高二数学北师大版必修5教学教案3-2-1一元二次不等式的解法(5)Word版含解析

教学设计
2．1一元二次不等式的解法
三维目标
1．深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系，逐步提高学生的运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
2．通过含参不等式的探究，正确地对参数分区间进行讨论．由于字母较多又要讨论，所以往往成为学生的薄弱环节，要通过借助数轴的直观效果，熟练掌握．
3．通过图像解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质．
重点难点
教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，突出体现数形结合的思想. 熟练地掌握一元二次不等式的解法．
教学难点：深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系．
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)让学生阅读课本上汽车的滑行问题．通过建立甲、乙两辆车的刹车距与车速之间的函数关系，判断哪一辆车违章行驶．由此抽象出不等关系，引出一元二次不等式的概念．
思路2.(类比导入)同思路1，得出一元二次不等式后，让学生回忆解方程3x＋2＝0的方法．作函数y＝3x＋2的图像，解不等式3x＋2＞0.我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系．利用这种联系我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集．类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来，找到其求解方法呢？由此展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
①阅读课本并回答怎样从实际问题中抽象出不等式？
②什么是一元二次不等式？
③回忆一元一次方程、一元一次不等式及一次函数三者之间有什么联系？
④类比“三个一次”之间的关系，怎样探究一元二次不等式的解法？
活动：以多媒体课件的形式出示给学生．
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”．刹车距s(m)与车速x(km/h)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同．它是分析交通事故的一个重要数据．
甲、乙两辆汽车相向而行，在一个弯道上相遇，弯道限制车速在40 km/h以内，由于突发情况，两车相撞了．交警在现场测得甲车的刹车距离接近但未超过12 m，乙车的刹车距离刚刚超过了10 m，又知这两辆汽车的刹车距s(m)与车速x(km/h)之间分别有以下函数关系：
s甲＝0.01x2＋0.1x，s乙＝0.005x2＋0.05x，
谁的车速超过了40 km/h，谁就违章了．
试问：哪一辆车违章行驶？
由题意，只需分别解出不等式0.01x2＋0.1x≤12和0.005x2＋0.05x ＞10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断哪一辆车违章超速行驶．由此引出一元二次不等式的概念．
我们把形如ax2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax2＋bx ＋c ＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．如2x2－3x －2＞0,3x2－6x ＜－2，－2x2＋3＜0等都是一元二次不等式．探究它的解法是我们这节课学习讨论的重点．
为了探究一元二次不等式的解法，教师可引导学生先回忆已经学过的一元一次不等式的解法，回忆一元一次不等式与一元一次方程及一次函数三者之间的关系．这样做不仅仅是为探究一元二次不等式的解法寻找类比的平台，也是为学生对不等式的知识结构有个系统的掌握．
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系：可通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集．函数图像与x 轴交点的横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像 a ＞0 a ＜0
一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)的图像
一元一次方程ax ＋b ＝0的解集
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝－b a ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ＝－b a 一元一次不等式ax ＋b ＞0的解集 ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x ⎪
⎪ x ＞－b a
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜－b a 一元一次不等式ax ＋b ＜0的解集 ⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x ⎪
⎪ x ＜－b a
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＞－b a 系．利用这种联系(集中反映在相应一次函数的图像上)我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集． 类比以上，我们来探究一元二次不等式与一元二次方程与二次函数的关系，并从中找出解决一元二次不等式的求解方法 .
如何解一元二次不等式x2－2x －3＜0?
当x 变化时，不等式的左边可以看作是x 的函数．确定满足不等式x2－2x －3＜0的x ，实际上就是确定x 的范围．也就是确定函数y ＝x2－2x －3的图像在x 轴下方时，其x 的取值范围．
观察二次函数y ＝x2－2x －3的图像(如图1)，并回答以下问题：
图1
(1)x 的取值范围是什么时，y ＝0? (2)x 的取值范围是什么时，y ＜0? 经过观察与比较，我们可以发现：
对于(1)，就是求一元二次方程x2－2x －3＝0的解，它们是x1＝－1，x2＝3，即x1＝－1或x2＝3时，y ＝0.
二次函数y ＝x2－2x －3的图像与x 轴的交点坐标是(－1,0)与(3,0)．
对于(2)，不难看出，当－1＜x ＜3时，二次函数y ＝x2－2x －3的图像在x 轴的下方满足y ＜0，也就是说，满足一元二次不等式x2－2x －3＜0的x 的取值范围是－1＜x ＜3.
我们知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图像有关，即由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．
由于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根有三种情况，即两个不等实根，两个相等实根，无实根，反映在其判别式Δ＝b2－4ac 上分别为Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况．相应地，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴的相关位置也分为三种情况(如图2)．因此，对相应的一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集我们也分这三种情况进行讨论．
图2
(1)若Δ＞0，此时抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴有两个交点〔图(1)〕，即方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)有两个不相等的实根x1，x2(x1＜x2)，则不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是{x|x ＜x1或x ＞x2}，不等式ax2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集是{x|x1＜x ＜x2}．
(2)若Δ＝0，此时抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴只有一个交点〔图(2)〕，即方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)有两个相等的实根x1＝x2＝－b
2a ，则不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x≠－b 2a ，不等式ax2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集是∅. (3)若Δ＜0，此时抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0)与x 轴没有交点〔图(3)〕，即方程ax2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)无实根，则不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集是R ，不等式ax2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集是∅.
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y ＝ax2＋bx ＋c(a ＞0) 的图像
ax2＋bx ＋c ＝0的根
x1,2＝－b±Δ2a
x1＝x2＝－b
2a ∅
ax2＋bx ＋c ＞0的解集 {x|x ＜x1或x ＞x2} ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x≠－b 2a R
ax2＋bx ＋c ＜0的解集
{x|x1＜x ＜x2}
∅ ∅
这样根据二次函数图像及一元二次方程根的情况，就可迅速求解一元二次不等式的解集，如
本节开头的车速问题就很容易解决了． 讨论结果：①～④略．
应用示例
思路1
例1 解不等式3x2＋5x －2＞0.
活动：本例目的是让学生熟悉怎样结合二次函数、一元二次方程求解一元二次不等式，以及怎样书写解题步骤和解集．本题难度不大，但需要学生最终达到得心应手的熟练程度，因此需要学生多加练习．本例可让学生自己解决，充分暴露问题，然后教师一一纠正点拨． 解：方程3x2＋5x －2＝0的两解是x1＝－2，x2＝1
3.
函数y ＝3x2＋5x －2的图像是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－2,0)和⎝⎛⎭
⎫13，0(如图3)．
图3
观察图像可得，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x<－2或x>13.
点评：根据不等式3x2＋5x －2＞0的解集，你能得出不等式3x2＋5x －2≥0的解集吗？与同学交流各自的结论，体会一元二次不等式与二次函数及二次方程的关系. 变式训练
1．设集合M ＝{x|x2－x ＜0}，N ＝{x||x|＜2}，则( )． A ．M∩N ＝∅ B ．M∩N ＝M
C ．M ∪N ＝M
D ．M ∪N ＝R
解析：∵M ＝{x|0＜x ＜1}，N ＝{x|－2＜x ＜2}，∴M N.∴M∩N ＝M.
答案：B
2．已知集合A ＝{x|x2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x||2x －1|＞3}，则集合A∩B 等于( )． A ．{x|2≤x≤3} B ．{x|2≤x ＜3} C ．{x|2＜x≤3} D ．{x|－1＜x ＜3}
解析：由x2－5x ＋6≤0，解得2≤x≤3.由|2x －1|＞3，解得x ＜－1或x ＞2，所以A∩B ＝{x|2＜x≤3}． 答案：C
例2 求不等式9x2－6x ＋1＞0的解集．
活动：教师引导学生观察不等式左边二次三项式的特点，这是一个完全平方式，其值恒为非负，引导学生结合二次函数y ＝9x2－6x ＋1的图像得出解集．
图4
解：方程9x2－6x ＋1＝0有两个相同实数解： x1＝x2＝1
3.
函数y ＝9x2－6x ＋1的图像是开口向上的抛物线，与x 轴仅有一个交点⎝⎛⎭⎫13，0(如图4)． 观察图像可得，不等式的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x ≠13.
点评：提醒学生要规范书写，最后结果可以写成⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭
⎫13，＋∞，但不能写成x ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠13或x≠1
3. 变式训练
解不等式4x2＋4x ＋1＜0.
解：∵4x2＋4x ＋1＝(2x ＋1)2≥0，
由二次函数y ＝4x2＋4x ＋1的图像，可知原不等式的解集为∅.
例3 解不等式：x2－4x ＋5＞0. 解：方程x2－4x ＋5＝0无实数解，
函数y ＝x2－4x ＋5的图像是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图5)．
图5
观察图像可得，不等式的解集为R. 思路2
例1 解不等式4(2x2－2x ＋1)＞x(4－x)．
活动：教师点拨学生先将不等式化为ax2＋bx ＋c ＞0的形式再求解． 解：原不等式整理，得9x2－12x ＋4＞0.
∵Δ＝144－4×9×4＝0，方程9x2－12x ＋4＝0的解是x1＝x2＝2
3.
∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x ≠23.
例2 不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
－12<x<13，则a －b 等于( )．
A ．－4
B ．14
C ．－10
D ．10
解析：由ax2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
－12<x<13，知x1＝－12，x2＝1
3是方程ax2＋bx ＋2＝0
的根，且知a ＜0.
∴⎩⎨⎧
－b a ＝－12＋13，
2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－12，
b ＝－2.∴a －b ＝－10. 答案：C
点评：已知不等式的解集求相应系数，此类问题应转化为相应方程对应根的问题．运用根与系数的关系求解. 变式训练
若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax2＋bx －2＞0的解集相等，则实数a ，b 的值为( )． A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－4，b ＝－9 C ．a ＝－1，b ＝9 D ．a ＝－1，b ＝2 解析：由|8x ＋9|＜7，得－2＜x ＜－14， ∴－2，－1
4是方程ax2＋bx －2＝0的两根．
故⎩⎨⎧
－2－14＝－b
a ，－2a ＝－2×⎝⎛⎭
⎫－14.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－4，
b ＝－9.
答案：B
例3 解不等式2256
12x x -+⎛⎫
⎪
⎝⎭
≤26
12x x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
活动：本例需要根据指数函数的性质，这对学生来说有点难度，教师可根据学生的探究情况
适时点拨，将不等式等价转化为一元二次不等式．
解：原不等式等价于2x2－5x＋6≥x2＋x＋6，即x2－6x≥0.
解这个一元二次不等式得x≤0或x≥6.∴原不等式的解集为{x|x≤0或x≥6}．
知能训练
课本本节练习11,2,3.
课堂小结
1．由学生回顾本节课的探究过程，再次领悟通过二次函数图像解一元二次不等式的方法要领．点拨学生注意不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用，要重视数形结合思想．
2．教师强调，一元二次不等式的解集可用集合或区间表示，区间是特殊数集的表示方式，要能正确、熟练地使用区间表示不等式的解集．
作业
课本习题3—2A组6,7(1)(2)．
设计感想
本教案设计体现新课标理念．由于本节内容的工具性特点，课堂上要鼓励学生思考交流与动手实践，让学生养成独立思考和勇于质疑的习惯．同时也应学会与他人交流合作、培养严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神．
由于本节教材内容有着丰富的几何背景，充分利用二次函数图像解一元二次不等式是新课标的特色．对一元二次不等式的解法，没有介绍较烦琐的纯代数的方法，而是结合二次函数的图像，采取简洁明了的数形结合方法，本教案设计中充分体现了新课标的编写意图．
本教案设计突出二次函数的作用．一元二次不等式解集的得出是数形结合法运用的典型范例，必须要求学生对这种方法有深刻的认识与体会．必要时，甚至让学生像当初学习平面几何时识图一样，去认识函数的图像，从图像上真正把握其内在本质．。