渗流力学课件第三章(势)

对注水井，q为负值，则点源的势为：
q ln r C
2
（5）
2、空间一点的势
设空间有一点汇，则距点汇r半径球面上的 渗流速度为：
v Q
又
4r 2
v d dr
则
Q d
4r 2 dr
空间一点汇势为： Q C
4r
空间点源势为：
Q C
4r
（二）势理论在渗流力学中的应用
1、用势理论求平面径向流产量公式
[1]=[2]得：
Q 2h(e w )
ln Re h
[3]
R Rw
流动很快从球面流转为平面流，常取R=1.5h。
（三）势的叠加原理
势的叠加原理：在无限平面地层中同时存在任意个点 源（汇），当渗流服从线性渗流定律时，由点源（汇） 引起的合成流动的势将等于各个点源（汇）单独存在 时在该点产生势的代数合。
1、平面上一点的势
设平面上有一点汇，在距离点汇r圆周处 的流量为：
Q k 2rh dp 2rh d
dr
dr
令
qQ
则
h
q d
2r dr
分离变量得平面上一点的势为：
q ln r C
2
（4）
• q：单位厚度的产量（产液强度） • r：地层中任意点到井的距离； • Ф：距井半径r处地层中的势； •C：常数，与边界条件有关。
（4）
❖ 给C1不同的值得不同的流线。
❖ 当C1等于无穷大时，（4）式可转化为x轴和y轴方程， 则y轴x轴均为流线。
❖ y轴具有分流性质，也叫分流线。把两侧的液流分开， 使液体不能穿过分流线而流动。
2、渗流速度分析
在地层中任一点N处，A、
B
B两井单独工作时的速度分
别为：
vA
qA
2r1
vB
qB
2r2
（5）式知，v与r1r2的乘积成反比，在x轴上r1r2最小， 液体质点沿x轴运动速度最快，称x轴为主流线。
在注水开发时，水质点沿x首先到达生产井 井底，沿其它流线运动的水质点以后相继突入井 中，形成舌进现象。
水驱前沿进入生产井底后，由于这一通道渗 流阻力小，后继注入水会大量沿这一通道流入井 底，使水驱效率变差。
第六节 势的叠加原理的典型应用
一、等产量的一源一汇
设在无限大地层中有等产量的一源一汇，相距2a
1、势及流场
由势的叠加原理，地层中任 意点的势为：
-q
r2
M v2 D r1 v1
v
C
q
B
A
a
1
2
(q ln r1
q ln r2 ) C
q
2
ln
r1 r2
C
a （1）
由（1）式知，r1/r2为常数时，势相等，则等势线方程为：
流线与等压线
油水界面位置与舌进现像
2、液体质点运动规律
如只有A井工作，则M点渗流速度为v1，如只有B
井工作，M点渗流速度为v2，两井同时工作时，渗流
速度为v，因三角形ABM与三角形MCD相似，则：
v v2
2a r1
v 2a v2 2a q 1 aq （5）
r1
2r2 r1 r1r2
稳定渗流时，液体质点运动轨迹与流线一致，由
ln r2
q3
2
ln
r3
......
qn
2
ln rn
C
1
2
n
qi ln ri C
i 1
上式为势的叠加原理的数学表达式，式中：
➢ Ф：任意点合成流动时的势； ➢ qi：第I口井产液强度； ➢ ri：I井到任意点距离。
利用势的叠加原理可求： ✓ 已知各井井壁势（井底压力）求各井产量； ✓ 已知各井产量，求井壁处的势。
因
r22 (x a)2 y 2
代入（2）式配方得：
(x2
y 2 )2
2( y 2
x2 )a2
a4
C
2 0
0（3）
（3）式为四次曲线族方程，给C0不同的值，得到不同 的等势线。
Y轴为分流线
等产量两汇时的渗流场
同样由流线与等势线的正交关系，可得一双曲线型 流线族方程：
x2 y 2 2C1xy a 2 0
（3）
（3）是圆心在x轴的圆族方程，圆心为（
）， 1
C
2 0
a,0
1 C02
半径为2aC0/（1-C02），即等势线为一系列圆。
由等势线与流线的正交关系，可求出流线的方程为：
x2
(y
a )2 C1
a2 (1 C12 ) C12
（4）
（4）式表示流线是圆心在y轴上的一 系列圆，个给C0 不同的值可得不同的流线，且x轴也是一条流线。
这是注水开发采收率低的重要原因。
3、以知生产井和注入井势时的产量公式
由（1）式，把任意点取在注水井和生产井井壁：
i
q
2
ln
2a Rw
C
p
q
2
ln
Rw 2a
C
上两式相减有：
i
p
q
2
ln( 2a )2 Rw
q
ln
2a Rw
q (i p )
ln 2a Rw
Q kh( pi p p ) ln 2a
Rw
[4] [5]
2、球面向心流产量公式：
整个渗流过程可看成 两部分构成：
（1）从Re到某一半径R 的平面径向流，则：
Q 2h(e w )
ln Re R
R hФ
Q ln Re
e
R
2h
[1]
（2）从R到Rw的球面向心流。又半球内任意点 势为：
Q C
2r
则
w
Q
2
1 ( Rw
1) R
因1/Rw远大于1/R，不考w 虑 12/QRR相w ，则：[2]
等产量一源一汇时，其渗流场图与y轴完全对称，y轴是 一条等势线，y轴以右的生产井区域渗流场与直线供给边缘 附近一口生产井时的渗流场完全一致。
由此，在供给边缘附近（a，0）处存在一口生产井时， 可设想成以直线供给边缘（选作y轴）为镜面，在其对称位 置（-a，0）出反映出一口等产量的注水井在作用，则虚拟 井与生产井在无穷地层中进行势的叠加所形成的渗流场的 生产井部分，与供给边缘附近一口井的渗流场图完全一样。
三、渗流速度的合成原则
1、利用等势线和等压线确定渗流速度
求出渗流场的等势线分布或流线分布后，用渗
流速度与等势线的正交关系确定渗流速度方向。 大小可由下式计算：
v 1 2 k p1 p2
L
L
v1
vn
2、用矢量合成法
q1
各井单独生产时的渗流速度：
qn
n井同时生产：
vi
qi 2ri
vM v1 v2 v3 ... vn
通过改变两井产量比例，可使平衡点向产量小的井 移动，以采出死油区内原油。
3、井产量
任意点取在生产井壁：
q
w 2 ln 2a Rw C
任意点取在供给边缘：
e
q
2
ln
Re 2
C
则产量公式：
q 2 (e w )
ln Re2 2aRw
Q 2kh( pe pw ) ln Re2
2aRw
平面径向流点汇的势为：
q ln r C
2
[1]
r=Re时， Ф= Фe； r=Rw时， Ф= Фw；
则：
e
q
2
ln
Re
c
[2]
q
w 2 ln Rw c
[3]
[2]-[3]有：
k p
q 2 (e w ) ln Re
Rw 代入：
q 2k( pe pw ) ln Re
Rw
Q 2kh( pe pw ) ln Re
不渗透边界附近一口井的 渗流场图，刚好是等产量两 汇时的渗流场图的一半，并 以y轴为对称轴。
直线断层附近（a，0）存在一口生产井时，可将断 层看作镜面，在其对称位只映射出一口等强度的汇 （生产井的像），从而成为无限地层中两口井生产。 两口井势的叠加的结果在真实生产区形成的渗流场与 直线断层和一口生产井产生的渗流场完全一致。
n井同时工作时，地层中有 任意点M，则各井在M点产生 的势为：
1
q1
2
ln
r1
C1
q1
q2
r1 r2
q3
r3
rn
qn
2
q2
2
ln
r2
C2
3
q3
2
ln
r3
C3
n
qn
2
ln
rn
Cn
n井同时生产在M点产生的势由叠加原理表示为：
M 1 2 3 ...... n
M
q1
2
ln
r1
q2
2
多边界映射实例：
直角断层
+q
+q
平行断层
+q +q +q +q +q
+q +q
+q
+q
+q
45度断层
-q
+q
-q
+q
混合边界
二、圆形供给边界偏心井的反映
有一圆形地层偏心井，偏心 距为d，求井产量和压力分布。 -q
从无限大地层一源一汇的平面 渗流场图知等势线为一系列圆， 且都与井点相差一定距离。
如选取一等势圆为供给边 缘，其半径为Re，圆心与井点距 离为d，此时生产井就为供给边 缘内一口偏心井。
Фe
Re
M
r2
+q r1
M1 Фw
M2
a
ad
则只要在适当位置上虚拟一口等产量的注入井，就可 将偏心井问题转化为无限地层一源一汇问题。
1、确定井像的位置
无限层一源一汇时r1/r2相等的点势相等，则半径为Re 的圆周上的M1和M2点应满足下式：
(
r1 r2
)
M1
(
r1 r2
)
M2
即
Re d Re d 2a (Re d ) 2a Re d
M
M
p3 p1 p2 M1M 2 M1M 3 M1M 4 p3 p1 p2 M1M 2 M1M 3 M1M 4
二、势的叠加理论 （一）势的基本概念
势是一个量，这个量的梯度形成一个力场。 势的概念常与Laplace方程联系在一
起，其解叫势函数。
由达西公式：
v
k
dp
dx
令
k p
2、反映法的基本原则
• 不渗透边界是同号等产量反映，反映后不渗透边界 保持为分流线； • 供给边界是等产量异号反映，反映后供给边界必须 保持为等势线。
三、镜像反映法的推广 （一）复杂断层的镜像反映法
镜像反映法的目的是取消边界，其基本准则是反映后 原渗流边界性质不变。
对复杂边界，要求： ➢ 对井有影响的边界都必须进行映射； ➢ 对其中一个边界映射时必须把井和其他边界一同映 射到边界的另一侧； ➢ 有时需要多次映射才能取消边界。
N A
两井同时工作时，N点速度为两速度矢量合。 在x轴上，N点速度为：
v
vA
vB
qA
2r1
qB
2r2
若N为平衡点，即v=0时： qA=qB时，r1=r2
q A r1 q B r2
即两汇产量相等时，平衡点应在两井连线的中点， 该点液体流动速度为零，称死油点，平衡点附近形成 死油区。
平衡点及死油区位置随两汇各自产量比值而改变， 且总偏向产量小的井。
（5）
第七节 考虑边界效应的镜像反映法
实际油气田中，在生产井或注水井附近往往存在各种边界。 边界的存在对渗流场的等压线分布、流线分布和井产量
都会产生影响，这中影响称为边界效映。
一、直线供给边沿附近一口井的反映
直线供给边缘附近 存在一口生产井时， 直线供给边缘为一条 等势线，液流从供 边缘流向井底，流线 与等压线如图。
第五第节五势节的叠势加的和多叠井加干和扰理多论井干扰理论
一、多井同时生产时的物理现象
井间干扰：同一油层内同时有两口井以上油井 生产，其中一口井工作制度发生变化后，必然要 影响到其他井，这种现象称井间干扰。
井间干扰特征：地层中压力场发生重新分布。
Q
Q
M1 M3
M2 M4
-Q M4
Q M2 M1 M3
这种反因映为汇点反映。
写出任意点势后，将任意点取在供给边缘（不是断 层）和生产井井底，有产量公式为：
Q 2kh( pe pw ) ln Re2
2aRw
总结
1、边界对渗流场和井产量的影响可看成 以边界为镜面，在实际井的对称位置上存在虚拟井
“像”的影响，实际井与虚拟井势的叠加形成的渗流场 与边界对井影响形成的渗流场完全相同。
Rw
二、等产量两汇
在无限大地层中存在等产量的两汇，相距2a。
1、势及流场
由叠加原理地层中任意点的 势为；
v2 M
r2
v
v1r1
B
A
a
a
1
2
(q ln
r1
q ln
r2 )
C
q
2
ln
r1r1
C
（1）
由（1）式，r1r2相等时，势相等，则等势线方程为；
r1r2 C0
（2）
r12 (x a)2 y 2
（１）
则
v
d
dx
“Ф “就定义为势，常称速度势。
势具有压力的含义，对（１）微分有：
d k dp
（２）
在稳定渗流场中，压力分布满足Laplace，即： 2 p 2 p 2 p 0 x2 y 2 z 2
将（１）式代入有：
2 2 2 x2 y2 z 2 0
（３）
满足Laplace方程的函数为线性函数，线性 函数可进行叠加。
这种用一个“异号像”的作用来代替直线供给边缘 的方法，叫汇源反映法。
虚拟井
真实井
通过汇源反映后，写出地层中任意点的势的表 达式，在将已知条件取在直线供给边缘和生产井 井底去掉常数，得井产量公式为：
Q 2kh( pe pw ) ln 2a
Rw
二、直线不渗透边界附近一口生产井的汇点反映法
直线不渗透边界附近存在一 口生产井时，液体不能穿过不 渗透边界（断层）而流动，断 层起分流作用，为分流线。
r1 r2
C0
（2）
当C0=1时，r1=r2，即y轴是一条等势线。
r12 (x a)2 y 2
又
r22 (x a)2 y 2
代入（2）整理得：
x2 y 2 2a 1 C02 x a2 0 1 C02
配方得：
(
x
1 1
C02 C02
a)2
y2
4a 2C02 (1 C02 )2