因子得符号判断大小.
25.已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是
_________。

【答案】
【解析】
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
三、解答题（共50分）
26.已知命题函数在定义域上单调递增；命题不等式对任意实数恒成立．
（）求集合．
（）若是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（）（）．
【解析】
分析：（1）根据对数真数大于零得集合D，（2）命题为真时，根据复合函数单调性确定，命题为真时，根据二次函数性质研究不等式恒成立条件得．再根据是真命题，求并集得实数的取值范围．详解：
（）对于命题是复合函数，
∵函数是减函数，
而函数是增函数，
∴，
且，解得，．
（）由（）知命题为真时，，
命题为真时，，
解得．
∵为真命题，
∴当真假时，无解，
当假真时，，
当真真时，，
综上．
点睛：以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“非p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.
27.已知二次函数（，为常数，且）满足条件：且方程有等根．
（）求的表达式．
（）是否存在实数，使的定义域和值域分别是和，如果存在，求出，的值；如果不存在，说明理由．
【答案】（）（）存在，．
【解析】
分析：(1)根据：得对称轴x=-2，再根据方程有等根得判别式为零，解方程组得a,b，(2)
先确定函数最大值，得，再根据对称轴与定义区间位置关系得在单调递增，最后根据，
，解得，的值.
详解：
（）∵，且，
令，有，
∴，
∴，
又∵有等根，
，
∴，
∴，
∴，
（）假设存在实数，符合题意，
则，
∵，
∴，即，
又∵对称轴为，
∴在单调递增，
∴，，
解得或，或，
又∵，
∴，，
∴存在实数，，使定义域，值域分别为与．
点睛：研究二次函数最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．
28.为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
男生
女生
（）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为的概率？
（）若从阅读名著不少于本的学生中任选人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．（）试判断男学生阅读名著本数的方差与女学生阅读名著本数的方程的大小．
【答案】（）．
（）分布列为
数学期望．
（）．
【解析】
分析：(1)先确定总事件数为，再确定两名学生阅读本数之和为时事件数：分两类男1女3，男2女2，再选人，得，最后根据古典概型概率公式求结果，(2)先确定随机变量取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望，(3)根据方差表示稳定性含义作出大小判断.
详解：
（）设“从此班级的学生中随机选取一名男生，一名女生”为事件，
这两名学生阅读本数之和为，
由题意．
（）阅读名著不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，
取值为，，，，，
由题意可得，
，
，
，
．
∴随机变量的分布列为
均值．
(3)方差越小数据越稳定，而男生数据没女生数据稳定，所以
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
29.（）判断函数的奇偶性，并求出值域．
（）对函数，若对于任意的实数，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围．
【答案】（）为奇函数，值域为.（）．
【解析】
分析：（1）先求定义域，再求与关系，最后根据奇偶性定义作判断，根据对勾函数性质求值域，（2）根
据三角形性质得对任意，，恒成立，即得最小值大于最大值，根据对勾函数性质求得最值，代入解得实数的取值范围．
详解：
（）为奇函数，
证明：∵定义域为，
且，
∴为奇函数．
当时
当时
当时由奇函数性质得，所以函数值域为
（）∵对任意实数，，都存在以、、为三边长的三角形，
∴对任意，，恒成立，
当时，
∵，
且，
∴，解得．
当时，，符合要求，
当时，，
且，
∴，
∴．
综上所述．
点睛：对任意存在性问题，往往转化为对应函数最值问题，如：。