考研数学二(常微分方程)模拟试卷20

考研数学二（常微分方程）模拟试卷20
(总分：62.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：4，分数：8.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________
解析：
2.设φ1 (χ)，φ2 (χ)为一阶非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
（分数：2.00）
A.C[φ1 (χ)＋φ2 (χ)]
B.C[φ1 (χ)－φ2 (χ)]
C.C[φ1 (χ)－φ2 (χ)]－φ2 (χ) √
D.[φ1 (χ)－φ2 (χ)]＋Cφ2 (χ)
解析：解析：因为φ1 (χ)，φ2 (χ)为方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关解，所以φ1 (χ)
－φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝0的一个解，于是方程y＋P(χ)y＝Q(χ)的通解为C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2 (χ)，选C．
3.设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则χ)dχ为( )．（分数：2.00）
A.－ln3
B.ln3
C.
√
解析：解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln(χ2－1)＋lny＝lnC，从而y＝，
由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，因此选D．
4.微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e -2χ的特解形式为( )．
（分数：2.00）
A.(aχ＋b)e -2χ
B.aχ2 e -2χ
C.(aχ2＋bχ)e -2χ√
D.χ2 (aχ＋b)e -2χ
解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e －2χ，选C．
二、填空题(总题数：6，分数：12.00)
5.设连续函数f(χ)满足f(χ)＝＋e χ，则f(χ)＝ 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2e 2χ－e χ）
解析：
6.微分方程(2χ＋3)y〞＝4y′的通解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝1χ3＋6C 1χ2＋9C 1χ＋C 2）
解析：解析：令y′＝p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3) 2＋lnC 1，或y′＝C 1(2χ＋3) 3，
于是y＝ C 1χ3＋6C 1χ2＋9C 1χ＋C 2．
7.yy〞＝1＋y ′2满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：ln｜y＋[*]｜＝±χ）
解析：解析：令y′＝p，则yp ＝1＋p 2，即，解得ln(1＋p 2 )＝lny 2＋lnC 1，则1＋p 2＝C 1 Y 2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝± ， ln｜y＋＋C 2＝±χ，由y(0)＝
1得C 2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ．
8.微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 cos2χ＋C 2 sin2χ＋χ－2）
解析：解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C 1cos2χ＋C 2sin2χ＋χ－2．
9.设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y ＝e 3χ，则y(χ)＝ 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y(χ)＝2χe 3χ＋2 e 3χ）
解析：解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2， y〞－6y′＋9y＝e 3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞＝6y′＋9y＝e 3χ的特解为y 0 (χ)＝aχ2 e 3χ代入得以a＝，故通解为y＝(C 1＋C 2χ)e 3χ＋χ2 e 3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C 1＝0，C 2＝2，则
y(χ)＝2χe 3χ＋χ2 e 3χ．
10.微分方程2y〞＝3y 2满足初始条件y(－2)－1，y′(－2)＝1的特解为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：χ＝－[*]）
解析：
三、解答题(总题数：21，分数：42.00)
11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
12.求微分方程y〞－y′＋2y＝0的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：特征方程为λ2－λ＝0，特征值为λ1,2＝，则原方程的通解为y＝) 解析：
13.设二阶常系数齐次线性微分方程以y 1＝e 2χ，y 2＝2e -χ－3e 2χ为特解，求该微分方程．
（分数：2.00）
正确答案：(正确答案：因为y 1＝e 2χ，y 2＝2e －χ－3e 2χ为特解，所以e 2χ，e －χ也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1＝－1，λ2＝－2，特征方程为(λ＋1)(λ－2)＝0即λ2－λ－2＝0，所求的微分方程为y〞－y′－2y＝0．)
解析：
14.求微分方程y〞＋2y′－3y＝(2χ＋1)e χ的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2＋2λ－3＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－3，则y〞＋2y′－
3y＝0的通解为y＝C 1e χ＋C 2e －3χ．令原方程的特解为y 0＝χ(aχ＋b)e χ，代入原方程得，
所以原方程的通解为y＝C 1 e χ＋C 2 e －3χ＋(2χ2＋χ)e χ．)
解析：
15.求y〞－2y′－e 2χ＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：原方程化为y〞－2y′＝e 2χ．特征方程为λ2－2λ＝0，特征值为λ1＝0，λ2＝2， y〞－2y′＝0的通解为y＝C 1＋C 2 e 2χ．设方程y〞－2y′＝e 2χ的特解为y 0＝Aχe 2χ
代入原方程得A＝，原方程的通解为y＝C 1＋C 2 e 2χ＋χe 2χ．由y(0)＝1，y′(0)
＝1得解得故所求的特解为y＝．)
解析：
16.求微分方程y〞＋4y′＋4y＝e aχ的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y＝(C 1＋C 2χ)e －2χ． (1)当a≠－2时，因为a不是特征值，所以设原方程
的特解为y 0(χ)＝Ae aχ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C 1＋C 2χ)e －2χ＋；
(2)当a＝－2时，因为a＝－2为二重特征值，所以设原方程的特解为y 0 (χ)＝Aχ2 e －2χ，代入原方
程得A＝，则原方程的通解为y＝(C 1＋C 2χ)e －2χ＋χ2 e －2χ．)
解析：
17.求微分方程y〞＋y＝χ2＋3＋cosχ的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1＝－i，λ2＝i，方程y〞＋y＝0的通解为y＝C 1cosχ＋C 2sinχ．对方程y〞＋y＝χ3＋3，特解为y 1＝χ2＋1；对方程y〞＋y＝cosχ，
特解为χsinχ，原方程的特解为χ2＋1＋χsinχ，则原方程的通解为y＝C 1 cosχ＋
C 2 sinχ＋χ2＋1＋χsinχ．)
解析：
18.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t＝0＝v 0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，
问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．
（分数：2.00）
正确答案：(正确答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F＝ma＝，则有，解此微
分方程得v(t)＝v 0 e －t．由v 0 e －t＝得t＝ln3，从开始到t＝ln3的时间内质点所经过的路
程为)
解析：
19.设f(χ)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)与f(χ)的几何平均数，求f(χ)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：根据题意得，令a＝，则有∫ 0χ f(t)dt＝两边求导得
，)
解析：
20.设曲线L位于χOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜
＝｜OA｜，且L经过点)，求L的方程．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设点M的坐标为(χ，y)，则切线MA：Y－y＝y′(X－χ)．令X＝0，则Y＝y－χy′，
故A点的坐标为(0，y－χy′)．由｜MA｜－｜OA｜，得｜y－χy′｜＝即2yy′－y 2＝－χ，或者＝－χ，则y 2＝＝χ(－χ＋C)，因为曲线经过点( )，所以C＝3，
再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y＝(0＜χ＜3)．)
解析：
21.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设所求曲线为y＝y(χ)，该曲线在点P(χ，y)的法线方程为 Y－y＝－(X －χ)(y′≠0) 令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为由题意得，即yy〞＝1＋y ′2．令y′＝p，则y〞＝，则有＝1＋p 2，或者，两边积分得y＝，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C 1＝1，所以y′＝，变量分离得＝±dy，两边积分得ln(y＋
)＝±χ＋C 2，由y(1)＝1得C 2＝，两式相加得y＝＝ch(χ－1)．)
解析：
22.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r 0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．
（分数：2.00）
正确答案：(正确答案：设t 时刻雪堆的半径为r ，则有 ＝－2k πr 2
，V(t)＝ πr 3
，则 于是有
r ＝－kt ＋C 0 ， 由r(0)＝r 0 ，r(3)＝
，得C 0 ＝r 0 ，k ＝
，于是 r ＝－
t ＋r 0 ，令r ＝0得t ＝6，即6小时雪堆可以全部融化．) 解析：
23.设f(χ)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y ＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y ＝0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(χ)． （分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)得 f(χ)＝[a∫(χ－1)e ∫－1d χ
d χ＋C]e
－∫－d χ
＝
Ce χ
－av ， 由f(0)＝1得C ＝1，故f(χ)＝e χ
－a χ． V(a)＝ 由V′(a)＝
＝0得a ＝3，
因为V 〞(a)＝＞0，所以当a ＝3时，旋转体的体积最小，故f(χ)＝e χ
－3χ．)
解析：
24.设f(χ)在(－1，＋∞)内连续且f(χ)＝1(χ＞－1)，求f(χ)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由f(χ)－
tf(t)dt ＝1得(χ＋1)f(χ)－∫ 0 χ
tf(t)dt ＝χ＋1， 两边求
导得f(χ)＋(χ＋1)f′(χ)－χf(χ)＝1， 由f(0)＝1得C ＝3，故f(χ)＝)
解析：
25.设f(χ)是连续函数． (1)求初值问题 的解，其中a ＞0； (2)若｜f(χ)｜≤k，证明：当χ≥0
时，有｜f(χ)(e a χ
－1)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1) y′＋ay ＝f(χ)的通解为y ＝[∫ 0 χ
f(t)e at
dt ＋C]e －a χ
， 由y(0)＝0得
C ＝0，所以y ＝e －a χ
∫ 0 χ f(t)e at
dt ． (2)当χ≥0时，
因为e
－a χ
≤1，所以｜y (e a χ
－1)．) 解析：
26.设有微分方程y′－2y ＝φ(χ)，其中φ(χ)(－∞，＋∞)求连续函数y(χ)，使其在(－
∞，1)及(1，＋∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)＝0．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：当χ＜1时，y′－2y ＝2的通解为y ＝C 1 e 2χ
－1，由y(0)＝0得C 1 ＝1，y ＝e
2χ
－1； 当χ＞1时，y′－2y ＝0的通解为y ＝C 2 e 2χ ，根据给定的条件， y(1＋0)＝C 2 e 2
＝y(1－
0)＝e 2
－1，解得C 2 ＝1－e -2
，y ＝(1－e -2
)e 2χ
， 补充定义y(1)＝e 2
－1，则得在(－∞，＋∞)内连续且满足微分方程的函数)
解析：
27.利用变换z＝arctant将方程cos 4χ＋cos 2χ(2－sin2χy＝tanχ化为y关于t 的方程，并求原方程的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：代入整理得＋y＝t．＝0的特征方程为λ2＋2λ＋1＝0，
特征值为λ1＝λ2＝－1，则＝t的通解为y＝(C 1＋C 2 t)e -t＋t－2，故原方程通解为y ＝(C 1＋C 2 tanχ)e -tanχ＋tanχ－2．)
解析：
28.设f(χ)为偶函数，且满足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫ 0χ f(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：∫ 0χf(t－χ)dt＝－∫ 0χ(t－χ)d(χ－t)＝－∫ χ0f(－u)du＝∫ 0χf(u)du，则有f′(χ)＋2f(χ)－3∫ 0χ f(u)du＝－3χ＋2，因为f(χ)为偶函数，所以f′(χ)是奇函数，于是f′(0)＝0，代入上式得f(0)＝1．将f′(χ)＋2f(χ)－3∫ 0χf(u)du＝－3χ＋2两边对χ求导数得f〞(χ)＋2f′(χ)－3f(χ)＝－3，其通解为f(χ)＝C 1 e χ＋C 2 e －3χ＋1，将初始条件代入得f(χ)＝1．)
解析：
29.设二阶常系数线性微分方程y〞＋ay′＋by＝ce χ有特解y＝e 2χ＋(1＋χ)e χ，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：将y＝e 2χ＋(1＋χ)e χ代入原方程得 (4＋2a＋b)e 2χ＋(3＋2a＋b)e χ＋(1
＋a＋b)χe χ＝ce χ，则有解得a＝－3，b＝2，c＝－1，原方程为y〞－3y′＋2y＝－e χ．原方程的特征方程为λ2－3λ＋2＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝2，则y〞－3y′＋2y＝0的通解为y＝C
1 e χ＋C
2 e
2χ，于是原方程的通解为y＝C
1 e
χ＋C
2 e
2χ＋e 2χ＋(1＋χ)e χ．)
解析：
30.设u＝且二阶连续可导，又＝20，求f(χ)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：(正确答案：由＝2得f(1)＝0，f′(1)＝2，令＝r，则得f〞(r)＋
f′(r)＝0或rf〞(r)＋f′(r)＝0，解得rf′(r)＝C 1，由f′(1)＝2得C 1＝2，于是f′(r)＝，f(r)＝lnr 2＋C 2，由f(1)＝0得C 2＝0，所以f(χ)＝lnχ2．)
解析：
31.设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－＝0．(1)求f′(χ)；
(2)证明：当χ≥0时，e －χ≤f(χ)≤1．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(1)(χ＋1)f′(χ)＋(χ＋1)f(χ)－∫ 0χ f(t)dt＝0，两边求导数，得 (χ＋
1)f〞(χ)＝－(χ＋2)f′(χ再由f(0)＝1，f′(o)＋f(0)＝0，得f′(0)＝－1，所以C＝－1，
于是f′(χ)＝－．(2)当χ≥0时，因为f′(χ)＜0且f(0)＝1，所以f(χ)≤f(0)＝1．令g(χ)
＝f(χ)－e －χ，g(0)＝0，g′(χ)＝f′(χ)＋e －χ＝ e －χ≥0，由f(χ)≥e －χ(χ≥0)．) 解析：。