2017年全国高中联赛一试(B卷)数学试题及答案

2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}n a
中，2a =
，3a =12011
72017
a a a a ++的值为 .
2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .
3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .
4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .
5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2
2
2
0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .
8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式|2||52|x
x
a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.
10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足2
12n n n n b a a a ++=-，1,2,
n =.
（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；
（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值. 11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR 的取值范围.
试卷答案
1.答案：
89
解：数列{}n a
的公比为32a q a ==
，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.
解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得
9101022
a a
b b +=⎧⎨
=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+
，进而||z 3.答案：74
-
解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2
f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-
，即7(1)4
f =-. 4.
答案：解：由正弦定理知，
sin 2sin a A c C
==，又2b ac =
，于是::a b c =
，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-
. 5.
答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，
7AD AB AE BE ==+=.
由余弦定理得，DE
==
同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则1
22
EH EF ==
，故DH =， 于是1
2332
DEF S EF DH ∆=
=
6.答案：
514
解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3
984C =种，
当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，
（2
）三点是边长为4416⨯=种情况，
（3
的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.
综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为
305
8414
=. 7.
答案：
12
解：二次曲线方程可写成22
21x y a a
--
=，显然必须0a ->
，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2221()x a -=-
，则2222
()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，
所以a =
. 8.答案：574 解：由条件知2017
[
]21000
c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为
20
10
(1022)11
(20210)5722
b b =+⨯-=
=∑，
当2c =时，由201720[
]100b ≤≤，知，20b =，进而2017
200[]20110
a ≤≤=， 故200,201a =，此时共有2组(,,)a
b
c .
综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574+=.
9.解：设2x
t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于
22|||5|()(5)t a t t a t -<-⇔-<-，(25)(5)0t a a ⇔---<，
对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ∈，因
此()0f t <等价于(2)(1)(5)0
(4)(3)(5)0f a a f a a =---<⎧⎨
=--<⎩
，解得35a <<
所以实数a 的取值范围是35a <<.
10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22
123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a ++++++-=---
23111()()()n n n n n n n a a a a a a a +++++=--+-212()n n n a d a a d ++=-+221(2)3n n n a a a d d ++=--=
所以数列{}n b 也是等差数列.
（2）由已知条件及（1）的结果知：2
3d d =，因为0d ≠，故1
3
d =
，这样22
12()(2)n n n n n n n
b a a a a d a d a ++=-=++- 22
329
n n da d a =+=+
若正整数,s t 满足s t a b Z +∈，则1122(1)(1)99
s t s t a b a b a s d a t d +=++
=+-++-+ 122
239s t a Z +-=+
+∈. 记122
239
s t l a +-=+
+，则l Z ∈，且1183(31)1a l s t =--++是一个非零的整数，故1|18|1a ≥，从而11||18
a ≥.
又当1118a =时，有13117
11818
a b Z +=
+=∈， 综上所述，1||a 的最小值为1
18.
11.解：设2
(,2)P t t ，则直线l 的方程为2
2y x t t =+-，代入曲线2C 的方程得，2
22
(4)(2)8x x t t -++-=， 化简可得：2
2
2
2
22(24)(2)80x t t x t t --++-+=①，
由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式∆为正，计算得，
222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164
t t t t t t t t t t ∆
=-+--+=---+---
222(2)8(2)t t t t =--+-22(2)(28)t t t t =----(2)(2)(4)t t t t =--+-，
因此有(2,0)
(2,4)t ∈-，②
设,Q R 的横坐标分别为12,x x ，由①知，21224x x t t +=-+，2
2121((2)8)2
x x t t =-+， 因此，结合l 的倾斜角为45可知，
2224121212||||2()2()22()2PQ PR x t x t x x t x x t =--=-++ 22224(2)82(24)2t t t t t t =-+--++
43243244482482t t t t t t t =-++-+-+ 4248t t =-+
22(2)4t =-+，③
由②可知，2
2(2,2)
(2,14)t -∈-，故22(2)[0,4)(4,196)t -∈，从而由③得：
22||||(2)4[4,8)(8,200)PQ PR t =-+∈
注1：利用
2C 的圆心到l 的距离小于2C 的半径，列出不等式2
<
同样可以求得②中t 的范围.
注2：更简便的计算||||PQ PR 的方式是利用圆幂定理，事实上，2C 的圆心为(4,0)M ，半径为r =
故22222242||||||(4)(2)48PQ PR PM r t t t t =-=-+-=-+.。