内蒙古阿拉善左旗高级中学2024届数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

内蒙古阿拉善左旗高级中学2024届数学高一第二学期期末质量
跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫
π ⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512
π
后关于原点成中心对称
2．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ）
A ．直线l 不平行于直线m
B ．直线l 与直线m 异面
C ．直线l 与直线m 没有公共点
D ．直线l 与直线m 不垂直
3．在锐角ABC 中，若30,4,42A BC AC ︒===B 的大小为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
4． 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 （ ）
A ．sin 6y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．cos 43y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
D ．cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
5．在中，分别为的对边，如果
成等差数列，
，
的面积
为，那么（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知数列{a n }为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1，若2()1
x
f x x =
-，则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝( )
A ．-22019
B ．22020
C ．-22017
D ．22018
7．已知,A B 为锐角，且满足tan tan 33tan tan A B A B ++=，则cos()A B +=
（ ） A ．
32
B ．
12
C ．32
-
D ．12
-
8．在中，如果
，
，
，则此三角形有（ ） A ．无解
B ．一解
C ．两解
D ．无穷多解
9．已知函数2,01,
()1,
1.x x f x x x
⎧⎪
=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有
两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．59,44⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．59,{1}44⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．59,{1}44
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
10．已知扇形圆心角为
6π
，面积为3
π，则扇形的弧长等于（） A ．6
π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
2
π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．观察下列式子：131111115
1,12,1222342382
+≥+++>++++>你可归纳出的不等式是___________
12．已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为__________．
13．已知算式202-
=⨯
，在方框中填入两个正整数．．．
，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是___.
14．点(1,3)-到直线4320x y -+=的距离为________. 15．已知O 是ABC 内的一点，150AOB AOC ∠=∠=︒，
3
1,,22
==
=OA OB OC ，则OA OB += _______；若=+OC mOA nOB ，则m n +=_______.
16．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134a a a ，
，成等比数列，则2a =________． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),
,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率
分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表
第5组 [90,100]
2 b
合计
▆
▆
（1）求,,,a b x y 的值；
（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
18．已知函数2
2
()cos sin cos sin f x x a x x x =--，且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. （1）求常数a 及()f x 的最大值； （2）当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的单调递增区间.
19．已知函数
(1)求的最小正周期和单调递减区间;
(2)若
在
上恒成立,求实数的取值范围.
20．已知(1,3),(3,),(1,),//AB BC m CD n AD BC =-==． （1）求实数n 的值；
（2）若AC BD ⊥，求实数m 的值．
21．已知函数2 ()322cos 1f x x x =+-． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】
根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为
3π，所以1()2362
T πππ
=--=，解得T π=，
所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以
2ω=，
又06f π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 令2,3
x k k Z π
π+
=∈，解得,26k x k Z ππ
=
-∈，当3k =时，43
x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即函数()f x 的图象关于点4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称．故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 2、C 【解题分析】
由题设条件，得到直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案． 【题目详解】
由题意，因为直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上， 所以直线l 与直线m 异面或平行，即直线l 与直线m 没有公共点， 故选C ．
【题目点拨】
本题主要考查了空间中直线与直线只见那的位置关系的判定及应用，以及直线与平面平行的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 3、B 【解题分析】
直接利用正弦定理计算得到答案. 【题目详解】 根据正弦定理得到：442sin 30sin B
=
︒，故2
sin 2B =，ABC 是锐角三角形，故45B =︒. 故选：B . 【题目点拨】
本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力. 4、D 【解题分析】
设图中对应三角函数最小正周期为T ，从图象看出，T=
12
6
4
π
π
π
+
=
，
所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了个单位， 即sin 2()6
y x π
=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ
+=-++=-，选D.
5、B 【解题分析】
试题分析：由余弦定理得
，又面积
，因为成等差数列，所以
，代入上式可得，整理得
，解得
，故选B ．
考点：余弦定理；三角形的面积公式． 6、A 【解题分析】
根据等差数列的性质和函数的性质即可求出. 【题目详解】
由题知()()()212141x x f x f x x x
-⨯-=
⨯=--
∵数列{a n }为等差数列，a n ≠1（n ∈N*），a 1+a 2019＝1， ∴a 1+a 2019＝a 2+a 2018＝a 3+a 2017＝…＝a 1009+a 10112=a 1010=1, ∴a 10101
2
=
∴f （a 1）×f （a 2）×…×f （a 2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1． 故选A ． 【题目点拨】
本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，注意：若{a n }为等差数列，且m+n=p+q,则a m n p q a a a +=+ ，性质的应用. 7、D 【解题分析】
由tan tan 33tan tan A B A B ++=，得tan()3A B +=-，2
3
A B π+=
，即可得到本题答案. 【题目详解】
由tan tan 33tan tan A B A B ++=，得tan tan 3(1tan tan )A B A B +=--，
所以tan tan 31ta t n a an ()n t A B A B A B +=--+=
，2
3
A B π+=，
所以21
cos()cos 32
A B π+==-.
故选：D 【题目点拨】
本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值. 8、C 【解题分析】 计算出
的值，然后比较、
、三者的大小关系，可得出此三角形解的个数.
【题目详解】 由题意得，则
，因此，该三角形有两解，故选C.
【题目点拨】
本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形解的个数的判断条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9、D 【解题分析】
画出()f x 图象及直线1
4
y x a =-+，借助图象分析．
【题目详解】
如图，当直线1
4y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方，
或者直线14
y x a =-+与曲线1
y x =相切在第一象限时符合要求．
即1124a ≤-
+≤，即59
44a ≤≤， 或者2114x -=-，得2x =，12y =，即11
224
a =-⨯+，得1a =，
所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
．
故选D ．
【题目点拨】
根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 10、C 【解题分析】
根据扇形面积公式得到半径，再计算扇形弧长. 【题目详解】
221122263
S r r r π
απ==⨯=⇒=
扇形弧长26
3
l r π
π
α==⨯=
故答案选C 【题目点拨】
本题考查了扇形的面积和弧长公式，解出扇形半径是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1112123
22
n n ++
+++
≥
【解题分析】
观察三个已知式子的左边和右边，第1个不等式左边
12
可改写成11
2；第2个不等式左
边的
14可改写成21
2，右边的2可改写成42
；第3个不等式的左边18可改写成312；据
此可发现第n 个不等式的规律. 【题目详解】
观察三个已知式子的左边和右边，
第1个式子可改写为：113
122
+
≥， 第2个式子可改写为：21114
12322+++≥，
第3个式子可改写为：31115
12322
++++≥，
所以可归纳出第n 个不等式是：1112
12322
n n +++++
≥. 故答案为：11
12123
22
n n +++++≥. 【题目点拨】
本题考查归纳推理，考查学生分析、解决问题的能力，属于基础题． 12、{}
41,q q k k Z =+∈ 【解题分析】
根据条件先得到：n a 的表示，然后再根据{}n a 是等比数列讨论公比q 的情况. 【题目详解】
因为sin 1n a =，所以2,2n a k k Z π
π=
+∈，即(41),2
n k a k Z π
+=
∈；取{}n a 连续的
有限项构成数列{}n b ，不妨令1(41),2k b k Z π+=
∈，则2(41),2
q k b k Z π
+=∈，且2{}n b a ∈，则此时q 必为整数；
当4,q k k Z =∈时，224(4)
2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉，不符合；
当41,q k k Z =+∈时，222(41)4(42)1
{}22
n k k k b a π+++==∈，符合，
此时公比41,q k k Z =+∈ ；
当42,q k k Z =+∈时， 224(43)2
(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉，不符合；
当43,q k k Z =+∈时，22(43)(41)4(44)3
{}22
n k k k k b a π++++==∉，不符合；
故：公比41,q k k Z =+∈. 【题目点拨】
本题考查无穷等比数列的公比，难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时，经常需要进行分类，可先通过列举的方式找到思路，然后再准确分析. 13、15. 【解题分析】
设填入的数从左到右依次为,x y ，则220x y +=，利用基本不等式可求得xy 的最大值及此时,x y 的和. 【题目详解】
设在方框中填入的两个正整数从左到右依次为,x y ，则220x y +=，于是
220x y +=≥50xy ≤，当且仅当210x y ==时取等号，此时
10515x y +=+=.
故答案为：15 【题目点拨】
本题考查基本不等式成立的条件，属于基础题. 14、3 【解题分析】
根据点到直线的距离公式，代值求解即可. 【题目详解】
根据点到直线的距离公式，
点(1,3)-到直线4320x y -+=的距离为15
35
d ==
=. 故答案为：3. 【题目点拨】
本题考查点到直线的距离公式，属基础题.
15、
12
3
- 【解题分析】
对式子OA OB +两边平方，再利用向量的数量积运算即可；式子=+OC mOA nOB 两边分别与向量OA ，OB 进行数量积运算，得到关于,m n 的方程组，解方程组即可得答案.
【题目详解】
∵2
2
2
31
212()4224
OA OB OA OB OA OB +=++⋅=++⋅⋅
-=，
∴OA OB +
=
1
2
； ∵=+OC mOA
nOB ，
∴2
2
12(1(,13,2(,
2
4m n OA OC mOA nOA OB OB OC mOA OB nOB m n ⎧⋅⋅=⋅+⎪⎧
⋅=+⋅
⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⋅+⎪⎪⎩=+⋅⎪
⎩ 解得：
3
m n =-=-
，∴m n +=3-. 故答案为：
12；【题目点拨】
本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法. 16、6- 【解题分析】
利用等差数列{a n }的公差为1，a 1，a 3，a 4成等比数列，求出a 1，即可求出a 1． 【题目详解】
∵等差数列{a n }的公差为1，a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴（a 1+4）1=a 1（a 1+2）， ∴a 1=-8， ∴a 1=-2． 故答案为-2.．
本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，属基础题.．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）16,0.04,0.032,0.004a b x y ====；（2）3
5
. 【解题分析】
（1）根据频率分布表可得b.先求得[80,90)内的频数,即可由总数减去其余部分求得a .结合频率分布直方图,即可求得,x y 的值.
（2）根据频率分布表可知在[80,90)内有4人,在[90,100]有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解. 【题目详解】
（1）由频率分布表可得2
0.0450
b =
= [80,90)内的频数为500.084⨯=,
∴508204216a =----= ∴[60,70)内的频率为16
0.3250
= ∴0.32
0.03210
x =
= ∵[90,100]内的频率为0.04 ∴0.04
0.00410
y =
= （2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为1a 、2a 、3a 、4a ；第5组的2人分别为1b 、2b 从中任取2人的所有基本事件为：
()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()12,b b 共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：
()11,a b ,()12,a b ,()21,a b ,()22,a b ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ()12,b b 共9个.
所以93155
P =
=. ∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为
35
.
本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.
18、（1）2a =，max ()2f x =（2）()f x 递增区间为3,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. 【解题分析】
（1）由二倍角公式降幂，再由()14
f π
=-求出a ，然后由两角和的余弦公式化函数为
一个角的一个三角函数形式，结合余弦函数单调性可得最大值； （2）由（1）结合余弦函数性质可得增区间． 【题目详解】 （1）()cos 2sin 22
a
f x x x =-
，由14f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
得，12a -=-，即2a =.
∴()cos 2sin 22cos 24f x x x x π⎛
⎫=-=
+ ⎪⎝
⎭，当()8x k k Z ππ=-∈时，
即22()4
x k k Z π
π+
=∈时，max ()2f x =.
（2）由()2cos 2,222()44f x x k x k k Z πππππ⎛
⎫=
+-≤+≤∈ ⎪⎝
⎭，得
5()88k x k k Z ππππ-
≤≤-∈，又0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以382x ππ≤≤， 所以()f x 递增区间为3,82ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦. 【题目点拨】
本题考查二倍角公式，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的性质．三角函数问题一般都要由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数或余弦函数性质求解． 19、（1）；（2）
【解题分析】 (1)注意到,
.
于是, 的最小正周期.
由，
故的单调递减区间为
.
(2)由,知
， 于是,当时,取得最大值
,即. 要使
恒成立,只需
，即
.解得
.
故m 的取值范围是
. 20、（1）3n =-；（2）1m =±. 【解题分析】
试题分析：（1）利用向量//AD BC ，建立关于n 的方程，即可求解n 的值；（2）写出向量,AC BD 的坐标，利用AC BD ⊥得出关于m 的方程，即可求解实数m 的值. 试题解析：（1）
(1,3),(3,),(1,),AB BC m CD n =-==
(3,3),//3(3)303
AD AB BC CD m n AD BC
m n m n ∴=++=++∴++-=∴=-
（2）由（1）得
(1,-3),CD =(2,3),(4,3)AC AB BC m BD BC CD m =+=+=+=-
AC BD ⊥所以8(3)(3)0,1m m m ++-=∴=±
考点：向量的坐标运算.
21、（1） π （2）最大值为2，最小值为1- 【解题分析】
(1)先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据公式求最小正周期. (2)由6
4
x π
π
-
≤≤
，则226
6
3
x π
π
π
-
≤+
≤
，可求出函数()f x 的最值. 【题目详解】
(1) 2 ()322cos 132cos 2f x x x x x =+-=+
2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
所以()f x 的最小正周期为：22
T π
π=
=. （2）由（1）有()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
6
4
x π
π
-
≤≤
，则226
6
3
x π
π
π-
≤+
≤
则当ππ266x
，即6x π=-时，2sin 26x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭有最小值1- .
当26
2
x π
π
+
=
即6
x π
=
，时，2sin 26x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
有最大值2. 所以()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为2，最小值为1-． 【题目点拨】
本题考查三角函数化简、求最小正周期和函数在闭区间上的最值，属于中档题.。