概率论知识点总结精编WORD版

概率论知识点总结精编
W O R D版
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概率论知识点总结
第一章 随机事件及其概率
第一节 基本概念
随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.
样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）
包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。

相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B 的和事件。

记为 A∪B。

事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。

事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A－B。

用交并补可以表示为B
-。

A=
B
A
互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。

互斥时B
A⋃可记为A＋B。

对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为A。

对立事件的性质：Ω
A
A,。

B
⋂B
=
=
⋃
Φ
事件运算律：设A，B，C为事件，则有
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
（4）对偶律（摩根律）：B
A⋃
B
A
⋂
=
B
A
⋃B
A⋂
=
第二节事件的概率
概率的公理化体系：
（1）非负性：P(A)≥0；
（2）规范性：P(Ω)＝1
（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时
概率的性质：
（1）P(Φ)＝0
（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时
当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)
（3）)(1)(A P A P -=
（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)
（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)
第三节 古典概率模型
1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为n
k A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)
()()(Ω=μμA A P
假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.
第四节 条件概率
条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B). 乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)
全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A )
贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则
第五节 事件的独立性
两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.
三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立
三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立
独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立
总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常
使用， 应牢固掌握。

3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章 一维随机变量及其分布
第二节 分布函数
分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数}{)(x X P x F ≤=为X 的分布函数。

如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X 落在区间 ],(x -∞内的概率
分布函数的性质：（1）单调不减；（2）右连续；（3）1)(,0)(=+∞=-∞F F
第三节 离散型随机变量
离散型随机变量的分布律：设k x (k=1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称 k k p x X P ==}{为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.
当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。

分布律的性质：（1）10≤≤k p ；（2）1=∑k p
离散型随机变量的概率计算：
（1）已知随机变量X 的分布律，求X 的分布函数；
（2）已知随机变量X 的分布律, 求任意随机事件的概率；
（3）已知随机变量X 的分布函数，求X 的分布律
三种常用离散型随机变量的分布：
1.（0－1）分布：参数为p 的分布律为p X P p X P -====1}0{,}1{
2.二项分布：参数为n ，p 的分布律为k n k k n
p p C k X P --==)1(}{，n k ,,2,1,0 =。

例如n 重独立重复实验中，事件A 发生的概率为p ，记X 为这n 次实验中事件A 发生的次数，则X ～B （n ，p ）
3.泊松分布：参数为λ的分布率为λλ-==e k k X P k
!}{， ,2,1,0=k 。

例如记X 为某段事件
内电话交换机接到的呼叫次数，则X ～P （λ）
第四节 连续型随机变量
连续型随机变量概率密度f(x)的性质
（1）f(x)≥0
（2）1)(=⎰+∞∞-dx x f ，0)(}{===⎰a a
dx x f a X P （3）⎰=≤≤=≤<=<≤=<<b
a dx x f
b X a P b X a P b X a P b X a P )(}{}{}{}{ （4）⎰∞-='=x
dx x f x F x F x f )()(),()( 连续型随机变量的概率计算：
（1）已知随机变量X 的密度函数，求X 的分布函数；⎰∞-=x dx x f x F )()(
（2）已知随机变量X 的分布函数，求X 的密度函数；)()(x F x f '=
（3）已知随机变量X 的密度函数, 求随机事件的概率；⎰=<<b
a dx x f
b X a P )(}{ （4）已知随机变量X 的分布函数，求随机事件的概率；)()(}{a F b F b X a P -=<< 三种重要的连续型分布：
1．均匀分布：密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=else b x a a b x f 01)(，记为 X ～U[a ，b].
2. 指数分布：密度函数⎩⎨⎧≤>=-00
0)(x x e x f x
λλ，记为X ～E （λ） 3. 正态分布：密度函数222)(21
)(σμσπ--=x e x f ，记为),(~2σμN X
N （0，1）称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.
第五节 随机变量函数的分布
离散型：在分布律的表格中直接求出；
连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。

第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量的联合分布函数
联合分布函数},{),(y Y x X P y x F ≤≤=，表示随机点落在以（x ，y ）为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。

联合分布函数的性质：
（1）分别关于x 和y 单调不减；
（2）分别关于x 和y 右连续；
（3）F (-∞ , y ) = 0,F ( x ,-∞ ) =0,F(-∞,-∞) = 0
F ( +∞ ,+∞ ) = 1
第二节 二维离散型随机变量
联合分布律：ij j i p y Y x X P ===},{
联合分布律的性质：0≥ij p ；1=∑∑i j
ij p
第三节 二维连续性随机变量
联合密度：⎰⎰∞-∞
-=y x du v u f dv y x F ),(),( 联合密度的性质：0),(≥y x f ；1),(2=⎰⎰R dxdy y x f ；⎰⎰=∈D
dxdy y x f D y x P ),(}),{(
第四节 边缘分布
二维离散型随机变量的边缘分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；
二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度
第六节 随机变量的独立性
独立性判断：
（1）若Y X ,取值互不影响，可认为相互独立；
（2）根据独立性定义判断)()(),(y F x F y x F Y X =
离散型可用j i ij p p p ••=
连续型可用)()(),(y f x f y x f Y X =
独立性的应用：（1）判断独立性；（2）已知独立性，由边缘分布确定联合分布
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量数学期望的计算∑=k k k p x EX ，∑=k
k k p x g X g E )())((
连续型随机变量数学期望的计算⎰=dx x xf EX )(，⎰=dx x f x g X g E )()())(( 方差的计算：2)(EX X E DX -=，)()(22X E X E DX -=
数学期望的性质
（1）E (C ) = C
（2）E (CX ) = CE (X )
（3）E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
（4）当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )
方差的性质
（1）D (C) = 0
（2）D (CX ) = 2C D(X)
（3）若 X ,Y 相互独立，则D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y )
常见分布的数学期望和方差
两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布。