象山县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

象山县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
2． “互联网+”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 3． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b
的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
4． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．
π21 C ．π121- D ．π
2141- 【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
5． 设方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数为m ，则m 不可能等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6． 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知全集为R ，集合{}
|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）
A ．{}2,0,2-
B ．{}2,2,4-
C ．{}2,0,3-
D ．{}0,2,4 8． 设函数f （x ）=
，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）
D
A
B
C
O
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
9． 函数
y=的图象大致为（ ）
A
． B
． C
． D
．
10．已知一元二次不等式f （x ）＜0的解集为{x|x ＜﹣1或x
＞}，则f （10x ）＞0的解集为（ ） A ．{x|x ＜﹣1或x ＞﹣lg2} B ．{x|﹣1＜x ＜﹣lg2} C ．{x|x ＞﹣lg2} D ．{x|x ＜﹣lg2}
11．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A 的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．在△ABC 中，已知D 是AB
边上一点，若
=2
，
=
，则λ=（ ）
A
． B
． C
．﹣ D
．﹣
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->在其定义域上恰有两
个零点，则正实数a 的值为______．
14．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .
【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.
15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）=．16．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=．
17．S n=++…+=．
18．=．
三、解答题
19．圆锥底面半径为1cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
20．已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，且2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，求T n．
21．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
22．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
23．在ABC ∆中已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.
24．已知y=f （x ）是R 上的偶函数，x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x
（1）当x ＜0时，求f （x ）的解析式．
（2）作出函数f （x ）的图象，并指出其单调区间．
象山县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：∵a n =（﹣1）n
（3n ﹣2），
∴S 11=（）+（a 2+a 4+a 6+a 8+a 10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S 20=（a 1+a 3+...+a 19）+（a 2+a 4+...+a 20） =﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30， ∴S 11+S 20=﹣16+30=14．
故选：B ．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++，故选B ． 考点：分层抽样． 3． 【答案】B 【解析】解：∵
是5a 与5b
的等比中项， ∴5a •5b
=（
）2
=5，
即5a+b =5， 则a+b=1，
则
+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2
=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即
+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
4． 【答案】C
【解析】设圆O 的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC 中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 5． 【答案】A
【解析】解：方程|x 2+3x ﹣3|=a 的解的个数可化为函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象的交点的个数，
作函数y=|x 2
+3x ﹣3|与y=a 的图象如下，
，
结合图象可知， m 的可能值有2，3，4； 故选A ．
6． 【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x 的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x ﹣
）]=sin （2x ﹣
）；
考察选项不难发现： 当x=时，sin （2×
﹣
）=0；
∴（
，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
7．【答案】A
【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.
8．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，
=5，
∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
9．【答案】D
【解析】解：令y=f（x）=，
∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
∴函数y=为奇函数，
∴其图象关于原点对称，可排除A；
又当x→0+，y→+∞，故可排除B；
当x→+∞，y→0，故可排除C；
而D均满足以上分析．
故选D．
10．【答案】D
【解析】解：由题意可知f （x ）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜}，
故可得f （10x ）＞0等价于﹣1＜10x
＜，
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x
＞﹣1，
而10x
＜可化为10x ＜
，即10x
＜10﹣lg2
，
由指数函数的单调性可知：x ＜﹣lg2 故选：D
11．【答案】D
【解析】解：由{0，1}∪A={0，1}易知：
集合A ⊆{0，1} 而集合{0，1}的子集个数为22
=4
故选D
【点评】本题考查两个集合并集时的包含关系，以及求n 个元素的集合的子集个数为2n
个这个知识点，为基
础题．
12．【答案】A
【解析】解：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点
∵=2
，
=
，
∴=
，
∴λ=， 故选A ．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数()()20{
x x x f x ax lnx
+≤=-，其余条件均不变，则：
当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，
f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点； 则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有ln x
a x =
有且只有一个实根。

令()()2ln 1ln ,'x x g x g x x x
-==， 当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减; 当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
1
e
， 如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象 只有一个交点时,则1a e
=
. 回归原问题，则原问题中a e =.
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 14．【答案】
2017
2016
【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})
12)(12(2
{
+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 2017
2016
. 15．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意得f ′（1）=3，且f （1）=3×1﹣2=1
所以f （1）+f ′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．
16．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x ﹣1）2++y 2
=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即
=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18 17．【答案】
【解析】解：∵ ==（﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣
）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
18．【答案】 2 ．
【解析】解： =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】2
cm ． 【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面11CDD C ，如图所示．
设正方体棱长为，则1CC x =，11C D ，
作SO EF ⊥于O
，则SO =1OE =，
∵1ECC EOS ∆∆，∴
11CC EC SO EO =
121
x =，
∴2
x =
cm
，即内接正方体棱长为2．
考点：简单组合体的结构特征．
20．【答案】
【解析】解：（I ）∵2a 1，a 1+a 2+2a 3，a 1+2a 2成等差数列． ∴2（a 1+a 2+2a 3）=2a 1+a 1+2a 2．
∴2（1+q+2q 2）=3+2q ，化为4q 2
=1，公比q ＞0，解得
q=．
∴a n
=
．
（II ）∵数列{b n }满足a n+1=
（
）
，∴
=
，
∴
b n =n ，∴b n =n •2n ﹣1．
∴数列{b n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1
．
2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，
∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n
=
﹣n •2n
，
∴T n =（n ﹣1）•2n
+1．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）≥1，即|x ﹣3|﹣|2x ﹣2|≥1
x
时，3﹣x+2x ﹣2≥1，∴x ≥0，∴0≤x ≤1；
1＜x ＜3时，3﹣x ﹣2x+2≥1，∴x
≤，∴1＜x
≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，…
∴，…
∴﹣1≤a≤4．…
22．【答案】
【解析】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，
所以x2+y2=4x+4y﹣6，
所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…
所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…
当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…
∆为等边三角形．
23．【答案】ABC
【解析】
试题分析：由2
=，在结合2a b c
=，根据正弦定理得出2a bc
sin sin sin
A B C
==，
=+，可推理得到a b c 即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定．
24．【答案】
【解析】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
∵y=f（x）是R上的偶函数
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．。