宜宾市2019-2020学年数学高二下期末联考试题含解析

宜宾市2019-2020学年数学高二下期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．从5名女教师和3名男教师中选出一位主考、两位监考参加2019年高考某考场的监考工作．要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为（ ） A ．105 B ．210 C ．240 D ．630
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，先选一名女教师作为流动监控员，共有1
55C =种，再从剩余的7人中，选两名监考
员，一人在前方监考，一人在考场后监考，共有22
7242C A =种，所以不同的安排方案共有542210⨯=种
方法，故选B ．
考点：排列、组合的应用．
2．某校1000名学生中, O 型血有400人, A 型血有250人, B 型血有250人, AB 型血有100人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人要分别抽的人数为（ ） A ．24,15,15,6 B ．21,15,15,9
C ．20,18,18,4
D ．20,12,12,6
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数. 【详解】
根据分层抽样的特点可知，O 型血的人要抽取的人数为400
60241000
⨯
=， A 型血的人要抽取的人数为25060151000⨯
=，B 型血的人要抽取的人数为250
60151000⨯=， AB 型血的人要抽取的人数为100
6061000
⨯
=，故答案为A. 【点睛】
本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题．
3．已知函数()32log ,0
41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩
，函数()() F x f x b =-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且
满足:1234x x x x <<<，则22
13
23432
x x x x x x +-的取值范围是（ ）
A ．)
22,⎡+∞⎣ B
．833,
9⎛
⎤ ⎥⎝⎦
C ．[
)3,+∞ D ．8322,
9⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
作出函数()y f x =的图象，可得出当直线y b =与函数()y f x =的图象有四个交点时b 的取值范围，根
据图象得出124x x +=-，341x x =，并求出实数3x 的取值范围，将代数式22
13
23432x x x x x x +-转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出22
13
23432
x x x x x x +-的取值范围. 【详解】
作出函数()y f x =的图象如下图所示：
由图象可知，当01b <≤时，直线y b =与函数()y f x =的图象有四个交点，
由于二次函数2
41y x x =++的图象关于直线2x =-对称，则124x x +=-，
又4344log log x x =，由题意可知，301x <<，41x >，4344log log x x ∴-=，可得34
1x x =，
431x x ∴=
，由(]33log 0,1x b =∈，即330log 1x <-≤，解得31
13
x ≤<. 22
2
132343233122x x x x x x x x +∴-=+，令231,19t x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭
，则12y t t =+， 由基本不等式得1
1
22222y t t t
t =+≥⋅
=21,129t ⎡⎫=
∈⎪⎢⎣⎭
时，等号成立，
当19t =
时，283999y =+=，当1t =时，3y =，所以，18329
t t ≤+≤，
因此，22
1323432x x x x x x +-的取值范围是839⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，故选：D.
【点睛】
本题考查函数零点的取值范围，解题时要充分利用图象的对称性以及对数的运算性质得出一些定值条件，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解，考查化归与转化思想、函数方程思想的应用，属于中等题.
4．一元二次不等式()()120x x -+<的解集为（ ）
A ．2{1}x x x ｜
＜-或＞ B ．1{2}x x x ｜
＜-或＞ C ．21{}x x ｜
-＜＜ D ．21{}x x ｜
-＜＜ 【答案】C 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集，得到答案． 【详解】
由题意，不等式(1)(2)0x x -+<，即1020x x ->⎧⎨+<⎩
或10
20x x -<⎧⎨+>⎩，解得21x -<<，
即不等式(1)(2)0x x -+<的解集为{|21}x x -<<，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
5．在（x 10的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－275
10C B ．274
10C
C ．－95
10C
D ．94
10C
【答案】D 【解析】
试题分析：通项T r ＋1＝10r
C x 10－r ）r r 10r
C x 10－r .令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为94
10C 考点：二项式定理
6．曲线()sin x f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．
2
【答案】C 【解析】
分析：先求函数()sin x
f x e x =的导数，因为函数图象在点()()
0,0f 处的切线的斜率为函数在0x =处的
导数，就可求出切线的斜率．
详解：0
sin cos 0001x x f x e x e x f e cos sin Q （
），（）（），'=+∴'=+= ∴函数图象在点()()
0,0f 处的切线的斜率为1． 故选：C ．
点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题． 7．1
0(e 2)x x dx -=⎰( )
A ．e
B ．e 1-
C ．e 2-
D ．2e -
【答案】C 【解析】 【分析】
根据定积分的运算公式，可以求接求解. 【详解】
解:1
21
00(e 2)(e )|e 2x x x dx x -=-=-⎰，故选C.
【点睛】
本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键.
8．已知函数()2ln f x a x x =+，a R ∈，若()f x 在2
1,x e ⎡⎤∈⎣⎦上有且只有一个零点，
则a 的范围是( ) A ．4,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．{}4,22e e ⎛⎫
-∞-⋃- ⎪⎝⎭
C ．44,2e e ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭
D ．{}4,22e e ⎛⎤
-∞-⋃- ⎥⎝
⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为2ln x a x -=在(21,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根，考虑函数()2
ln x g x x
=，(
2
1,x e ⎤∈⎦的单调性即可得解. 【详解】
由题()11f =，所以1x =不是函数的零点；
当(
21,x e ⎤∈⎦，()f x 有且只有一个零点，即2ln 0a x x +=在(
21,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根，
即2ln x a x
-=在(
2
1,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根， 考虑函数()2ln x g x x
=，(
21,x e ⎤∈⎦
()()22
2ln 12ln ln ln x x x x x g x x x
--'=
= 由()0g x ¢>得：122,x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，由()0g x ¢<得：1
21,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以函数()2ln x g x x =在121,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
单调递减，1
22,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦单调递增，
12
2g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()422e g e =，21,ln 0,1x x x ++→→→，()2ln x g x x =→+∞，
要使2ln x a x -=在(
2
1,x e ⎤∈⎦有且仅有一个根，即4
2
e a ->或2a e -= 则a 的范围是{}4,22e e ⎛⎫
-∞-⋃- ⎪⎝
⎭
故选：B 【点睛】
此题考查根据函数零点求参数的取值范围，关键在于等价转化，利用函数单调性解决问题，常用分离参数处理问题.
9．将A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A ，B ，C 三个字母连在一起，且B 在A 与C 之间的概率为（ ） A ．
1
12
B ．
15
C ．
115
D ．
215
【答案】C 【解析】 【分析】
将A ，B ，C 三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案. 【详解】
由捆绑法可得所求概率为24
24
66
A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】
本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.
10．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（） A ．
12
B ．
25
C ．
13
D ．
23
【答案】A 【解析】 【分析】
三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面． 【详解】
三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面． 即概率都为12
【点睛】
本题考查排位概率，属于基础题．
11．用数学归纳法证明()()(
)222
2222221
1211213
n n n n n ++++-++-++=L L 时，由n k =时的假
设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ） A ．()2
212k k ++ B ．()2
21k k ++ C ．()2
1k + D ．
()()2
112113
k k ⎡⎤+++⎣⎦ 【答案】B 【解析】
因为当n k =时，等式的左边是()()2
2
22222121121k k k L L ++-++-+++，所以当1n k =+时，等式的左边是()()()2
2
2
2222221211121k k k k k L L ++-+++++-+++，多增加了()2
21k k ++，应选答案B ．
点睛：解答本题的关键是搞清楚当n k =时，等式的左边的结构形式，当1n k =+时，等式的左边的结构形式是()()()2
2
2
2222221211121k k k k k L L ++-+++++-+++，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．
12．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y +整除”，第二步归纳假 设应该写成（ ）
A ．假设当()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除
B ．假设当2()n k k N *=∈时，k k x y +能被x y +整除
C ．假设当21()n k k N *=+∈时，k k x y +能被x y +整除
D ．假设当21()n k k N *=-∈时，2121k k x y --+能被x y +整除 【答案】D 【解析】
注意n 为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n 为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k-1（k ∈N *）正确，再推n=2k+1正确；故选D ．
本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k-1能取到1，是解好本题的关键． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是_________（用数字作答）. 【答案】72 【解析】 【分析】
先排奇数（或偶数），然后从排好的三个数形成的四个空中选择相邻的三个再排剩下的偶数（或奇数），由此可得结果． 【详解】
先排三个奇数，共有3
36A =种结果，然后再从形成的四个空中选择前三个或后三个空排入三个偶数，共有
33212A =种结果．由分步乘法计数原理可得这样的六位数共有33
3
3272A A =个． 故答案为：72． 【点睛】
对于排列问题，一般情况下要从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论．对于相邻问题常用“捆绑法”；对于不相邻问题常用“插空法”；对于“在与不在”的问题，常使用“直接法”或“排除法”．
14．已知幂函数()f x 的图象过点，则满足方程()8f x =的x 的值为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
设()f x x α
=，可得α=，解得α，即可得出．
【详解】 设()f x x α
=，
则α=，解得3α=．
()3f x x ∴=．
令38x =，解得2x =． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了幂函数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于容易题． 15．若复数(
)
2
2
23232z m m m m i =--+-+是纯虚数，则实数m 的值为____． 【答案】－12
【解析】 【分析】
由纯虚数的定义，可以得到一个关于m 的等式和不等式，最后求出m 的值. 【详解】
因为复数()2
2
23232z m m m m i =--+-+是纯虚数，所以有222320320
m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，1
2m ⇒=-.故答案
为1
2
-
. 【点睛】
本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.
16．将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案和数有__________. 【答案】10 【解析】
首先分给甲乙每班一个名额，余下的3个名额分到3个班， 每班一个，有1中分配方法；
一个班1个，一个班2个，一个班0个，有2
36A =种分配方法；
一个班3个，另外两个班0个有3种分配方法； 据此可得，不同的分配方案和数有6+3+1=10种. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知直线l
的参数方程为112x t y ⎧=+⎪
⎨⎪=⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建
立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为2sin cos 0θθ=. （I ）求曲线C 的直角坐标方程； （II ）求直线l 与曲线C 交点的直角坐标.
【答案】（I ）230y x -=；（II ）(1,3). 【解析】
【分析】
（I ）曲线C 的极坐标方程为2sin 3cos 0θρθ-=两边同乘ρ，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直
角坐标方程．（II ）将11233x t y t ⎧
=+⎪
⎨
⎪=+⎩
代入230y x -=中，得t 的二次方程，解得0t =则可求解 【详解】
（I ）将2sin 3cos 0θρθ-=两边同乘ρ得，22sin 3cos 0ρθρθ-=，
∴曲线C 的直角坐标方程为：230y x -=.
（II ）将11233x t y t
⎧=+⎪⎨
⎪=+⎩
代入2
30y x -=中，得2
1333102t t ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得0t =， ∴直线l 与曲线C 交点的直角坐标为(1,3).
【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交问题，考查t 的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，
2AD =，5AC CD ==.
（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. （2）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM
平面PCD ？若存在，求
AM
AP
的值；若不存在，说明理由. 【答案】3
（Ⅱ）14AM AP =. 【解析】
分析：（Ⅰ ）取AD 中点为O ，连接CO ，PO ，由已知可得CO ⊥AD ，PO ⊥AD ．以O 为坐标原点，建立空间
直角坐标系，求得P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），进一步求出向量PB PD PC
u u u r u u u r u u u r
、、的坐标，再求出平面PCD 的法向量n r
，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由n PB sin cos n PB n PB
θ⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ＜，
＞求得直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （Ⅱ）假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设
AM
AP
λ=，M （0，y 1，z 1），由AM AP λ=u u u u r u u u r 可得M （0，1﹣λ，λ），()1
BM λλ=--u u u u r
，，，由BM ∥平面PCD ，可得 0BM n ⋅=u u u u r r ，由此列式求得当
1
4
AM AP =时，M 点即为所求． 详解：(1)取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO⊥AD.
又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD⊥平面ABCD ， 所以PO⊥平面ABCD.
因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO⊥AD.
以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P （0，0，1），B （1，1，0），D （0，﹣1，0），C （2，0，0），
则()()11
1011PB PD =-=--u u u r u u u r ，，，，，，()()201210PC CD =-=--u u u r u u u r
，，，，，， 设()001n x y =r
，，
为平面PCD 的法向量， 则由00
n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得0010210y x --=⎧⎨-=⎩，则1112n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭r ，，． 设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则n PB sin cos n PB n PB
θ⋅==u u u r r u u u r r
u u u r r ＜，
＞
=
； (2) 假设存在M 点使得BM ∥平面PCD ，设AM
AP λ=，M （0，y 1，z 1）， 由（Ⅱ）知，A （0，1，0），P （0，0，1），()011AP =-u u u r ，，，B （1，1，0）
，()1101AM y z =-u u u u r
，，， 则有AM AP λ=u u u u r u u u r
，可得M （0，1﹣λ，λ），
∴()1
BM λλ=--u u u u r
，，， ∵BM ∥平面PCD ，1112n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r ，，为平面PCD 的法向量，。