人教数学八年级下册北京四中第二学期期中考试初二年级学科试题及答案.docx

A
C
B （第4题图）
初中数学试卷
桑水出品
数学试卷
（时间：100分钟满分：120分） 姓名：班级：成绩: ____________
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．□ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：2，则∠A 的度数为（）．
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
2．某服装店试销一款女式防晒服，试销期间对不同颜色的防晒服的销售情况做了统计. 如果服装店经理最关心的是哪种颜色的防晒服最畅销，那么对经理最有意义的统计量是（）． A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差
3．关于x 的一元二次方程222310x x a ---=的一个根为2，则a 的值是（）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．1±
4．如图，一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在离树
底部C 点12米处，则大树断裂之前的高度为（）． A ．9米 B ．15米 C ．21米 D ．24米 5．某城2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面
积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年
的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（）． A ．300(1+x )=363 B ．300(1+x )²=363 C ．300(1+2x )=363 D ．363(1-x )²=300
6．如图，□ABCD 中，AB=10，BC=6，E 、F 分别是AD 、DC 的中
点，若EF=7，则四边形EACF 的周长是（）． A ．20 B ．22 C ．29 D ．31
7．不能．．
判定为平行四边形的是（）． A ．一组对边平行，一组对角相等的四边形
B ．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形
C ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形
D ．两条对角线互相平分的四边形
8．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，
CE =3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）．
A ．2.5
B ．5
C ．3
22D ．2
9．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则
a 的取值
范围是（）．
A ．14a >-
B ．14a ≥-
C ．14a ≥-且a ≠0
D ．1
4a >-且a ≠0
10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且1
3
AE AB =
，将矩形沿直线EF A B
D C
E
F （第6题图）
（第8题图）
折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下
列结论：
①EF =2BE ；②PF =2PE ；③FQ =4EQ ；
④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①④
二、填空题（每小题2分，共20分）
11．已知a 是方程22430x x +-=的一个根，则代数式22a a +=_______．
12．矩形的两条对角线所夹的锐角为60º，较短的边长为12，则对角线长为______． 13．如果把代数式223x x -+化成2()x h k -+的形式，其中h ，k 为常数，那么h+k 的值是． 14．如图，把两块相同的含30o 角的三角尺如图放置，若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为__________cm ．
15．样本数据3，6，a ，4，2的平均数是5，则a =_____；这个样本的方差是______． 16．等腰ABC ∆两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是____________．
17．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是__________． 18．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为♢※△=♢²-2△，根据这个规则，方程（x -3）※x 2
1
=0的解为__________． （第14题图）（第17题图）（第19题图）
19．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于 cm ． 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一边长为1的正方形OABC ，点B 在x 轴的正半轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1 B 2C 2，…，照此规律作下去，则B 2的坐标是； B 2015的坐标是． 三、解答题 21．（每小题3分）解下列关于x 的方程 （1）3x (x －2)＝2x －4；（2）x 2－3x －28＝0； （3）3x 2－4x ＝2；（4）x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x ．(m ≠1) 22．（本题5分）如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，求四边形ACBD 的面积． 23．（本题5分）如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 平分∠BAD ，CE//AD 交AB 于E. (1)求证：四边形AECD 是菱形；
(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由.
(第10题图) C 4C
3C 2C 1
B 4B 3
B 2B 1A B
C
O y
x
E
24．（本题5分）已知关于x 的方程.022)13(2=+++-m x m mx
(1) 求证：无论m 取任何实数，方程恒有实数根； (2) 若该方程有两个整数根，且m 为整数，求m 的值． 25．（本题5分）列方程或方程组解应用题
如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD ，为了节约材料，花园的一边AD 靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD ＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB 的长． 26．（本题5分）四中在开展“好算手”系列活动中，为了解本校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下： （1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（2）根据样本数据，估算该1200名学生共参加了多少次活动．
27．（本题6分）已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF ． (1) 若AB =3，AD =4，求 DE 的长； (2) 求证：∠ADB=2∠DAF
28．（本题7分）如图1，EF 是中位线，AD 与EF 相交于点O ．若
将△AEO 与△AFO 分别绕E EBCF 构成矩形PBCQ ，我们把这样
形成的矩形称为△ABC （1）若△ABC 的边BC ＝5PBCQ 的长为________，宽为________；
（2）如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，试求△ABC 的所有等积矩形的长和宽； （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，那么能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长． 四、附加题
1．(本题6分）如图在矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，点P 在线段AB 上运动设AP =x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E ，F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原. （1）当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为； （2）当四边形EPFD 为菱形时，x 的取值范围为； （3）当x =2时，菱形EPFD 的边长为_____________．
2.（本题7分）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2
－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α2＋β2，…，s n ＝αn ＋βn ．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2
－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2
)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．根据以上信息，解答下列问题：
（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值；
（2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n -1，s n -2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性； （3）根据（2）中的猜想，求(1＋52)5＋(1－52
)5
的值．
3.（本题7分）如图1，P 为正方形ABCD 的边CD 上一点，E 在CB 的延长线上，BE ＝DP ，∠
CEP 的平分线交正方形的对角线AC 于点F ． （1）求证：AE ＝AF ；
（2）如图2，AM ⊥PE 于M ，FN ⊥PE 于N ，求证：AM ＋FN ＝AD ；
E
A
（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD 的边长为a ，N 为PM 的中点，求线段FN 的长（用含a 的代数式表示）．
一、选择题
1.C.
2.B.
3.D
4.D
5.B
6.C
7.C
8.B
9.C 10.D 二、填空题
11.
3
2
12.24 13.3 14.12 15. 10,8 16.7或
19.2或1 20.(0, ,(2
2- 三、解答题 21.(1)122
2,3
x x == ； (2)127,4x x ==-
(3)12x x ==；
(4)1
22
1,1x x m ==- 22.36 23.直角三角形
24.(1)略 (2)1m =±. 25.x=10.
26.(1)平均数=3.3 众数4, 中位数3. (2)3960
略 28. （1）5 3
（2）△ABC 可形成如下三个等积矩形： 图①中的矩形的长为2，宽为2 图②中的矩形的长为4，宽为1
图③中的矩形的长为
4
2
＋2
2
＝25，宽为
4×2
2×25
＝
25
5
（3）能形成这样的等积矩形的三角形有无数个
其中，当以BC 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是4
则这样的三角形的另一顶点P 在图④中的四个矩形拼成的图形中的EF 上 当P 为EF 的中点时，△PBC 的周长最小
PB ＋PC ＋BC ＝3＋
3 2＋8
2
＝3＋73
当以AB 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是6, 这样的三角形的另一顶点P 在图⑤中的EF 上 同理当P 为EF 的中点时，△PAB 的周长最小
PB ＋PA ＋AB ＝2＋
2 2＋12
2
＝2＋237
∵3＋73＜12，2＋237＞14
∴能形成这样的等积矩形的三角形的周长最小值为3＋73 三角形的三边长分别为3，73
2
，73
2
附加题:
5
3;(3)
4
x ≤≤ 2. 解：（1）移项，得x
2
－x ＝1
配方，得x
2
－2×x ×1
2
＋( 1
2
)2＝1＋( 1
2
)
2
即(
x － 1
2
)2＝ 5
4
开平方，得x － 1
2
＝±
5
2
，即x ＝
1±
5
2
∵α＞β，∴α＝
1＋
5
2
，β＝
1－
5
2
·············· 3分
于是s 1＝α＋β＝1，s 2＝s 1＋2＝3 ················ 5分 （2）猜想：s n ＝s n -1＋
s n -2 ······················ 6分
证明：根据根的定义，有α2－α－1＝0
两边都乘以αn-2，得αn－αn-1－αn-2＝0 ①
同理，βn－βn-1－βn-2＝0 ②
①＋②，得(αn＋βn)－(αn-1＋βn-1)－(αn-2＋βn-2)＝0
∵s n＝αn＋βn，s n-1＝αn-1＋βn-1，s n-2＝αn-2＋βn-2
∴s n－s n-1－s n-2＝0，即s n＝s n-1＋s n-2···············10分（3）由（1）知，s1＝1，s2＝3
由（2）中的关系式可得：
s3＝s2＋s1＝4，s4＝s3＋s2＝7，s5＝s4＋s3＝11，
3.（1）连接AP
∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°
又BE＝DP，∴△ABE≌△ADP
∴AE＝AP，∠BAE＝∠DAP
∵∠BAP＋∠DAP＝90°
∴∠BAP＋∠BAE＝90°，即∠EAP＝90°
∴∠AEP＝∠APE＝45°
∵正方形ABCD，∴∠ACB＝45°
∴∠AEP＝∠ACB
∵∠AEF＝∠AEP＋∠PEF，∠AFE＝∠ACB＋∠CEF
又∠PEF＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE
∴AE＝AF
（2）过F作FH⊥AM于H
则四边形MHFN是矩形，∴FN＝MH
由（2）知，AE＝AP，AE＝AF
∴AF＝AP
易知△AEP是等腰直角三角形
又AM⊥PE，∴AM＝PM，∠MAP＝45°
∴∠HAF＝∠DAP＝45°－∠PAF
又∠AHF＝∠D＝90°，∴△AHF≌△ADP
∴AD＝AH＝AM＋MH＝AM＋FN
即AM＋FN＝AD
（3）设FN＝x，则PM＝AM＝a－x，AP＝2(a－x)
∵△AHF≌△ADP，∴DP＝FH＝MN＝1
2
PM＝
1
2
(a－x)
在Rt△ADP中，a2＋[1
2
(a－x)]2＝[2(a－x)]2
整理得：7x2－14ax＋3a2＝0
A
B
D
C E
F
P A
B
D
C E
F
P
M
N
H
解得：x1＝a＋2
7
7a（舍去），x1＝a－
2
7
7a
即FN＝a－2
7
7a。