人教A版数学必修第一册4.4.3不同函数增长的差异课件

产值比第一年相应月的产值增长了多少？
[错解] 设第一年某月的生产产值为 b，
则第二年相应月的生产产值是 b(1＋a)11.
所以第二年某月的产值比第一年相应月的产值
b1＋a11－b
11
增长了
＝(1＋a)
－1.
b
易错误区
题意理解不透，列不准函数关系式而致误
[典例]
某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产
(3)当 a>1，k>0 时，对∀x∈(0，＋∞)，总有 logax<kx<ax.
(× )
课前预习
任务二：简单题型通关
2.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( A )
A．y＝ex
B．y＝lnx
C．y＝2x
D．y＝e－x
课前预习
任务二：简单题型通关
3. 已知y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2<x<4时，有( A )
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
题型探究
[例1]
四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化
x 变化的数据如表：
四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变
题型探究
[例2] 某学校为了实现60万元的生源利
润目标，准备制定一个激励招生人员的
嘉奖方案：在生源利润到达5万元时，按
生源利润进行嘉奖，且奖金y(单位：万
元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增
加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金
视察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图
6.907
y2
关于x呈指数函数变化的变量是________．
化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，
y2关于x呈指数函数变化．
归纳总结
1.线性函数模型
y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，
其增长速度不变．
2.指数函数模型
y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增
大，函数值增大的速度越来越快，即增长
×
B．y＝log
6x 越来越慢
√
C．y＝x6 越来越快
×
D．y＝6x 增长速度不变
×
达标检测
2．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的
函数模型是( A )
x
4
5
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型
对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与
0.76相差0.04，与A比较，符合题意；
•
对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，
y≈0.6＜0.7，相差较大，不符合题意.
易错误区
题意理解不透，列不准函数关系式而致误
[典例]
某工厂在两年内生产产值的月增长率都是a，则第二年某月的生产
12
故第二年某月的生产产值比第一年相应月增长了
＝(1＋a)
－1.
b
易错警示
错误原因
纠错心得
对增长率问题的公式y＝
在增长率公式y＝N(1＋P)x中，
N(1＋P)x未理解透彻，而 指数x是基数所在时间与所跨过
造成指数写错.
的时间间隔数.
达标检测
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( B )
A．y＝6x 越来越快
速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
3.对数函数模型
y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量
的增大，函数值增大的速度越来越慢，
即增长速度平缓．
4.幂函数模型
y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和
对数增长之间
常见的函数模型
及增长特点
活学活用
1．有一组数据如下表：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
logax<kx
的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有___________.
题型探究
题
型
一
几
类
函
数
模
型
增
长
差
异
的
比
较
四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
[例1]
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
新知精讲
三种函数模型的性质
y＝kx(k＞0)
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
_________
增函数
__________
___________
增函数
图象的变化
趋势
一条直线
随x增大逐渐近似
随x增大逐渐近似
y轴
与_____平行
x轴
与_____平行
越来越快
(1)y＝ax(a＞1)随着x的增大，y增长速度_________，即便k的值远远大于
•
则沙漠增加值 y 万公顷关于年数 x 的函
数关系式大致可以是 ( C )
B．y＝
2x
C．y＝
10
D．y＝0.2＋log16x
对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，
y＝1.5，相差较大，不符合题意；
•
1 2
(x ＋2x)
10
A．y＝0.2x
对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与
高一
必修一
4.4.3
不同函数增长的差异
本节目标
1. 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2. 了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.
课前预习
任务一：知识预习
预习课本P135～138，思考并完成以下问题
1．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝log (a>1)在(0，＋∞)上的
模
型
的
选
择
问
题
且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招
生人员的嘉奖方案：在生源利润到达5万元时，按生源利润进行嘉奖，
金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个嘉奖模型：
y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
A．y1>y2>y3
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y2>y3>y1
课前预习
任务二：简单题型通关
4.某同学最近 5 年内的学习费用 y(千元)与时间 x(年)的关系如图所示，
则可选择的模拟函数模型是(
B
)
A．y＝ax＋b
B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b
D．y＝alnx＋b
(2)当 x∈(0，x1)时， g(x)>f(x)，
当 x∈(x1，x2)时， g(x)<f(x)，
当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．
本课小结
1. 直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义是什么？
2. 不同函数模型的选取标准是什么？
(2)指数函数增长模型合适于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型合适于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型合适于描述增长速度一般的变化规律．
活学活用
2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来
•
0.76相差0.16；
越严重，测得最近三年沙漠增加值分别
为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，
增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)
a的值，y＝ax(a>1)的__________________________________的增长速度
增长速度
越来越慢
(2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度________，不论a的值比k的值
大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx
产值比第一年相应月的产值增长了多少？
[正解]
不妨设第一年 1 月份的生产产值为 b，则 2 月份的生产产值是 b(1＋a)，
3 月份的生产产值是 b(1＋a)2，
依次类推，到第二年 1 月份就是第一年 1 月份后的第 12 个月，
故第二年 1 月份的生产产值是 b(1＋a)12.
b1＋a12－b
达标检测
4．已知函数 f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1 的图象如图所示．
(1)指出图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较)．
(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1，
C2 对应的函数为 f(x)＝lgx.
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律 ，其中最接近的
一个是 ( C )
t2－1
log
t
A．v＝log2t
B．v＝ 12
C．v＝
D．v＝2t－2
2
✓ 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，
✓ 增长速度越来越快，排除A和D
题型探究
题
型
二
[例2]
函
数
象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始
不超过利润的20%.现有三个嘉奖模型：
终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x
y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个
进行嘉奖才符合学校的要求．
模型符合该校的要求？
归纳总结
不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型合适于描述增长速度不变的变化规律；
达标检测
3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下 4 个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；
②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；
④y＝log2x.
④
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
单调性是怎样的？
2．函数y＝kx(k>0)、y＝ax(a>1)和y＝log (a>1)的增长速度有什
么不同？
课前预习
任务二：简单题型通关
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( √ )
(2)函数 y＝x2 比 y＝2x 增长的速度更快些．( × )
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
但是增长速度不同，其中变量y2的增长
y3
2
10
20
30
40
50
60
速度最快，画出它们的图象，可知变量
y4
2 4.322
5.322
5.907
6.322
6.644