双曲线练习题及答案

双曲线相关知识
双曲线的焦半径公式：
1：定义：双曲线上任意一点P 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上
│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上
│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a
运用双曲线的定义
例1．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
练习1．设双曲线19
162
2=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ）
A ．7 B.23 C.5或23 D.7或23
例2. 已知双曲线的两个焦点是椭圆10x 2
＋32
y 52=1的两个顶点，双曲线的两条准
线分别通过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是（ ）。

（A ）6x 2－4y 2=1 （B ）4x 2－6y 2=1 （C ）5x 2－3y 2=1 （D ）3x 2
－5
y 2=1
练习2. 离心率e=2是双曲线的两条渐近线互相垂直的（ ）。

（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）不充分不必要条
件
例3. 已知|θ|<
2
π
,直线y=－tg θ(x －1)和双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1有且仅有一个公共点，则θ等于（ ）。

（A ）±6π （B ）±4π （C ）±3π （D ）±12
5π
课堂练习
1、已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲
线的方程为 ； 2、焦点为（0，6），且与双曲线12
22
=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是
（ ）
A ．124
12
2
2
=-
y x
B ．
124
122
2=-x y C ．
112
242
2=-x y D ．11224
2
2
=-
y x
3. 设e 1, e 2分别是双曲线1b y a x 2222=-和1a
y b x 22
22=-的离心率，则e 12+e 22与e 12·e 22
的大小关系是 。

4.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(a>0)a
x y -=的中心和左焦点,点P 为双曲
线右支上的任意一点,则OP FP ⋅的取值范围为 ( )
A ．[3-23,)+∞
B ．[323,)++∞
C ．7[-,)4+∞
D ．7
[,)4+∞
5. 已知倾斜角为
4
π
的直线l 被双曲线x 2－4y 2=60截得的弦长｜AB ｜=82，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程。

6. 已知P 是曲线xy=1上的任意一点，F(2,2)为一定点，l ：x+y －2=0为一定直线，求证：｜PF ｜与点P 到直线l 的距离d 之比等于2。

7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为(
)
3,0.
（Ⅰ）求双曲线C 的方程
（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围
8、已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 点。

（1）求a 的取值范围；
（2）若以A B 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；
课后作业
1．双曲线36x 2
－49
y 2＝1的渐近线方程是 ( )
（A ）36x ±49y ＝0 （B ）36y ±49x ＝0 （C ）6x ±7y ＝0 （D ）7x
±6
y ＝
2．双曲线5x 2－4y 2＝1与5
x 2－4y 2
＝k 始终有相同的（ ）
（A ）焦点 （B ）准线 （C ）渐近线 （D ）离心率
3．直线y ＝x ＋3与曲线4
y 4x
x 2
+
-=1的交点的个数是（ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（ ）
（A ）(a +1, 0) , (－a +1, 0) （B ）(a -1, 0), (－a -1, 0) （C ）（－
a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） （D ）(－a a 1-, 0), (a
a 1
-, 0) 5．设双曲线1b
y a x 22
22=-(b>a>0)的半焦距为c ，直线l 过(a, 0)、(0, b)两点，已知
原点到直线 L 的距离是
4
3
c ，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3
3
2
6．若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x 的距离是2，则a ＋b 的值为（ ）。

（A ）－21 （B ）21 （C ）－21或2
1 （D ）2或－2
7．已知方程k 3x 2++k
2y 2-=1表示双曲线，则k 的取值范围是 。

8. 若双曲线2222
k
4y k 9x -=1与圆x 2＋y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围是
9. 求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
10 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4
，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y
＝g (x )在⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4上的最大值．
11、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足121114.4...4(1)()n n b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差
数列；
课1、[解析]设双曲线方程为λ=-2
2
4y x ， 当0>λ时，化为
14
2
2
=-
λ
λ
y x ，20104
52
=∴=∴λλ
， 当0<λ时，化为
142
2
=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为
221205x y -=或12052
2=-x y
课2.[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
3、解（1）设双曲线方程为22
221-=x y a b
由已知得3,2==a c ，再由222
2+=a b ，得2
1=b
故双曲线C 的方程为2
213
-=x y . （2）将2=+y kx 代入2
213
-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()
22
22
1306236(13)36(1)0
⎧-≠⎪
⎨
∆=+-=->⎪⎩
k k k
即2
13
≠
k 且2
1<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22
629
,1313-+=
=--A B A B
x y x y k k ，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ， 而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x
22
22296237
(1)222131331
-+=+++=---k k k k k k k .
于是2237231+>-k k ，即22
39031-+>-k k 解此不等式得2
1 3.3
<<k ②
由①+②得
21
13
<<k 故的取值范围为33(1,),13
3⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭
4、解：（1）由⎩⎨⎧=-+=1
312
2y x ax y 消去y ，得022)3(2
2=---ax x a （1） 依题意⎩⎨⎧>∆≠-0
032a 即66<<-a 且3±≠a （2）
（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=-=+)4(32)3(32221221a x x a
a x x
∵ 以AB 为直径的圆过原点 ∴ OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x 但1)(21212
21+++=x x a x x a y y 由（3）（4），22132a a x x -=+，2
2
132
a x x --= ∴ 013232)1(2
2
2
=+-⋅+--⋅
+a
a a a
a 解得1±=a 且满足（2）
9 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭
⎫π4，3
2平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在
⎣⎡⎦
⎤0，π4上的最大值．大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 【解答】 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋3
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2
＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋3
2
＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π
6∈⎣⎡⎦
⎤－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.
22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈
（I ）求数列
{}n a 的通项公式；
（II ）若数列
{}n b 满足1
2
1114.4...4(1)()n
n
b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；
22（I ）：*121(),n n a a n N +=+∈
112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=
即 2*
21().n a n N =-∈
（II ）证法一：
1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+
12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+= ③
21(1)20.
n n nb n b ++-++= ④
④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=
即 2120,
n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
{}n b ∴是等差数列。

练习题答案
1、[解析]设双曲线方程为
λ=-224y x ，
当
0>λ时，化为
14
2
2
=-
λ
λ
y x ，20104
52
=∴=∴λλ
， 当0<λ时，化为
142
2
=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为
221205x y -=或12052
2=-x y
2、[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B
7、解（1）设双曲线方程为
22
221-=x y a b
由已知得
3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b
故双曲线C 的方程为2
213
-=x y . （2）将2=+y kx 代入2
213
-=x y 得22(13)6290---=k x kx
由直线l 与双曲线交与不同的两点得()
22
22
1306236(13)36(1)0
⎧-≠⎪
⎨
∆=+-=->⎪⎩
k k k
即
213
≠
k 且2
1<k . ① 设(),,(,),A A A B
A x y
B x y ，则
22
629
,1313-+=
=--A B A B
x y x y k k ，由
2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，
而
2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x
22
22296237
(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k .
于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得
21 3.3
<<k ② 由①+②得
21
13<<k 故的取值范围为
33(1,),13
3⎛⎫--
⎪ ⎪⎝⎭
8、解：（1）由
⎩⎨⎧=-+=1
312
2y x ax y 消去y ，得022)3(2
2=---ax x a （1） 依题意⎩⎨⎧>∆≠-0
32a 即66<<-
a 且3±≠a （2） （2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
--=-=+)4(32)3(32221221a x x a
a x x
∵ 以AB 为直径的圆过原点 ∴
OB OA ⊥ ∴ 02121=+y y x x
但
1)(2121221+++=x x a x x a y y
由（3）（4），
2
2132a a
x x -=
+，
2
2132a x x --=
∴
013232)1(2
2
2=+-⋅
+--⋅
+a
a
a a
a 解得1±=a 且满足（2）
例2答案：A
提示：椭圆10x 2＋32y 52=1的两个顶点是(10, 0), (－10, 0), 焦点是(－5103, 0), (5
10
3,
0), 在双曲线中，c=10, c a 2=5103, a 2=6, b 2
=4, ∴双曲线的方程是6x 2－4
y 2=1
例3答案：B
提示：将y=－tg θ(x －1)代入到双曲线y 2cos 2θ－x 2 =1中，化简得cos 2θx 2＋2xsin 2θ＋cos 2
θ=0, △=0,解得sin θ=±cos θ, ∴θ=±4
π
课练3.答案：e 12+e 22=e 12·e 22
提示：e 12+e 22=
2222b c a c +=2
2222b
a )
b a (
c +=224
b a
c = e 12·e 22 课练4【答案】B
【解析】因为(2,0)F -是已知双曲线的左焦点，所以2
14a +=，即2
3a =，所以双曲线方
程为22
13x y -=，设点P 00(,)x y ，则有220001(3)3
x y x -=≥，解得
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22
0001(3)3x y x =-≥，因为00(2,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2
000(2)OP FP x x y ⋅=++=00(2)x x ++2013x -=2004213x x +-，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034
x =-，因为03x ≥，所以当03x =时，O P F P ⋅取得最小值432313
⨯+-=323+，故OP FP ⋅的取值范围是[323,)++∞，选B 。

课练5答案：y=x ±9, (x ±12)2＋(y ±3)2=32
提示：设直线的方程是y=x ＋m, 与双曲线的方程x 2－4y 2=60联立，消去y 得3x 2＋8mx ＋4m 2＋60=0, |AB|=2|x 1－x 2|=29
720m 162-=82,解得m=±9, ∴直线l 的方程是y=x ±9, 当m=9时, AB 的中点是(12, 3),∴圆的方程是(x －12)2＋(y －3)2=32，同样当m=－9时，AB 的中点是(－12, －3), 圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋3)2=32
课练6 提示：设P(x, y), |PF|2=(x －2)2＋(y －2)2, P 点到直线l 的距离d=2|
2y x |-+, ∴22
d |PF |=2
xy
2y 22x 222y x 2y 22y 2x 22x 2222+--+++-++-=2, ∴｜PF ｜与点P 到直线l 的距离d 之比等于2。

课后6答案：B
提示：a 2－b 2=1,
2|b a |-=2, 且a 2>b 2, a>0, 解得a ＋b=21。