高中数学同步教学 棱柱、棱锥和棱台的结构特征

而 AB=2BM= 3 OB.所以底面边长为 3 l2 h2 .
又因为 OM= 1 OB,所以 OM= 1 l2 h2 ,
2
2
所以 SM= SO2 OM 2 = h2 1 l2 h2 = 1 l2 3h2 .
4
2
所以正三棱锥底面边长为 3 l2 h2 ,斜高为 1 l2 3h2 . 2
变式训练1-1:下面四个几何体中,是棱台的为( )
解析:棱台是由棱锥用平行于底面的平面截得而成,故棱台具有(1)侧棱延长 后交于一点.(2)有两个互相平行的底面.(3)侧面均为梯形.由以上分析可知 选C.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的概念及其结构特征 【例2】 一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) (A)底面是正方形,有两个侧面是矩形 (B)底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 (C)底面是菱形,且有一个顶点处的两条棱互相垂直 (D)底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形
BB′= OO2 OB OB2 = 172 8 2 2 2 2 =19(cm).
在直角梯形 O′OEE′中,EE′= OO2 OE OE2 = 172 8 22 =5 13 (cm).
即这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm.
方法技巧 解决此类与正棱台有关的基本量(如侧棱、斜高、高等)计算, 常有如下两种策略: (1)充分利用正棱台中的3个直角梯形化成平面图形处理,即: ①斜高、上下底的边心距以及上下底中心的连线组成的直角梯形. ②侧棱、两底面相应的外接圆半径和两底面中心连线组成的直角梯形. ③斜高、侧棱和上下两底面相应边的一半组成的直角梯形. (2)棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得到的,所以可以还台于锥来 解决有关棱台的问题,即“补形”的思想.问题可转化为棱锥中的直角三角 形处理.
解:将正三棱锥沿侧棱 SA 剪开. 因为 SA=SA′=1,∠ASB=∠BSC=∠CSA′=30°, 所以∠ASA′=90°,所以 AA′= 2 . 所以△AMN 周长的最小值为 2 .
方法技巧 求几何体表面上两点之间的最短距离可通过将几何体表面展开 为平面图形,利用平面上两点间距离来求解,但应注意展开的方法和技巧.
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解多面体的概念及特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征.
通过多面体的学习,使学生借助空间几何体认识事 物的位置关系,增强空间想象能力.
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1.多面体的有关概念 (1)多面体是由 若干个平面多边形 所围成的几何体,围成多面体的各个 多边形叫做多面体的 面 ,相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱,棱和 棱的公共点叫做多面体的 顶点 ,连接 不在同一个面上的两个顶点的线段叫 做多面体的对角线.
类型三 棱柱、棱锥、棱台中的有关计算 【例3】 如图,正四棱台AC′的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm, 求这个棱台的侧棱长和斜高.
解:设棱台两底面的中心分别是 O′和 O,B′C′,BC 的中点分别是 E′,E.连接 O′O,E′E, O′B′,OB,O ′E′,OE, 则四边形 OBB′O′,OEE′O′都是直角梯形. 在正方形 ABCD 中,BC=16 cm, 则 OB=8 2 cm,OE=8 cm; 在正方形 A′B′C′D′中,B′C′=4 cm,则 O′B′=2 2 cm,O′E′=2 cm.在直角梯形 O′OBB′中,
解:(1)不正确,其余各面为四边形,不能反映出夹在两平行平面间的每相邻 两个面的交线都互相平行.(2)不正确,棱台是由平行于棱锥底面的平面所截, 即如果是棱台,则各侧棱延长必交于一点,此命题不能反映出侧棱延长后交 于一点.如图满足命题条件,但不是棱台.
方法技巧 棱柱是多面体中最简单的一种,对棱柱的概念应正确理解,准确 把握,它有两个本质特征:①有两个面(底面)互相平行;②其余各面(侧面)中每 相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.因此,棱柱有两个面互相平行,其余 各面都是平行四边形.但是要注意“有两个面互相平行,其余各面都是平行 四边形的几何体”不一定是棱柱.
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1.下列命题中正确的是( C ) (A)有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 (C)一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 (D)棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等
解析:根据棱柱的概念性质可知.
2.下列说法中正确的是( B ) (A)由五个面围成的多面体只能是四棱锥 (B)棱锥的高线可能在几何体之外 (C)仅有一组对面平行的六面体是棱台 (D)有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
变式训练4-1:如图,直三棱柱ABB1-DCC1中,∠ABB1=90°,AB=4,BC=2,CC1=1,
DC上有一动点P,则△APC1周长的最小值是
.
解析:把△DCC1 展到四边形 ABCD 所在的平面上,如图所示,
PA+PC1≥AC1= 42 2 12 =5,
又 AC1= 42 22 12 = 21 , 所以△APC1 的周长的最小值为 5+ 21 . 答案:5+ 21
类型四 多面体的截面图与展开图 【例4】 如图所示,正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,∠ASB=30°,M,N为棱SB和SC 上的点,求△AMN的周长的最小值.
思路点拨:将侧面展开化归为平面几何问题.将正三棱锥沿侧棱SA剪开,然 后将其侧面展开在一个平面上,如图所示.连接AA′,设AA′交SB于M,交SC 于N.显然△AMN的周长l=AM+MN+NA′≥AA′,也就是说当AM、MN、 NA(NA′)在一条直线上时,对应的截面三角形周长最短,则AA′的长就是截 面△AMN周长的最小值.
(2)棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥等.如果棱锥的底面是 正多边形 ,且它的顶点在过底面中心且与底面 垂直 的直线上,则这
个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是 全等的等腰三角形 ; 等腰三 . 角形底边上的高 叫做棱锥的斜高.
4.棱台 (1)棱锥被 平行于底面 的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥. 的底面与截面 分别叫做棱台的下底面、上底面;其他各面叫做棱台的侧面; 相邻两侧面的公共边 叫做棱台的侧棱;两底面间的距离叫做棱台的高.
方法技巧 判断正棱柱,要严格按照定义及它们的基本特征去分析,正棱 柱的基本特征是:(1)底面是正多边形;(2)侧棱与底面垂直.
变式训练2-1:下列结论中①正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相
等;②有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;③两个底面平行且相似,其余各面都是
梯形的多面体是棱台;④底面是正三角形,其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一
2.棱锥的结构特征 棱锥是多面体中较重要的一种,它有两个本质特征:(1)有一个面是多边形;(2)其余的 各面是有一个公共顶点的三角形.二者缺一不可.因此要注意“有一个面是多边形,其 余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥,如图,此多面体有一面是四边形,其余各面 都是三角形,但它不是棱锥.一个棱锥至少有四个面,所以三棱锥也叫四面体. 正棱锥是一种特殊棱锥,判断一棱锥是正棱锥必须满足下面两个条件:一是底面是正 多边形,二是底面水平放置时,它的顶点与底面正多边形的中心都在铅垂线上.这也是 掌握正棱锥定义的两个要点.
诠释:正棱锥具有如下性质:各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等 腰三角形底边上的高相等.棱锥的高、斜高和斜足与底面中心的连线组成一个 直角三角形;棱锥的高,侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形. 3.棱台 棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的,因此判断一个几何体是否为棱台,关 键是看侧棱延长后能否交于一点.另外,棱台的上下底面是相似的多边形,因 此就产生了一系列的比例问题,是考查的重点内容.
(2)由 正棱锥 截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形, 这些等腰梯形的高叫做棱台的 斜高 .
【拓展延伸】 1.棱柱的结构特征 棱柱有两个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其余各面每相邻两面的公共 边都互相平行.这两个特征保证了棱柱的底面全等,侧棱互相平行,二者缺一 不可.若说有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱,则 是错误的说法.如图,此几何体就不是棱柱.
六面体,底面是矩形的直平行六面体是长方体, 棱长都相等 的长方体是正方体.
3.棱锥
(1)棱锥的主要结构特征:有一个面是 多边形
;其余各面都是有
一个公共顶点 的三角形;棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧
面; 各侧面的公共顶点 叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱; 多边形 叫做棱锥的底面; 顶点到底面的距离 叫做棱锥的高.
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(2)把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个个面.多面体按照
围成它的面的个数
分别叫做四面体、五面体、六面体…….
(3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),叫做这个几何 体的 截面 .
2.棱柱
棱柱的主要结构特征:有两个面 互相平行 ;其余每相邻两个面的交线都 互相平行.
定是正三棱锥.正确结论的序号是
.
解析:①正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心,也是三角形的外心,是各边中 垂线的交点,满足到各顶点的距离相等,故①正确. ②如图1在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,面AA1D1D,面BB1C1C 为矩形,但不满足侧棱与底面垂直,故②错误. ③根据棱台的定义可知,棱台各侧棱的延长线交于一 点,而③不能保证各侧棱的延长线交于一点,故③错误. ④如图2的三棱锥P-ABC中,△ABC为正三角形,PA=PB=AB=BC=AC≠PC,此三 棱锥满足④中的条件,但显然不是正三棱锥,故④错误. 答案:①
解析:对A,五面体也可能是三棱柱;对C,仅有一组对面平行的六面体也可能 是四棱柱,对D,棱锥的定义中其余各面都有一个公共顶点;故B正确,选B.
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类型一 多面体的概念 【例1】 (1)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为四边形,则此几何 体为棱柱”是否正确? (2)命题“一个几何体有两个面平行,其余各面为梯形,则此几何体为棱台” 是否正确?
变式训练3-1:已知一个正三棱锥的高为h,侧棱长为l,求这个正三棱锥的 底面边长和斜高.
解:如图,在正三棱锥 S-ABC 中,SO 为高,作 OM⊥AB 于点 M,则 M 为 AB 中点,连 SM,则 SM 为斜 高.连 OB, 则 SO⊥OM,SO⊥OB.OB= SB2 SO2 = l2 h2 ,
解析:对于A,满足了底面是正方形,但两个侧面是矩形并不能保证另两个侧 面也是矩形.对于B,垂直于底面的侧面中不是所有直线都垂直于底面,因此, 不能保证侧棱垂直于底面.对于C,底面是菱形但不一定是正方形,同时侧棱 也不一定和底面垂直.对于D,侧面全等且为矩形,保证了侧棱与底面垂直,底 面是正方形,保证了底面是正多边形,因而符合正棱柱的定义和基本特征.故 选D.
棱柱的 两个互相平行的面 叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两侧面的
公共边 叫做棱柱的侧棱, 两底面之间的距离 叫做棱柱的高.棱柱按底面多边形
边数分为 三棱柱、四棱柱
等,侧棱与底面 不垂直 的棱柱叫做斜棱柱,
侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱,底面是 正多边形 的直棱柱叫做正棱柱;底面
是 平行四边形 的棱柱叫做平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行