甘肃天水甘谷一中2025届高三(最后冲刺)数学试卷含解析

甘肃天水甘谷一中2025届高三（最后冲刺）数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2 1.414,3 1.732,5 2.236≈≈≈） A ．22个
B ．24个
C ．26个
D ．28个
2．函数3
()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知函数2()ln(1)33x x f x x x -=++-，不等式()
22(4)50f x f x +++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范
围为（ ） A ．[2,)-+∞
B ．(,2]-∞-
C ．5,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．5,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
4．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
5．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A
B =（ ）
A ．{}2345，，，
B ．{}234，，
C ．{}1234，，，
D ．{}01
234，，，， 6．已知x 与y 之间的一组数据：
x
1 2 3 4 y
m
3.2
4.8
7.5
若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5
B ．2.5
C ．3.5
D ．4.5
7．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A ．乙的数据分析素养优于甲
B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数据分析最差
8．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若202021
1
n n k a a
-==
∑，
则k=( )
A．2020 B．4038 C．4039 D．4040
9．已知双曲线
22
22
1(0)
x y
a b
a b
-=>>的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A B
、两点，且直线l的倾斜
角是渐近线OA倾斜角的2倍，若2
AF FB
=，则该双曲线的离心率为（）
A．32
4
B．
23
3
C．
30
5
D．
5
2
10．已知复数z
5
34i
=
+
，则复数z的虚部为（）
A．4
5
B．
4
5
-C．
4
5
i D．
4
5
-i
11．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，
使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π224466
2133557
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
，根据该公式绘制出了
估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8
T>，若判断框内填入的条件为?
k m
≥，则正整数m的最小值是
A．2B．3C．4D．5
12．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种. A．360 B．240 C．150 D．120
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y 满足约束条件0,1,22,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
则z x y =-的最大值为__________.
14．已知1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，过左焦点1F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两
点，且11||3||AF BF =,2AB BF =，则椭圆的离心率为__________．
15．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则
的值是 ．
16．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()21
()1ln ()2
f x m x x m =
--∈R . （1）若1m =，求证：()0f x ≥. （2）讨论函数()f x 的极值；
（3）是否存在实数m ，使得不等式111
()x f x x e
->-在(1,)+∞上恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知函数u （x ）＝xlnx ，v （x ）21
mx 2
=+x ﹣1，m ∈R ． （1）令m ＝2，求函数h （x ）()()u x v x x 1
=
-+的单调区间；
（2）令f （x ）＝u （x ）﹣v （x ），若函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，且满足12
1
x x ≤＜e （e 为自然对数的底数）求x 1•x 2的最大值．
19．（12分）若不等式1240x x a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，则a 的取值范围是__________.
20．（12分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA 沿AD 折到PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -．
（Ⅰ）求证AD PB ⊥； （Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD ． ①求二面角B PC D --的大小；
②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45，求λ的值． 21．（12分）已知等差数列和等比数列
满足：
(I )求数列和
的通项公式； (II )求数列
的前项和.
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，2PB PD ==
.
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）设H 在AC 上，13AH AC =
，若6
3
PH =，求PH 与平面PBC 所成角的正弦值. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为52，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()
10521n +-cm ，得到不等式)10521100n +-≤，计算得到答案.
【详解】
由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，
易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，
则最上层球面上的点距离桶底最远为)()
101n +-cm ，
若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤
，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】
本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 2、B 【解析】
先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】
()f x 是奇函数，排除C ，D ；()
2()ln 0f ππππ=-<，排除A .
故选：B. 【点睛】
本题考查函数图象的判断，属于常考题. 3、C 【解析】
确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为225
4x a
x ⎫--=-+，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【详解】
())33(),
()x x f x
x f x f x --=+-=-是奇函数，
())3333x x x
x f x x --=+=+--，
易知,33x x y y y -==-=均为减函数，故()f x 且在R 上单调递减，
不等式()
2(5
0f f x ++
，即()2(5f f x --，
结合函数的单调性可得2
45x --
，即225
4x a
x ⎫--=-+， 设t
，2t ≥
，故1y t t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭单调递减，故max 5
2⎫-=-， 当2t =，即0x =时取最大值，所以5
2
a -
. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键. 4、A 【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】
水费开支占总开支的百分比为250
20% 6.25%250450100
⨯=++.
故选：A 【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 5、B 【解析】
解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】
集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}
15,A x x =<<
,B N =
由集合交集运算可得{}
{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.
6、D 【解析】
利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】
利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，
3.2
4.87.520m ∴+++=．
解得 4.5m = 故选：D 【点睛】
本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题. 7、C 【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项. 【详解】
根据雷达图得到如下数据：
由数据可知选C. 【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识. 8、D 【解析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案. 【详解】
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
202021
134039457403967403940401
............n n a
a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9、B 【解析】
先求出直线l 的方程为y 22
2ab a b =
-（x ﹣c ），与y ＝±b
a
x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】
双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，
∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 22
2ab
a b =
-，
∴直线l 的方程为y 22
2ab
a b
=-（x ﹣c ）， 与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 22
2abc
a b
=+， ∵2AF FB =， ∴
222abc a b =+2•22
23abc a b -，
∴a =， ∴c ＝2b ，
∴e c a =
=
． 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题． 10、B 【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出
【详解】
()()()53453434343455
i z i i i i -=
==-++-， 则复数z 的虚部为45
-. 故选：B . 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 11、B 【解析】
初始：1k =，2T =，第一次循环：228
2 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；
第二次循环：844128
2.833545
T =⨯⨯=
>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ． 12、C 【解析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可． 【详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有33
5360C A =种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教
师，有223
533
902!
C C A =．
∴共有结对方式60＋90＝150种． 故选：C ． 【点睛】
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再
计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为22
532!
C C ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1 【解析】
先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数z x y =-的最大值．
【详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
由于z x y =-，则y x z =-，
要求z x y =-的最大值，则求y x z =-的截距z -的最小值，
显然当平行直线过点1,0A 时，
z 取得最大值为：101z =-=.
故答案为：1．
【点睛】
本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.
1410【解析】 设1BF k =,则13AF k =,24AB BF k ==,由12122BF BF AF AF a +=+=知, 52k a =,22AF k =,作2BC AF ⊥,垂足为C ，则C 为2AF 的中点,在Rt ABC ∆和12AF F ∆中分别求出2cos BAF ∠,进而求出,c k 的关系式,即可求出椭圆的离心率.
【详解】
如图,设1BF k =,则13AF k =,24AB BF k ==,
由椭圆定义知,12122BF BF AF AF a +=+=, 因为125BF BF k +=,所以52k a =,22AF k =,
作2BC AF ⊥,垂足为C ，则C 为2AF 的中点,
在Rt ABC ∆中,因为90BCA ∠=, 所以2
12cos 44
AF AC k BAC AB AB k ∠====， 在12AF F ∆中,由余弦定理可得,
2221212
1212
1cos 24AF AF F F F AF AF AF +-∠==⋅， 即()()222
32412324
k k c k k +-=⨯⨯,解得10c =, 所以椭圆的离心率为1010255
2
c e k a ===. 故答案为:
105
【点睛】
本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
1525 【解析】 试题分析：由三角函数定义知5cos 5
α==5cos()cos παα-=-=，所以答案应填：
．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．
16、14
【解析】
采用列举法计算古典概型的概率.
【详解】
抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为
14. 故答案为：
14
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.
【解析】
（1）1m =，求出()f x '单调区间，进而求出min ()0f x ≥，即可证明结论；
（2）对()0f x '≥（或()0f x '≤）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出结论；
（3）令111,(1,)()x h e
x x x --∈+∞=，可证()0,(1,)h x x >∈+∞恒成立，而(1)0f =，由（2）得，0,()m f x ≤在(1,)+∞为减函数，01,()m f x <<在m ⎛
⎝上单调递减，在(1,)+∞都存在()0f x <，不满足()()f x g x >，当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e
-=
---+，且(1)0F =，只需求出()F x 在(1,)+∞单调递增时m 的取值范围即可. 【详解】 （1）1m =，()21()1ln (0)2
f x x x x =-->， 211()x f x x x x
-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，
当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，∴min ()(1)0f x f ==，故()0f x ≥.
（2）由题知，0x >，211()mx f x mx x x
-'=-+=， ①当0m ≤时，21()0mx f x x
-'=<， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，没有极值；
②当0m >时，21()0mx f x
x
-'==，得x =， 当x
⎛
∈ ⎝时，()0f x '<；当x ⎫∈+∞⎪⎭
时，()0f x '>， 所以()f x 在
⎛
⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎭
上单调递增. 故()f x 在x
=处取得极小值111ln 222f m m =+-，无极大值. （3）不妨令111
11()x x x e x h x x e xe ----=-=， 设11(),(1,),()10x x u x e x x u x e --'=-∈+∞=->在(1,)+∞恒成立，
()u x 在[1,)+∞单调递增，()(1)0u x u ∴>=，
10x e x -∴-≥在(1,)+∞恒成立，
所以，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，
由（2）知，当0,1m x ≤>时，()f x 在(1,)+∞上单调递减，
()(1)0f x f <=恒成立； 所以不等式111()x f x x e
->-在(1,)+∞上恒成立，只能0m >. 当01m <<1
>，由（1）知()f x 在⎛ ⎝
上单调递减， 所以(1)0f f
<=，不满足题意.
当m 1≥时，设()21111()1ln 2x F x m x x x e
-=---+， 因为1,1m x ≥>，所以1111
1,1,01,10x x x mx x e e e ---≥><<-<-<，
322122111111()1x x x x F x mx x x x e x x x
---+'=-++->-++-=， 即()
22(1)1()0x x F x x --'>>，
所以()F x 在(1,)+∞上单调递增，
又(1)0F =，所以(1,)x ∈+∞时，()0F x >恒成立，
即()()0f x h x ->恒成立，
故存在m 1≥，使得不等式111()x f x x e
->
-在(1,)+∞上恒成立， 此时m 的最小值是1.
【点睛】 本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
18、（1）单调递增区间是（0，e ），单调递减区间是（e ，+∞）（2）e 1e 1e +-
【解析】
（1）化简函数h （x ）lnx x
=，求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出 （2）函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，则f ′（x ）＝lnx ﹣mx ＝0有两个正根，由此得到m （x 2﹣x 1）＝lnx 2﹣lnx 1，
m （x 2+x 1）＝lnx 2+lnx 1，消参数m 化简整理可得ln （x 1x 2）＝ln 21x x •2121
11x x x x +-，设t 21x x =，构造函数g （t ）＝（11t t +-）lnt ，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x 1•x 2的最大值．
【详解】
（1）令m ＝2，函数h （x ）()()2u xlnx lnx v 111x x x x x x x =
==-++--+，∴h′（x ）2
1lnx x -=， 令h′（x ）＝0，解得x ＝e ，
∴当x ∈（0，e ）时，h′（x ）＞0，当x ∈（e ，+∞）时，h′（x ）＜0，
∴函数h （x ）单调递增区间是（0，e ），单调递减区间是（e ，+∞）
（2）f （x ）＝u （x ）﹣v （x ）＝xlnx 21mx 2
-
-x+1， ∴f′（x ）＝1+lnx ﹣mx ﹣1＝lnx ﹣mx ，
∵函数f （x ）恰有两个极值点x 1，x 2，
∴f′（x ）＝lnx ﹣mx ＝0有两个不等正根，
∴lnx 1﹣mx 1＝0，lnx 2﹣mx 2＝0，
两式相减可得lnx 2﹣lnx 1＝m （x 2﹣x 1），
两式相加可得m （x 2+x 1）＝lnx 2+lnx 1， ∴212211222111
x 1ln x x x x x x x x x ln 1x x （）++==-- ∴ln （x 1x 2）＝ln 21x x •2121
x 1x x 1x +-， 设t 21
x x =，∵121x x ≤＜e ，∴1＜t≤e ， 设g （t ）＝（t 1t 1
+-）lnt ，∴g′（t ）22t 12tlnt t(t 1)--=-， 令φ（t ）＝t 2﹣1﹣2tlnt ，∴φ′（t ）＝2t ﹣2（1+lnt ）＝2（t ﹣1﹣lnt ），
再令p （t ）＝t ﹣1﹣lnt ，∴p′（t ）＝11t ＞-0恒成立，
∴p （t ）在（1，e]单调递增，∴φ′（t ）＝p （t ）＞p （1）＝1﹣1﹣ln1＝0，
∴φ（t ）在（1，e]单调递增，∴g′（t ）＝φ（t ）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，
∴g （t ）在（1，e]单调递增，∴g （t ）max ＝g （e ）e 1e 1+=
-， ∴ln （x 1x 2）e 1e 1
+≤-，∴x 1x 2e 1e 1e +-≤ 故x 1•x 2的最大值为e 1e 1e +-．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题
19、34
a >-
【解析】 原不等式等价于1142x x a ⎛⎫>-+
⎪⎝⎭在(]0,1恒成立，令12x t =，()2f t t t =+，求出()f t 在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的最小值后可得a 的取值范围.
【详解】 因为1240x x
a ++⋅>在(]0,1x ∈时恒成立，故1142x x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭在(]0,1恒成立. 令12x t =，由(]0,1x ∈可得1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
. 令()2f t t t =+，1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则()f t 为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上的增函数，故()min 34f t =. 故34
a >-. 故答案为：34a >-
. 【点睛】
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.
20、(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120，② 0λ=或23
λ=
． 【解析】 (Ⅰ)可以通过已知证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；
(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n 、平面PCD 的法向量m ，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小； ②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.
【详解】
证明：(Ⅰ)在图1中，//AB CD ，AB CD =，
ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，
90B ∠=，AD BE ∴⊥，
当EDA 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥，
又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ，
又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．
解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD 则(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)
(1,PC =1，1)-，(0,BC =1，0)，(1,DC =0，0)，
设平面PBC 的法向量为(,n x =y ，)z ，
则00
PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得(1,n =0，1)， 设平面PCD 的法向量(,m a =b ，)c ，
则00
m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0,m =1，1)， 设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角， 则11cos 222
m n
m n θ⋅=-=-=-⋅⨯，120θ∴=． ∴二面角B PC D --的大小为120．
②设AM 与面PBC 所成角为α，
(0,AM AP PM =+=0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，
平面PBC 的法向量(1,n =0，1)，
直线AM 与平面PBC 所成的角为45，
22212sin cos ,22(1)AM n AM n AM n λλαλλλ⋅+-∴==
==⋅⋅++-， 解得0λ=或23
λ=． 【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.
21、 (I )
，；(II )
【解析】
(I )直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II )
，利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】 (I ) ，故，
解得
，故，. (II )
，故
.
【点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
22、（1）见解析；（26 【解析】
（1）记AC BD O =，连结PO ，推导出BD PO ⊥，BD ⊥平面PAC ，由此能证明平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）推导出PH AC ⊥，PH ⊥平面ABCD ，连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，BC BH ⊥，从而平面PHB ⊥平面PBC ，进而HPB ∠是PH 与平面PBC 所成角，由此能求出PH 与平面PBC 所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：记AC BD O =，
连结PO ，PBD ∆中，OB OD =，PB PD =，BD PO ∴⊥，
BD AC ⊥，AC PO O =，BD ∴⊥平面PAC ，
BD ⊂平面ABCD ，∴平面PAC ⊥平面ABCD ．
（2）POB ∆中，2POB π∠=，1OB =，2PB =，1PO ∴=，
3AO =，33OH =
， 2262()33
PH ∴==，222PH PO OH ∴=+， PH AC ∴⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，∴PH ∴⊥BC ，
连结HB ，由题意得H 为ABD ∆的重心，
6HBO π
∴∠=，2
HBC π∠=，BC BH ∴⊥，BC ∴⊥平面PHB ∴平面PHB ⊥平面PBC ，∴H 在平面PBC 的射影落在PB 上，
HPB ∴∠是PH 与平面PBC 所成角，
Rt PHB ∴∆中，63
PH =，2PB =，233BH ∴=， 2316sin 332
BH BPH BP ∴∠==⨯=． PH ∴与平面PBC 所成角的正弦值为63
．
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。