配套K12高考数学二轮复习第2部分专题三概率与统计必考点文1

专题三 概率与统计
必考点一 概 率 类型一 学会踩点
[例1] (本题满分12分)某中学调查了某班45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．
解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，(2分)
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝1
3.(4分)
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1} ，{A 2，B 2} ，{A 2，B 3} ，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，
B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3} 共15个．(9分)
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}共2个．(11分) 因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝2
15.(12分)
评分细则：得分点及踩点说明
(1)用对立事件“1－3045＝13”或“8＋5＋245＝13”，同样得分；但无计算过程，直接得“p ＝1
3”
扣2分；
(2)第(2)问中，列举及总个数出错，以下过程皆不得分；
(3)第(2)问没列举基本事件，用“5×3＝15”表示基本事件总数仍可得该步分； (4)第(2)问中，没有解题过程，只得“P ＝2
15
”，只给1分．
1．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． ①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率． 解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，
A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．
②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种． 因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35
.
类型二 学会审题
[例2] (2016·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
(1)记A (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值． 审题路线图
[规范解答] (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30
200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .
2．某市政府为加快新能源汽车产业的发展，推进节能减排，计划对购买新能源汽车的消费者给予适当补贴，于是委托某调查公司对该市汽车市场的纯电动乘用车的续驶能力利用分层抽样的方法进行调查．从全市M 辆纯电动乘用车中选取了n 辆，已知全市有1 300辆纯电动乘用车的续驶能力大于250 km ，抽样调查结果的统计表如下：
(1)求x ，y ，m ，n 及(2)若从样本中续驶能力不大于250 km 的纯电动乘用车中任选2辆，求选取的2辆纯电动乘用车的续驶能力都不低于100 km 的概率． 解：(1)由统计表格得样本容量n ＝4
0.2
＝20.
m ＝20－(3＋4)＝13，故x ＝320
＝0.15，y ＝m 20＝13
20
＝0.65.
由分层抽样的特点可知M n ＝
1 300m ，即M 20＝1 300
13
，解得M ＝2 000.
(2)由表格可知，样本中续驶能力不大于250 km 的纯电动乘用车共有7辆，
其中续驶能力k ＜100的有3辆，分别记为A ，B ，C ，续驶能力k ∈[100,250]的有4辆，分别记为a ，b ，c ，d .
从中任选2辆，不同的结果有
{A ，B }，{A ，C }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{B ，C }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，{C ，a }，{C ，b }，{C ，c }，{C ，d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共21个基本事件．
记“选取的2辆纯电动乘用车的续驶能力都不低于100 km”为事件N ，则N 包含的不同结果
为
{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共6个基本事件． 所以所求事件的概率P (N )＝
621＝27
. 类型三 学会规范
[例3] (本题满分12分)一个袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1、2、3、4，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为a ，b ，c . (1)在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；
(2)求丙抽取的编号能使方程a ＋b ＋2c ＝6成立的概率． [考生不规范示例]
解：(1)甲、乙两人同时抽到相同号只有4种，其概率为14
.
(2)若c ＝1，则a ＋b ＝4，有3种情况，若c ＝2，则a ＋b ＝1，有1种情况，总数为64，∴概率P ＝464＝1
16
.
[规范解答] (1)将甲、乙依次取到小球的编号记为(a ，b )，则基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共16个．(3分)
记“甲、乙两人成为‘好朋友’”为事件M ，则M 包含的情况有(1,1)、(2,2)、(3,3)、(4,4)，共4个，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率P (M )＝
416＝1
4
.(6分) (2)将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为(a ，b ，c )，则基本事件有64个．(8分) 记“丙抽取的编号能使方程a ＋b ＋2c ＝6成立”为事件N ，当丙抽取的编号c ＝1时，a ＋b ＝4，∴(a ，b )分别为(1,3)、(2,2)、(3,1)，
当丙抽取的编号c ＝2时，a ＋b ＝2，∴(a ，b )为(1,1)， 当丙抽取的编号c ＝3或c ＝4时，方程a ＋b ＋2c ＝6不成立． 综上，事件N 包含的基本事件有4个，(11分) ∴P (N )＝464＝1
16.(12分)
[终极提升]——登高博见
限时规范训练四概率
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如下表所示.
(1)现从融合指数在[4,5)和2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；
(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．
所以所求的概率P＝9 10 .
(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于
4．5×2
20
＋5.5×
8
20
＋6.5×
7
20
＋7.5×
3
20
＝6.05.
2．小昆和小明相约玩一种“造数”游戏，游戏规划如下：同时抛掷一枚均匀的硬币和一枚均匀的骰子，硬币的正、反面分别表示“新数”的符号(约定硬币正面向上记为“＋”号，
反面向上记为“－”号)，与骰子投出面朝上的数字组合成一个“新数”；如抛掷结果为硬币反面向上，骰子面朝上的数字是“4”，记为“－4”．
(1)利用树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出游戏可能出现的所有结果；
(2)写出组合成的所有“新数”；
(3)若约定投掷一次的结果所组合的“新数”是3的倍数，则小昆获胜；若是4或5的倍数，则小明获胜．你觉得他们的约定公平吗？为什么？
解：(1)根据题意画树状图如下：
(2)组成的新数为1,2,3,4,5,6，－1，－2，－3，－4，－5，－6.
(3)所有的组合成的新数中是3的倍数的有3,6，－3，－6这四个，因此P(3的倍数)＝4
12
＝
1 3，是4或5的倍数的有4,5，－4，－5这四个，因此P(4或5的倍数)＝
4
12
＝
1
3
所以他们的
约定公平．
3．(2016·贵州贵阳市测试)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05.
(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？
(2)已知y≥657，z≥55，若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”，求本次调查“失效”的概率．
解：(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以120＋x
3 600＝0.05，解得x ＝60.
所以持“无所谓”态度的人数共有3 600－2 100－120－600－60＝720， 所以应在持“无所谓”态度的人中抽取720×360
3 600
＝72人．
(2)因为y ＋z ＝720，y ≥657，z ≥55，所以满足条件的(y ，z )有：(657,63)，(658,62)，(659,61)，(660,60)，(661,59)，(662,58)，(663,57)，(664,56)，(665,55)，共9种． 记本次调查“失效”为事件A ，
若调查“失效”，则2 100＋120＋y ＜3 600×0.8，解得y ＜660. 所以事件A 包含：(657,63)，(658,62)，(659,61)，共3种． 所以P (A )＝39＝1
3
.
4．为了吸引更多的优季学子，全国重点大学每年都会开展“夏令营活动”，据悉甲、乙两所高校共收1 000名学生，分三个批次开展“夏令营活动”，每名学生只能参加其中一校“夏令营活动”的某一个批次，时间先后安排在暑假、国庆节、寒假期间，参加两校“夏令营活动”的学生人数如表所示：
令营活动”的频率是0.21.
(1)现按批次用分层抽样的方法在所有学生中抽取50人，求应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数；
(2)已知135≤y ≤150，求第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多的概率． 解：(1)由题意知x
1 000
＝0.21，解得x ＝210，
第三批次参加“夏令营活动”的人数为y ＋z ＝1 000－(150＋200＋160＋210)＝280. 现用分层抽样的方法在所有学生中抽取50名，应在第三批次参加“夏令营活动”的学生中抽取的人数为50
1 000
×280＝14.
(2)第三批次参加“夏令营活动”的学生中参加甲大学“夏令营活动”的人数和参加乙大学“夏令营活动”的人数记为(y ，z )， 由(1)知y ＋z ＝280，且y ，z ∈N *
，
则总的基本事件有(135,145)，(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，
(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共16个．
设“第三批次参加‘夏令营活动’的学生中参加甲大学‘夏令营活动’的人数比参加乙大学“夏令营活动”的人数多为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133)，(148,132)，(149,131)，(150,130)，共10个， 所以P (A )＝1016＝5
8
.
必考点二 概率与统计综合
类型一 学会踩点
[例1] (本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．
A 地区用户满意度评分的频数分布直方图
图①
B 地区用户满意度评分的频数分布表
度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
解：(1)如图所示．
(6分)
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(8分)
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.(11分)
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．(12分)
评分细则：得分点及踩点说明
(1)第一问中的频率分布直方图的每个长方形都要达到相应的高度；否则，错一个扣1分
(2)第一问中的“评价”是从两个方面：平均数和分散情况，缺一方面扣1分
(3)第二问中缺少结论或者概率计算错，每一种情况都扣1分
1．(2016·高考四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，
解得a＝0.30.
(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，
所以2≤x＜2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．
类型二学会审题
[例2] (2016·高考全国丙卷)(本题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：∑7
i ＝1y i ＝9.32，∑7
i ＝1
t i y i ＝40.17, ∑7
i ＝1
y i －y
2
＝0.55，7≈2.646.
参考公式：相关系数r ＝
∑n i ＝1 t i －t
y i －y
∑n i ＝1
t i －t
2
∑n
i ＝1
y i －y
2
，
回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝
∑n i ＝1
t i －t
y i －y
∑n
i ＝1
t i －t
2
，a ^＝y －b ^
t .
审题路线图
[规范解答] (1)由折线图中的数据和参考数据得
t ＝4，∑7
i ＝1
(t i －t )2
＝28, ∑7
i ＝1
y i －y
2
＝0.55，
∑7
i ＝1
(t i －t )(y i －y )＝∑7
i ＝1t i y i －t ∑7
i ＝1
y i ＝40.17－4×9.32＝2.89， ∴r ≈ 2.890.55×2×2.646
≈0.99.
因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.32
7
≈1.331及(1)得
b ^
＝
∑7
i ＝1
t i －t
y i －y
∑7
i ＝1 t i －t
2
＝2.89
28
≈0.103. a ^
＝y －b ^
t ≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y 关于t 的回归方程为y ^
＝0.92＋0.10t .
将2016年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z ^与x ，y 的关系为z ^
＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．
由于
c ^
＝y －d ^
w ＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为y ^
＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝100.6＋68x . (3)①由(2)知， 当x ＝49时，
年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^
＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^
取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
类型三 学会规范
[例3] (本题满分12分)“冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
(1)若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
(2)为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：
附：K 2
＝
n ad －bc 2
a ＋b
c ＋
d a ＋c b ＋d
[解：(1)每个人接受挑战的概率都为12，所有概率为1
2.
(2)K 2
＝
n ad －bc 2
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
＝
25
14
，有把握． [规范解答] (1)这3个人接受挑战分别记为A ，B ，C ，则A －，B －，C －
分别表示这3个人不接受挑战．(1分)
这3个人参与该项活动的可能结果为：{A ，B ，C }，{A －，B ，C }，{A ，B －，C }，{A ，B ，C －
}，{A －，B －，C }，{A －，B ，C －}，{A ，B －，C －}，{A －，B －，C －
}，共有8种．(3分)
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：{A ，B ，C }，{A －，B ，C }，{A ，B －
，C }，{A ，B ，C －
}，共有4种．(5分) 故所求的概率为P ＝48＝1
2
.(6分)
(2)根据2×2列联表，得到K 2
的观测值为：
K 2
＝
n ad －bc 2a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
＝
－
2
60×40×70×30
＝
25
14
≈1.79.(10分) 因为1.79＜2.706，(11分)
所以没有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”．(12分)
[终极提升]——登高博见
限时规范训练五 概率与统计综合
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．(2016·安徽合肥市质检)某校拟在高一年级开设英语口语选修课，该年级男生600人，女生480人．按性别分层抽样，抽取90名同学做意向调查． (1)求抽取的90名同学中的男生人数；
(2)将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”？
附：
K 2
＝
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d
解：(1)取50名，女生应抽取40名． (2)2×2列联表如下：
由K 2
＝
a ＋b
c ＋
d a ＋c
b ＋d
，代入数据得
K 2
＝
－
2
＋
＋
＋＋
＝
450
77
≈5.844＞5.024. 所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“该校高一学生是否愿意选修英语口语课程与性别有关”．
2．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取50个进行调研，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100)得到的频率分布直方图如图所示，若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．
(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率； (2)在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一人在第三组，另一人在第四组的概率．
解：(1)设“学生甲或学生乙被选中复查”为事件A ， 第三组人数为50×0.06×5＝15， 第四组人数为50×0.04×5＝10， 第五组人数为50×0.02×5＝5，
根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，所以P (A )＝25
.
(2)记第三组选中的三人分别是A1，A2，A3，第四组选中的二人分别为B1，B2，第五组选中的人为C，从这六人中选出两人，有以下基本事件：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C，共15个基本事件，
符合一人在第三组一人在第四组的基本事件有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6个，
所以所求概率P＝6
15＝
2
5
.
3．某网络广告A公司计划从甲、乙两个网站选择一个网站拓展广告业务，为此A公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量n(单位：万次)，整理后得到如下茎叶图，已知A公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行考量选择．
(1)请说明A公司应选择哪个网站；
(2)现将抽取的样本分布近似看作总体分布，A公司根据所选网站的日访问量n进行付费，其付费标准如下：
求A公司每月(按30
解：(1)由茎叶图可知
x甲＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，
s2甲＝
1
10
×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－
30)2＋(32－30)2＋(35－30)2＋(45－30)2]＝58，
x乙＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，
s2乙＝
1
10
×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－
30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8，
∵x甲＝x乙，s2甲＞s2乙，∴A公司应选择乙网站．
(2)由(1)得A公司应选择乙网站，由题意可得乙网站日访问量n＜25的概率为0.3，日访问量25≤n≤35的概率为0.4，日访问量n＞35的概率为0.3，
∴A 公司每月应付给乙网站的费用S ＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1 000×0.3)＝21 900元． 4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂2016年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：
(1)该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ，根据表中数据已经正确计算出b ^＝0.6，试求出a ^
的值，并估计该厂六月份生产的甲胶囊的数量；
(2)若某药店现有该制药厂二月份生产的甲胶囊2盒和三月份生产的甲胶囊3盒，小红同学从中随机购买了2盒，后经了解发现该制药厂二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记“小红同学所购买的2盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为1”为事件A ，求事件A 的概率． 解：(1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝1
5(4＋4＋5＋6＋6)＝5，
因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x －，y －)，所以a ^＝y ^－b ^
x ＝5－0.6×3＝3.2. 所以六月份生产的甲胶囊的数量为y ^
＝0.6×6＋3.2＝6.8
(2)记该药店中二月份生产的2盒甲胶囊分别为A 1，A 2，三月份生产的3盒甲胶囊分别为B 1，
B 2，B 3，则总的基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．
而事件A 包含的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共6个． 故P (A )＝610＝3
5
.
专题一～三 规范滚动训练(三)
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 1．设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2(n ∈N *
)． (1)求证：数列{1
T n
}是等差数列；
(2)设b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵T n ＋2a n ＝2，∴当n ＝1时，T 1＋2a 1＝2， ∴T 1＝23，即1T 1＝32.
又当n ≥2时，T n ＝2－2×
T n
T n －1
，得
T n ·T n －1＝2T n －1－2T n ，
∴1T n －1T n －1＝12
， ∴数列{1T n }是以32为首项，1
2为公差的等差数列．
(2)由(1)知，数列{1
T n
}为等差数列，
∴1T n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22， ∴a n ＝2－T n 2＝n ＋1n ＋2，
∴b n ＝(1－a n )(1－a n ＋1)＝
1
n ＋n ＋
＝
1n ＋2－1
n ＋3
， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1n ＋2－1n ＋3＝13－1n ＋3＝n 3n ＋9
. 2．已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且⎝ ⎛
⎭⎪⎫
b －
c 2sin B ＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
c －b 2sin C －a sin
A ＝0.
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．
解：(1)因为⎝ ⎛
⎭⎪⎫
b －
c 2sin B ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
c －b 2sin C －a sin A ＝0，由正弦定理得⎝ ⎛
⎭⎪⎫
b －
c 2b ＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
c －b 2c －a
2
＝0，
化简得b 2
＋c 2
－a 2
－bc ＝0，
即cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π
3
.
(2)由正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3
sin
π
3
＝2，
所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，
b ＋
c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣
⎢⎡⎦
⎥
⎤sin B ＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－B
＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
sin B ＋
32cos B ＋12sin B ＝3sin B ＋3cos B ＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π
6
，
即12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，
所以b ＋c ∈(3，23]．
3．某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；
(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；
(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．
解：(1)由题意知，样本数据的平均数
X ＝
4＋6＋12＋12＋18＋20
6
＝12.
(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为26＝13，由此估计这90个服务网点中有90×1
3＝30
个优秀服务网点．
(3)由于样本中优秀服务网点有2个，分别记为a 1，a 2，非优秀服务网点有4个，分别记为
b 1，b 2，b 3，b 4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，
(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15种．
记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M ，则事件M 包含的可能情况有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8种． 故所求概率P (M )＝8
15
.
4．某iphone 手机专卖店对某市市民进行iphone 手机认可度的调查，在已购买iphone 手机的1 000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
(1)求频数分布表中x ，y 的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iphone 手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iphone 6s 手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．
解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，
⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋x ＋35＋y ＋10＝1000.04×5×100＝x ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝20y ＝30，
频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的频率组距为0.35
＝0.06， 所以补全的频率分布直方图如下：
(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，
年龄在[25,30)内的市民的人数为5×
525
＝1，记为A 1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×2025
＝4，分别记为B 1，B 2，B 3，B 4.
从这5人中任取2人的所有基本事件为：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共10个．
记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}．
所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)＝4
10＝
2 5
.。