高考领航人教数学理总复习 第09章计数原理概率随机变量及其分布94排列与组合含解析

第4课时排列与组合
1．理解排列、组合的概念．
2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3．能解决简单的实际问题．
[对应学生用书P169]
【梳理自测】
一、排列
1．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()
A．180种B．360种
C．15种D．30种
2．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()
A．A88A29B．A88C29
C．A88A27D．A88C27
答案：1.B 2.A
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．
(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n
－1)·(n－2)·…·2·1＝n！，排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝
n！
(n－m)！
，这里规定0！＝1.
二、组合
1．C14＋C25＋…＋C1720等于()
A．C1721B．C1721－1
C．C1821－1 D．C1821
2．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为()
A．C34·C44B．C38－C34
C．2C14·C24＋C34D．C38－C34＋1
3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．
答案：1.B 2.D 3.14
◆以上题目主要考查了以下内容：
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．
(3)组合数的计算公式：C m n＝A m n
A m m＝
n！
m！(n－m)！
＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
m！
，由于0！
＝1，所以C0n＝1.
(4)组合数的性质：①C m n＝C n－m
n __；②C m n＋1＝C m n＋C m－1
n
.
【指点迷津】
1．一个区别
排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．
2．两个公式
(1)排列数公式A m n＝n！
(n－m)！
(2)组合数公式C m n＝n！
m！(n－m)！
，利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．
①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．
[对应学生用书P169]
考向一排列问题
(2014·金华联考)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【审题视点】本题是排队问题，以人或以位置分析其特殊性、优先考虑，选取合适的方法：捆绑法、插空法、间接法等．
【典例精讲】(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．
(5) (插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．
【类题通法】解决排列类应用题时，对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．
1．六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？
(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．
解析：(1)A25A44＝480.
(2)A22A55＝240.
(3)A44A25＝480.
(4)A22A24A33＝144.
(5)A66－2A55＋A44＝504.
(6)A36＝120.
考向二组合问题
某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
【审题视点】要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、“至多”．
【典例精讲】(1)共有C318＝816(种)．
(2)共有C518＝8 568(种)．
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)．
(4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得
C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．
【类题通法】(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
2．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．
(1)A，B必须当选；(2)A，B不全当选．
解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C310＝120(种)．
(2)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672(种)．
考向三分组分配问题
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【审题视点】 本题是分组分配问题，要注意区分平均、不平均分组或分配的区别与联系．
【典例精讲】 (1)无序不均匀分组问题．
先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，
有C 33种选法．
故共有C 16C 25C 33＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C 16C 25C 33A 3
3＝360(种)．
(3)无序均匀分组问题．
先分三步，则应是C 26C 24C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，
D ，
E ，
F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，
EF )，则C 26C 24C 2
2种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此
只能作为一种分法，故分配方式有C 26C 24C 22
A 33
＝15(种)．
(4)有序均匀分组问题．
在(3)的基础上再分配给3个人，
共有分配方式C 26C 24C 22A 33
·A 33＝C 26C 24C 2
2＝90(种)． (5)无序部分均匀分组问题．共有C 46C 12C 11
A 22＝15(种)．
(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给3个人，
共有分配方式C 26C 12C 11
A 2
2·A 33＝90(种)． (7)直接分配问题．
甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 1
5种方法，余下4本留给丙，有C 44种方法，故共有分配方式C 16C 15C 4
4＝30(种)．
【类题通法】 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在有无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．
3．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
解析：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化
为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．
(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
[对应学生用书P171]
排列、组合问题的解答方法
(2013·高考全国大纲卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
【方法分析】①题目条件：6个元素全排，其中特殊元素，甲、乙不相邻．
②解题目标：求排法总数．
③关系探究：(ⅰ)甲、乙不相邻，即甲、乙中间有人，让甲、乙两人插入别人之间——插空法．
(ⅱ)6人的全排中只有两类：甲、乙相邻或不相邻先确定甲、乙相邻的排法，则剩下的为所求．
【解答过程】方法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．
再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．
方法二：6人排成一排，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A55A22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．【答案】480
【回归反思】解决排列类应用题的主要方法
(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；
(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
(5)分排问题直排处理的方法；
(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；
(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
1．(2013·高考山东卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是 ( )
A ．9
B ．10
C ．18
D ．20
解析：选C.利用排列知识求解．
从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列数为A 25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.
2．(2013·高考北京卷)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
解析：先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中有2个连号的有4种分法，
每一种分法中的排列方法有A 44种，因此共有不同的分法4A 44＝4×24＝96(种)．
答案：96 3．(2013·高考广东卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)
解析：利用排列组合知识列式求解．
由题意知，所有可能的决赛结果有
C 16C 25C 33
＝6×5×42
×1＝60(种)． 答案：60 4．(2013·高考重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是
________________________________________________________________________
(用数字作答)．
解析：根据计数原理合理分类，还要注意每一类中的合理分步．
分三类：①选1名骨科医生，则有C 13(C 14C 35＋C 24C 25＋C 34C 1
5)＝360(种)； ②选2名骨科医生，则有C 23(C 14C 25＋C 24C 15)＝210(种)； ③选3名骨科医生，则有C 33C 14C 15＝20(种)，
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590. 答案：590。