高中数学人教A版必修二4.1.1圆的标准方程课件
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因为A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程（1），
待定系数法
( − ) +( − ) =
于是൞( − ) +(− − ) =
( − ) +(− − ) =
⇒
=
ቐ = −
=
所求圆的方程为：( − ) +( + ) =
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
y
A
m
r
o
D
x
B
C
n
已知圆心为C的圆经过A(1,1)和B(2，-2)，且圆心
在直线 l :x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方
程。
l :x-y+1=0
A
C
B
知识探究：点与圆的位置关系 有几种？
，必须具备三个独立的条件
基础演练
(1)说出下列圆的圆心和半径：
( x 2) 2 y 2 m 2 （m≠0）
(-2,0)
|m|
( x 3) 2 ( y 2) 2 5
(3,2)
(2)圆心是（3，－3），半径是2的圆是
( − ) +( + ) =
______________________________.
M ( 5,1), A(4,1)
N (5，
,7)
是否在这个圆上。
)
解：圆心是 A(2,3，半径长等于5的圆的标准方程
是： ( x 2) 2 ( y 3) 2 25
把 N (5,7) M ( 5,1)
A( 4,1) 的坐标代入圆的方
2
2
(
x
2
)
(
y
3
)
25 ，可知：
2
把点M ( x0 , y0 ) 的坐标代入圆的方程
若(x0-a)2+(y0-b)2>r2时, 点M在圆C外;
若(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
若(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
2
2
典型例题
例：写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，
并判断点
厚德
自强
第四章
第一节
第一课时
博学
创新
一、新课引入
1、什么是圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
用运动的观点看是平面内，线段MC绕它固定的一个端点C旋转一
周，另一个端点M所形成的图形
2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
解析几何的基本思想
(3)以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的
(
−
)
+(
−
)
=
方程为__________________________________.
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
解：设所求圆的方程是( − ) +( − ) =
2 + y2 = a2 (a≠0)
(x
a)
圆心在x轴上且过原点:
圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0)
圆与x,y轴都相切: (x a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)
三种：点在圆内、在圆上、在圆外
知识点：
四、点与圆的位置关系
点在圆内、在圆上、在圆外
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系呢？
M
•
O
|OM|<r
点在圆内
•M
M•
O
O
|OM|=r
|OM|>r
点在圆上
点在圆外
知识点五：判断点与圆的位置关系的方法：
设点M ( x0 , y0 ) ，圆 ( x a ) ( y b) : r
程
点N在圆上，点M在圆外，点A在圆内
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
圆心在x轴上:
圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
O
C
列方程,由两点间的距离公式得：
2
( x a)
2
( y
y
M(x,y)
化简方程
将上式两边平方得：
C
O
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：x 2 + y 2 = r 2
若圆心在X轴上，则方程为：( − ) + =
若圆心在Y轴上，则方程为： + ( − ) =
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
x
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1
．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
结论：
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确
定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0
，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程
圆在坐标系下有什么样的方程？
二、探究新知，合作交流
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半
径R,在直角坐标系下如何确定
圆的方程？
P={M||MC|=R}
y
R
M
C(a,b)
O
x
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
写点集,则
|MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合
P = { M | |MC| = R }
圆与y轴相切:
四、小结
1、圆的标准方程
(x a ) (y b ) r
2
2
2
圆心C(a,b),半径r
特别提示：若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：x 2 y 2 r 2
2. 数型结合的数学思想
3、求圆的标准方程的方法：
✓ 代数方法：待定系数法求
✓ 几何方法：数形结合
所以它们的坐标都满足方程（1），
待定系数法
( − ) +( − ) =
于是൞( − ) +(− − ) =
( − ) +(− − ) =
⇒
=
ቐ = −
=
所求圆的方程为：( − ) +( + ) =
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
y
A
m
r
o
D
x
B
C
n
已知圆心为C的圆经过A(1,1)和B(2，-2)，且圆心
在直线 l :x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方
程。
l :x-y+1=0
A
C
B
知识探究：点与圆的位置关系 有几种？
，必须具备三个独立的条件
基础演练
(1)说出下列圆的圆心和半径：
( x 2) 2 y 2 m 2 （m≠0）
(-2,0)
|m|
( x 3) 2 ( y 2) 2 5
(3,2)
(2)圆心是（3，－3），半径是2的圆是
( − ) +( + ) =
______________________________.
M ( 5,1), A(4,1)
N (5，
,7)
是否在这个圆上。
)
解：圆心是 A(2,3，半径长等于5的圆的标准方程
是： ( x 2) 2 ( y 3) 2 25
把 N (5,7) M ( 5,1)
A( 4,1) 的坐标代入圆的方
2
2
(
x
2
)
(
y
3
)
25 ，可知：
2
把点M ( x0 , y0 ) 的坐标代入圆的方程
若(x0-a)2+(y0-b)2>r2时, 点M在圆C外;
若(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
若(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
2
2
典型例题
例：写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，
并判断点
厚德
自强
第四章
第一节
第一课时
博学
创新
一、新课引入
1、什么是圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.
用运动的观点看是平面内，线段MC绕它固定的一个端点C旋转一
周，另一个端点M所形成的图形
2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
解析几何的基本思想
(3)以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的
(
−
)
+(
−
)
=
方程为__________________________________.
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
解：设所求圆的方程是( − ) +( − ) =
2 + y2 = a2 (a≠0)
(x
a)
圆心在x轴上且过原点:
圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0)
圆与x,y轴都相切: (x a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)
三种：点在圆内、在圆上、在圆外
知识点：
四、点与圆的位置关系
点在圆内、在圆上、在圆外
在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系呢？
M
•
O
|OM|<r
点在圆内
•M
M•
O
O
|OM|=r
|OM|>r
点在圆上
点在圆外
知识点五：判断点与圆的位置关系的方法：
设点M ( x0 , y0 ) ，圆 ( x a ) ( y b) : r
程
点N在圆上，点M在圆外，点A在圆内
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
圆心在x轴上:
圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
O
C
列方程,由两点间的距离公式得：
2
( x a)
2
( y
y
M(x,y)
化简方程
将上式两边平方得：
C
O
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：x 2 + y 2 = r 2
若圆心在X轴上，则方程为：( − ) + =
若圆心在Y轴上，则方程为： + ( − ) =
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
x
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1
．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
结论：
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确
定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0
，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程
圆在坐标系下有什么样的方程？
二、探究新知，合作交流
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半
径R,在直角坐标系下如何确定
圆的方程？
P={M||MC|=R}
y
R
M
C(a,b)
O
x
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
写点集,则
|MC|= R
y
M(x,y)
圆上所有点的集合
P = { M | |MC| = R }
圆与y轴相切:
四、小结
1、圆的标准方程
(x a ) (y b ) r
2
2
2
圆心C(a,b),半径r
特别提示：若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：x 2 y 2 r 2
2. 数型结合的数学思想
3、求圆的标准方程的方法：
✓ 代数方法：待定系数法求
✓ 几何方法：数形结合