数乘向量课件 高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
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Ԧ + (−)
Ԧ + (−Ԧ ，它
们的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
a
C
B
OC OA AB BC a a a
N
M
| 3a | 3 | a |
方向
3a
长度
a 的3倍
P
Q
PN PQ QM MN (a ) (a ) (a )
类比乘法 记作
类比乘法 记作
新授课
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4 数乘向量
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 了解数乘向量的定义；
2. 通过数乘向量的定义，掌握并理解其几何意义；
3. 通过数乘向量的学习会判断两向量平行及三点共线问题.
学习目标
课堂总结
新课讲授
知识点 1：数乘向量
问题 1：给定一个向量 ，分别作出
Ԧ
Ԧ + Ԧ + Ԧ 和 −)
例如：
()
Ԧ = ()Ԧ
3×(4)
Ԧ = (3×4)Ԧ = 12Ԧ .
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
计算：（1）(−3) × 4；
Ԧ
（2）3(Ԧ + ) − 2(Ԧ − ) − Ԧ .
解：（1）原式 = (−3) × 4Ԧ = -12；
Ԧ
（2）原式= 3a 3b 2a 2b a 5b.
即AB : AC = 1 : 5 .
学习目标
新课讲授课堂总结练练分别指出下列各题中A，B，C 三点是否一定共线，如果共线，指出线段 AB
与 BC 的长度之比.
（1） = – 2；
1
2
（2） =
解：（1）由 = – 2 可知 A，B，C 三点共线，且 AB : BC = 1 : 1；
Ԧ
|，而且
Ԧ
的方向如下：
Ԧ
①当 > 0时，与的方向相同；②当
Ԧ
< 0时，与的方向相反.
Ԧ
（2）当 = 0或Ԧ = 0 时，Ԧ = 0.
上述实数 与向量 Ԧ 相乘的运算简称为数乘向量.
学习目标
课堂总结
新课讲授
问题 3：结合数乘向量的定义，说说数乘向量的几何意义是什么？
由定义不难看出，数乘向量结果是一个向量，而且与原来的向量共线
A
B
= ，三点共线；
B 为线段 AC 的中点.
C
O
N 为线段 OM 的一个三等分点.
N
M
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
已知 Ԧ = 7，
Ԧ
= -11，其中
Ԧ
Ԧ 为非零向量，判断 Ԧ 与 是否平行，并求
||:
Ԧ || 的值.
解：由 = -11得
Ԧ Ԧ = −
1
11
因此 Ԧ ∥ ，且 ||
Ԧ =
，代入 Ԧ = 7Ԧ 得 Ԧ = −
7
||，即
11
||:
Ԧ || = 7 : 11.
7
；
11
学习目标
新课讲授
课堂总结
例 2 ：已知 = −，
Ԧ
= 5，判断
Ԧ
A，B，C 三点是否共线，如果共线，
求出 AB : AC.
解：由已知可得 = – 5 ，因此 A，B，C 三点共线，且 AC = 5AB，
a 相同
a
a
a 相反
| 3a | 3 | a |
方向
3a
长度
a 的3倍
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：根据上述实例，给出一个实数 与任意一个向量 a 的乘积 a 的定义.
一般地，给定一个实数 与任意一个向量 Ԧ ，规定它们的乘积是一个
向量，记作 Ԧ ，其中：
（1）当 ≠ 0且Ԧ ≠ 0 时，的模为|||
学习目标
课堂总结
新课讲授
例 1 ：已知 Ԧ = 3，
Ԧ
= -2，其中
Ԧ
Ԧ 为非零向量，判断 Ԧ 与 是否平行，
并求 ||:
Ԧ || 的值.
解：由数乘向量的定义可知，如果存在实数 λ，使得 = λ，则
Ԧ
∥；
Ԧ
由 = -2得
Ԧ Ԧ =
1
−
2
，代入 Ԧ = 3Ԧ 得 Ԧ =
1
2
（2）由 = 可知 A，B，C 三点共线，且 AB : BC = 2 : 1.
学习目标
新课讲授
课堂总结
要点概括整理
向量的数乘的定义
数乘向量
向量的数乘的运算律
向量共线定理
3
2
3
− ；
2
因此 Ԧ ∥ ，且 ||
Ԧ = ||，即 ||:
Ԧ || = 3 : 2.
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
向量共线定理：
一般地，如果存在实数 ，使得 = ，则 与 平行且有公
共点 A，从而 A，B，C 三点一定共线.
= 2，三点共线；
(平行)，即：∥
Ԧ ；
Ԧ
数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或者反方向放大或者缩小.
一个向量的相反向量可以看成 – 1 与这个向量的乘积，即−Ԧ = (−1)；
Ԧ
当 λ 与 μ 都是实数，且 Ԧ 是向量时：μԦ 是向量，λ(μ)
Ԧ 也是向量；
λμ是实数，但 (λμ)Ԧ 是向量.
可以看出：
Ԧ + (−Ԧ ，它
们的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
a
C
B
OC OA AB BC a a a
N
M
| 3a | 3 | a |
方向
3a
长度
a 的3倍
P
Q
PN PQ QM MN (a ) (a ) (a )
类比乘法 记作
类比乘法 记作
新授课
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4 数乘向量
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 了解数乘向量的定义；
2. 通过数乘向量的定义，掌握并理解其几何意义；
3. 通过数乘向量的学习会判断两向量平行及三点共线问题.
学习目标
课堂总结
新课讲授
知识点 1：数乘向量
问题 1：给定一个向量 ，分别作出
Ԧ
Ԧ + Ԧ + Ԧ 和 −)
例如：
()
Ԧ = ()Ԧ
3×(4)
Ԧ = (3×4)Ԧ = 12Ԧ .
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
计算：（1）(−3) × 4；
Ԧ
（2）3(Ԧ + ) − 2(Ԧ − ) − Ԧ .
解：（1）原式 = (−3) × 4Ԧ = -12；
Ԧ
（2）原式= 3a 3b 2a 2b a 5b.
即AB : AC = 1 : 5 .
学习目标
新课讲授课堂总结练练分别指出下列各题中A，B，C 三点是否一定共线，如果共线，指出线段 AB
与 BC 的长度之比.
（1） = – 2；
1
2
（2） =
解：（1）由 = – 2 可知 A，B，C 三点共线，且 AB : BC = 1 : 1；
Ԧ
|，而且
Ԧ
的方向如下：
Ԧ
①当 > 0时，与的方向相同；②当
Ԧ
< 0时，与的方向相反.
Ԧ
（2）当 = 0或Ԧ = 0 时，Ԧ = 0.
上述实数 与向量 Ԧ 相乘的运算简称为数乘向量.
学习目标
课堂总结
新课讲授
问题 3：结合数乘向量的定义，说说数乘向量的几何意义是什么？
由定义不难看出，数乘向量结果是一个向量，而且与原来的向量共线
A
B
= ，三点共线；
B 为线段 AC 的中点.
C
O
N 为线段 OM 的一个三等分点.
N
M
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
已知 Ԧ = 7，
Ԧ
= -11，其中
Ԧ
Ԧ 为非零向量，判断 Ԧ 与 是否平行，并求
||:
Ԧ || 的值.
解：由 = -11得
Ԧ Ԧ = −
1
11
因此 Ԧ ∥ ，且 ||
Ԧ =
，代入 Ԧ = 7Ԧ 得 Ԧ = −
7
||，即
11
||:
Ԧ || = 7 : 11.
7
；
11
学习目标
新课讲授
课堂总结
例 2 ：已知 = −，
Ԧ
= 5，判断
Ԧ
A，B，C 三点是否共线，如果共线，
求出 AB : AC.
解：由已知可得 = – 5 ，因此 A，B，C 三点共线，且 AC = 5AB，
a 相同
a
a
a 相反
| 3a | 3 | a |
方向
3a
长度
a 的3倍
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题 2：根据上述实例，给出一个实数 与任意一个向量 a 的乘积 a 的定义.
一般地，给定一个实数 与任意一个向量 Ԧ ，规定它们的乘积是一个
向量，记作 Ԧ ，其中：
（1）当 ≠ 0且Ԧ ≠ 0 时，的模为|||
学习目标
课堂总结
新课讲授
例 1 ：已知 Ԧ = 3，
Ԧ
= -2，其中
Ԧ
Ԧ 为非零向量，判断 Ԧ 与 是否平行，
并求 ||:
Ԧ || 的值.
解：由数乘向量的定义可知，如果存在实数 λ，使得 = λ，则
Ԧ
∥；
Ԧ
由 = -2得
Ԧ Ԧ =
1
−
2
，代入 Ԧ = 3Ԧ 得 Ԧ =
1
2
（2）由 = 可知 A，B，C 三点共线，且 AB : BC = 2 : 1.
学习目标
新课讲授
课堂总结
要点概括整理
向量的数乘的定义
数乘向量
向量的数乘的运算律
向量共线定理
3
2
3
− ；
2
因此 Ԧ ∥ ，且 ||
Ԧ = ||，即 ||:
Ԧ || = 3 : 2.
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
向量共线定理：
一般地，如果存在实数 ，使得 = ，则 与 平行且有公
共点 A，从而 A，B，C 三点一定共线.
= 2，三点共线；
(平行)，即：∥
Ԧ ；
Ԧ
数乘向量的几何意义：把向量沿着它的方向或者反方向放大或者缩小.
一个向量的相反向量可以看成 – 1 与这个向量的乘积，即−Ԧ = (−1)；
Ԧ
当 λ 与 μ 都是实数，且 Ԧ 是向量时：μԦ 是向量，λ(μ)
Ԧ 也是向量；
λμ是实数，但 (λμ)Ԧ 是向量.
可以看出：