高考数学密破仿真预测卷14 理

"2013高考数学密破仿真预测卷14 理 "
考试时间：120分钟满分：150分
注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答
题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位
2．答第1卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。

如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0 5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写．．．．．．
，要求字体工整、笔迹清晰作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0 5毫米的黑色墨水
签字笔描清楚必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试．．．．．．．．．．．．．．．．题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
．2
3
2011
i i i i ++++的值是（ ）
A ．1
B ．i
C ．i -
D ．1-
【答案】D
【解析】解：因为11120112011
32-=--=+++i
i i i i i ，选D 3.在等差数列{n a }中，π2362=
+a a ，则)3
2sin(4π
-a =（ ） A.23 B.21 C.23- D.2
1
-
【答案】D
【解析】因为等差数列{n a }中，264433a a 2a a 24
+=π=∴=π，则)32sin(4π
-a =21-，选D
4.下列命题错误的是
A. 命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0，则
022≠+y x ”；
B. 若命题01,:02
00≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x p ； C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件；
D. 若向量b a ,满足0<⋅b a ，则a 与b 的夹角为钝角.
6某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积
俯视图
(A) 有最大值2 (B) 有最大值4 (C) 有最大值6 (D) 有最小值2 【答案】A
【解析】解：因为根据已知条件可知该几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，高为3，利用底面的斜边长为x ，结合正弦定理表示体积可知，有最大值为2. 7. 给出右边的程序框图，则输出的结果为（ ） A 、
76 B 、65 C 、87 D 、5
4 【答案】A
【解析】解：k=1，S=0+
12=1
2
，满足条件k≤5，执行循环
k=2，S=1
2
+
1
6
=
2
3
，满足条件k≤5，执行循环
k=3，S=2
3
+
1
12
=
3
4
，满足条件k≤5，执行循环
k=4，S=4
5
，满足条件k≤5，执行循环
k=5，S=5
6
，满足条件k≤5，执行循环
k=6，S=6
7
，不满足条件k≤5，退出循环
输出S=6
7
,故选A.
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与
△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（）
A B
C ．
8
D ．
24
10．已知椭圆22
21(0)9x y a a
+=>与双曲线22143x y -
=有相同的焦点，则a 的值为
A B C ．4
D
11.一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已
知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.
23
B.
512
C.59
D.
79
【答案】C
【解析】本题是条件概率，由于已知第一只是好的，那么从剩下的9只当中取出一支是好的概率是59
p =
. 12.点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值 是（ ）
A.１ C. 2 D.
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分。

13． 如图,正方体1111ABCD A BC D -中,
2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若//EF
平面1ABC ,则
EF =________.
【解析】解:：因为正方体1111ABCD A BC D -中,
2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在CD 上,若//EF 平面1ABC ,则EF=
1
2
14、已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则
212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=
.
15．若在△ABC
中，060,1,ABC A b S ∆∠===则
C
B A c
b a sin sin sin ++++
=_______
1
6.6名运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服，由于灯光暗淡，有一部分队员拿错了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣情况个数为 .
A
B
C
D
E F 1
A 1B
1C 1D
【答案】135
【解析】解：因为三2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到别人的外衣情，所以分步考虑，
先考虑2人拿到自己的外衣，从6人中选2个，有C 62
中不同坐法，再考虑另外的4人拿到别人的外衣，因为每个人都坐的是别人位置，可用列举法，画树形图分析．最后，两步方法数相乘即可得到135.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分） 已知函数()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
-=6
72sin cos 22πx x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值，并写出)(x f 取最大值时x 的取值集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3
(),2
f A = 2.b c +=求实数a 的最小值. 【
答案】（
Ⅰ
）
2777()2cos sin(2)(1cos 2)(sin 2cos cos 2sin )666
f x x x x x x πππ=--
=+--
11+
2cos 21+sin(2)226x x x π
=+=+. ∴函数)(x f 的最大值为2.
要使)(x f 取最大值，则sin(2)1,6
x π
+=
22()62x k k Z πππ∴+=+∈ ，解得,6
x k k Z π
π=+∈.
故x 的取值集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫
=+∈⎨⎬⎩⎭. ……………………………………………（6
分）
【解析】(1)利用三角函数公式把()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
-=672s i n c o s 22πx x x f 化为()s i n (f x A x b ωϕ=++的形式，由正弦函数的性质求出其最值和对应的x 的值；
（2）由（1）结合三角形中角的范围求出A ，再由余弦定理表示出2
a ，利用不
等式求出其最值.
18．（本题12分）已知一个口袋中装有n 个红球（1n ≥且n N ∈）和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同．．则为中奖，否则不中奖． （1）当3n =时，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，求的ξ分布列； （2）记三次摸球中（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大．
【答案】解（1）当3n =时，每次摸出两个球，中奖的概率2
5323
5
p C ⨯=
= 03328(0)()5125P C ξ===; 12
33236(1)()()55125P C ξ===;
2233254(2)()()55125P C ξ===;33
3327(3)()5125
P C ξ===;
ξ分布列为：
（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：
2
2323(2)(1)36P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+，01p <<，
2'963(32)P p p p p =-+=--，知在2(0,)3上P 为增函数，在2
(,1)3
上P 为减函数，当
2
3
p =时P 取得最大值．
又42
(1)(2)3
n p n n ==++, 2320n n -+=解得12n n ==或．
19、（本小题满分12分）
如图所示， 四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA = 1， PD ＝ 2 ，E 为PD 上一点，PE = 2ED ．
E
P
D
C
B
A
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角D －AC －E 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF // 平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）以AB , AD , PA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
则A （0 ，0， 0），B （1，0，0） ，C （1，1，0），P （0，0，1），E （0 , 23 ,1
3
）, = （1,1,0）,
= （0 , 23 ,13
）
设平面AEC 的法向量n = （x, y,z ） , 则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
AE n ，即：⎩⎨
⎧=+=+020z y y x ， 令y = 1 , 则n = （- 1,1, - 2 ） -------------10分
假设侧棱PC 上存在一点F, 且CF ＝ λCP ， （0 ≤ λ ≤ 1）, 使得：BF//平面AEC, 则⋅ ＝ 0．
又因为：＝ + ＝ （0 ，1，0）+ （-λ,-λ,λ）= （-λ,1-λ,λ）, ∴⋅ ＝λ+ 1- λ- 2λ = 0 , ∴λ = 1
2
,
所以存在PC 的中点F, 使得BF//平面AEC ． ----------------12分 20．（本题满分12分）
设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差
中项．
（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明
21
1121<+++n
S S S ．
（Ⅱ）因为n a n =，则,2
)
1(+=
n n S n )1
11(2)1(21+-=+=n n n n S n ． ………10分 所以
=+++n
S S S 1
1121 2(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n ． …13分
【解析】（I ）由题意可知n n n a a S +=2
2,且0n a >, 然后再根据11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧
=⎨
-≥⎩,求出a 1,同时可消去S n 得到12122---+-=n n n n n a a a a a ，
从而)2(11≥=--n a a n n ，问题得解.
列
表如下：
故知()F x 在(02)，
内是减函数，在(2)+，∞内是增函数， 所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+，函数无极大值. （Ⅱ）由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>.
于是由上表知，对一切(0)x ∈+，
∞，恒有()()0F x xf x '=>. 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，
∞内单调增加. 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即2
1ln 2ln 0x x a x --+>.
故当1x >时，恒有2
1ln 2ln x x a x ->-.又ln 0x >.
所以1
ln x x -> ln 2x a -.
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）利用导数求解单调区间和极值的问题。

先求解定义域和导数，然后解不等式得到结论。

（2）0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>
于是由上表知，对一切(0)x ∈+，
∞，恒有()()0F x xf x '=>.，从而得到单调性，证明不等式。

22 (本题满分14分)已知椭圆22
122:1y x C a b
+=(0)a b >>的右顶点(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.
（I ） 求椭圆1C 的方程；
（II ） 设点P 在抛物线22:()C y x h h R =+∈上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值.
【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）因为椭圆22
122:1y x C a b
+=(0)a b >>的右顶点(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1.，根据性质得到椭圆的方程。

（2）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=，
直线MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=，即()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=
结合判别式得到范围和最值。