高考一轮复习数学(文理通用)课时训练——推理与证明

第七章 推理与证明
第1课时 合情推理与演绎推理
一、 填空题
1. 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为________．
答案：55
解析：因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
2. 我们把 1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，则第 n 个正方形数是________． 答案：n 2
解析：∵ 1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，… ∴ 由此可推得第n 个正方形数是n 2.
3. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝____________．
答案：－g(x)
解析：由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)． 4. 如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4(从左至右)出现在第3行； 数字7，8，9，10出现在第4行，…，依此类推，则第20行从左到右第4个数字为________．
答案：194
解析：前19行共有19×（1＋19）
2
＝190(个)数字⇒第19行最左端的数为190⇒第20行
从左到右第4个数字为194.
5. 观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝3
3
.照此
规律，对于一般的角α，β，有等式____________________．
答案：sin α＋sin βcos α＋cos β
＝tan α＋β
2
解析：等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故sin α＋sin βcos α＋cos β
＝tan α＋β
2.
6. 已知命题：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B
在椭圆x 2m 2＋y 2
n 2＝1(m>n>0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .试将该命
题类比到双曲线中，给出一个真命题是____________．
答案：在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－p ，0)和C(p ，0)，顶点B 在双曲
线x 2m 2－y 2
n 2＝1(m>0，n>0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C|sin B ＝1e
解析：由正弦定理和椭圆定义可知sin A ＋sin C sin B ＝AB ＋BC AC ＝2a
2c
，类比双曲线应有
|AB －BC|AC ＝|sin A －sin C|sin B ＝1
e
.
7. 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方
形的边长为2
2
，则最小正方形的边长为________．
答案：1
32
解析：设1＋2＋4＋…＋2n －1
＝1 023，即1－2n
1－2
＝1 023，解得n ＝10.正方形边长构成数
列22，⎝⎛⎭⎫222，⎝⎛⎭⎫223，…，⎝⎛⎭⎫2210，从而最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132
. 8. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为________． 1
3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31 …
答案：809 解析：前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
9. 已知“整数对”按如下规律排成一行：
(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是________．
答案：(5，7)
解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”
的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）
2
个“整数对”，
注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2
，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整
数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各整数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)．
10. 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，点G 是△ABC 外
接圆的圆心，则AG
GD
＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面
体ABCD 中，若点M 是△BCD 的三边中线交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则
AO
OM
＝__________”．
答案：3
解析：如图，设四面体ABCD 的棱长为a ，则由M 是△BCD 的重心，得BM ＝
33
a ，
AM＝
6
3a.设OA＝R，则OB＝R，OM＝
6
3a－R，于是由R
2＝
⎝
⎛
⎭
⎫
3
3a
2
＋⎝⎛⎭⎫
6
3a－R
2
，解得R
＝
6
4a.所以
AO
OM＝
6
4a
6
3a－
6
4a
＝3.
11. 某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如
下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在
1到9个之间)就形成
了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)
答案：a，b
解析：由解锁图案的设计规则可知，构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线路的作用．a，b均满足题意，c中第二排第三列的点至少起到两次确定线路的作用．
二、解答题
12. 已知函数f(x)＝
1
3x＋3
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳
猜想一般性结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝
1
30＋3
＋
1
31＋3
＝
1
1＋3
＋
1
3（1＋3）
＝
3
3（1＋3）
＋
1
3（1＋3）＝
3
3，
同理可得f(－1)＋f(2)＝
3
3，f(－2)＋f(3)＝
3
3.
由此猜想f(x)＋f(1－x)＝
3
3.证明如下：
f(x)＋f(1－x)＝
1
3x＋3
＋
1
31－x＋3
＝
1
3x＋3
＋
3x
3＋3·3x
＝
1
3x＋3
＋
3x
3（3＋3x）
＝
3＋3x
3（3＋3x）
＝
3
3.
13. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①②③④为他们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方
形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．
(1) 求出f(5)的值；
(2) 利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3) 求n ≥2时，1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1
f （n ）－1
的值．
解：(1) f(5)＝41.
(2) 因为f(2)－f(1)＝4＝4×1， f(3)－f(2)＝8＝4×2， f(4)－f(3)＝12＝4×3， f(5)－f(4)＝16＝4×4， …
由此式规律，所以得出f(n ＋1)－f(n)＝4n.
f(n ＋1)－f(n)＝4n ⇒f(n ＋1)＝f(n)＋4n ⇒f(n)＝f(n －1)＋4(n －1)＝f(n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f(n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f(1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.
(3) 当n ≥2时，
1f （n ）－1＝12n （n －1）＝12⎝
⎛⎭⎫1
n －1－1n ，
所以1f （1）＋1f （2）－1＋1f （3）－1＋…＋1f （n ）－1
＝1＋12·(1－12＋12－13＋13－1
4＋…
＋1n －1－1n
)＝1＋1
2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .
第2课时 直接证明与间接证明
一、 填空题
1. 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．
答案：方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根
解析：“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．
2. 设a ＞b ＞0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是____________． 答案：m<n
解析：∵a ＞b ＞0，∴a ＞b ，a －b ＞0. ∴m 2－n 2＝a ＋b －2ab －(a －b)＝2b －2ab ＝ 2b(b －a)＜0.∴m 2＜n 2. 又m ＞0，n ＞0，∴m ＜n.
3. 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n .若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．
答案：2n
解析：因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －
1.因为数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1
＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n ·a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2
－2q)＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n.
4. 已知函数f(x)满足f(a ＋b)＝f(a)·f(b)，f(1)＝2，则f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）
f （3）
＋
f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）
f （7）＝________．
答案：16
解析：根据f(a ＋b)＝f(a)·f(b)得f(2n)＝f 2(n)，又f(1)＝2，则f （n ＋1）
f （n ）
＝2，故
f 2（1）＋f （2）f （1）＋f 2（2）＋f （4）f （3）＋f 2（3）＋f （6）f （5）＋f 2（4）＋f （8）f （7）＝2f （2）
f （1）＋
2f （4）f （3）＋2f （6）f （5）＋2f （8）
f （7）
＝16.
5. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：① α∥β⇒l ⊥m ；② α⊥β⇒l ∥m ；③ l ∥m ⇒α⊥β；④ l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的命题是________．(填序号)
答案：①③
解析：①
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又m ⊂β，∴ l ⊥m ，①正确；② l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时，则l 必与m 相交，故②错误；③
⎭
⎪⎬⎪
⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴ β⊥α，故③正确；④ 若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．
6. 已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．
答案：c ≥b>a
解析：∵ c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a)2≥0，∴ c ≥b.已知两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1
＋a 2.∵ 1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34
>0，∴ 1＋a 2>a.∴ b ＝1＋a 2>a.∴ c ≥b>a.
7. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，
b ，a －b>1.
设函数f(x)＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x
∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．
答案：(－∞，－2]∪⎝
⎛⎭⎫－1，－3
4 解析：由题意可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－（x －x 2）≤1，
x －x 2，x 2－2－（x －x 2
）＞1 ＝⎩
⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤3
2
，
x －x 2，x ＜－1或x ＞3
2
，
函数图象如图所示．
函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即函数y ＝f(x)与y ＝c 的图象有2个交
点，由图象可得c ≤－2或－1＜c ＜－3
4.
8. 对于一切实数x ，不等式x 2
＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案：[－2，＋∞)
解析： 当x ＝0时不等式成立；用分离参数法得a ≥－⎝⎛⎭⎫|x|＋1|x|(x ≠0)，而|x|＋1
|x|
≥2，∴ a ≥－2.
9. 若二次函数f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f(c)>0，则实数p 的取值范围是______________．
答案：⎝
⎛⎭⎫－3，32 解析：令⎩
⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2p 2
＋p ＋1≤0，f （1）＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥3
2， 故满足条件的p 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－3，32. 10. 某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，
如果对于任意不同的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1－x 2|，求证|f(x 1)－f(x 2)|<1
2
.那么他
的反设应该是________．
答案：函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x 1，x 2∈[0，1]，使得|f(x 1)
－f(x 2)|<|x 1－x 2|，则|f(x 1)－f(x 2)|≥1
2
解析：要证明的问题是全称命题的形式，则其结论的否定应该是特称命题的形式，即“函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，存在不同的x 1，x 2∈[0，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|<|x 1
－x 2|，则|f(x 1)－f(x 2)|≥1
2
”．
二、 解答题
11. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ① sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ② sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③ sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；
④ sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤ sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1) 选择②式，计算如下：
sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝3
4
.
(2) 三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝3
4
.
证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋
3
4cos 2α＝3
4
.
12. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.
(1) 求证：1
a
是f(x)＝0的一个根；
(2) 试比较1
a
与c 的大小；
(3) 求证：－2<b<－1.
(1) 证明：∵ f(x)的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴ f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵ f(c)＝0，
∴ x 1＝c 是f(x)＝0的根，又x 1x 2＝c
a
，
∴ x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c ，∴ 1
a
是f(x)＝0的一个根． (2) 解：假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝⎛⎭⎫1a >0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴ 1a
≥c.∵ 1a ≠c ，∴ 1a
>c.
(3) 证明：由f(c)＝0，得ac 2＋bc ＋c ＝0，即ac ＋b ＋1＝0，∴ b ＝－1－ac.又a>0，c>0，∴ b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1
a
.又a>0，
∴ b>－2，∴ －2<b<－1.
13. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，n ∈N *. (1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设数列{a 2n }的前n 项和为T n
，求S 2n
T n
； (3) 判断数列{3n －a n }中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论． 解：(1) 当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2)＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.
因为a 1≠0，所以a n
a n －1
＝2，从而数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n
＝2n .
(2) 因为a 2n ＝(2n )2＝4n
，所以a 2n ＋1a 2n
＝4，
故数列{a 2
n }是以4为首项，4为公比的等比数列，
从而S 2n ＝2（1－22n ）
1－2
＝2(4n －1)，
T n ＝4（1－4n ）1－4
＝43(4n －1)，
所以S 2n T n ＝32
.
(3) 不存在．证明：假设{3n －a n }中存在三项成等差数列，不妨设第m ，n ，k(m<n<k)项成等差数列，
则2(3n －a n )＝3m －a m ＋3k －a k ， 即2(3n －2n )＝3m －2m ＋3k －2k . 因为m<n<k ，且m ，n ，k ∈N *， 所以n ＋1≤k.
因为2(3n －2n )＝3m －2m ＋3k －2k ≥3m －2m ＋3n ＋1－2n ＋
1， 所以－3n ≥3m －2m ，不等式不成立．
所以数列{3n －a n }中不存在三项成等差数列．第3课时 数学归纳法
一、 填空题
1. 利用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N * 时，从“n ＝k ”变到 “n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________________．
答案：2(2k ＋1)
解析：由题意知，n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k)；当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋1＋k ＋1); 从而增加的两项为(2k ＋1)(2k ＋2)，减少的一项为k ＋1.故左边
应增乘的因式为（2k ＋1）（2k ＋2）
k ＋1
＝2(2k ＋1)．
2. 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞13
24
的过程中，由n ＝k 推导n ＝k
＋1时，不等式的左边增加的式子是________________．
答案：1
（2k ＋1）（2k ＋2）
解析：不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1
（2k ＋1）（2k ＋2）
，故应填
1
（2k ＋1）（2k ＋2）
.
3. 若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k ＋1)与f(k)的递推关系式是________________．
答案：f(k ＋1)＝f(k)＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2
4. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋1
3n －1
(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝____________．
答案：13k ＋13k ＋1＋1
3k ＋2
解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－⎝
⎛⎭⎫1＋12＋13＋14＋…＋13k －1＝
1
3k ＋13k ＋1＋13k ＋2
. 5. 在平面上画n 条直线，且任何两条直线都相交，任何三条直线都不共点．设这n 条直线将平面分成f(x)个部分，则f(k ＋1)－f(k)＝________．
答案：k ＋1
解析：一条直线分成1＋1＝2(个)部分，两条直线分成1＋1＋2＝4(个)部分，三条直线分成1＋1＋2＋3＝7(个)部分，f(n)＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n ，则f(k ＋1)－f(k)＝[1＋1＋2＋3＋4＋…＋k ＋(k ＋1)]－(1＋1＋2＋3＋4＋…＋k)＝k ＋1.
6. 用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22
时，当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础
上加上________．
答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2
解析：∵ 当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.
7. 观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜7
4
，…，则可归纳出____．
答案：1＋122＋132＋…＋1
（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1
(n ∈N *) 解析：1＋122<32，即1＋1（1＋1）2<2×1＋11＋1；1＋122＋132<53，即1＋1（1＋1）2＋1
（2＋1）2<2×2＋12＋1，归纳出1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2<2n ＋1n ＋1
(n ∈N *)． 8. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12
n －1>127
64(n ∈N *)成立，其初始值至少应取
________．
答案：8
解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n
1－12
＝2－1
2
n －1，代入验证可知n 的最小值是8.
9. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2
（2n －1）（2n ＋1）＝n （n ＋1）2（2n ＋1）
；当推证n
＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是____________．
答案：k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）
2（2k ＋3）
解析：当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2
（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）
＝
k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3），故只需证明k （k ＋1）2（2k ＋1）＋（k ＋1）2
（2k ＋1）（2k ＋3）＝
（k ＋1）（k ＋2）
2（2k ＋3）
即可．
10. 若数列{a n }的通项公式a n ＝1
（n ＋1）2
，记c n ＝2(1－a 1)·(1－a 2)·…·(1－a n )，试通
过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝____________．
答案：n ＋2n ＋1
解析：c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝43
，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)·(1－a 3)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19×⎝⎛⎭⎫1－116＝5
4，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1
. 二、 解答题
11. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n
(n ∈N *)，a 1＝1
2.试通过求a 2，a 3，a 4的值猜想a n 的表
达式，并用数学归纳法加以证明．
解：a 2＝12－a 1＝12－12＝23，a 3＝12－a 2＝12－23＝34，a 4＝12－a 3＝12－
34
＝4
5.
猜想：a n ＝n
n ＋1
(n ∈N *)．
用数学归纳法证明如下：
① 当n ＝1时，左边＝a 1＝12，右边＝11＋1＝1
2
，所以等式成立；
② 假设n ＝k 时等式成立，即a k ＝k k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝1
2－k k ＋1
＝
k ＋1k ＋2＝k ＋1（k ＋1）＋1
，所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②得，当n ∈N *时等式都成立． 12. 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n(n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．
解：分别用n ＝1，2，3代入解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧a ＋b ＋c ＝0，
16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝14
，b ＝－14
，c ＝0.
下面用数学归纳法证明．
① 当n ＝1时，由上可知等式成立；
② 假设当n ＝k 时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k(k 2－k 2)＋
1·(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14k 4＋⎝⎛⎭⎫－14k 2＋(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k(2k ＋1)＝14
(k ＋1)4－1
4
(k ＋1)2，∴ 当n ＝k ＋1时，等式成立．
由①②得等式对一切的n ∈N *均成立．
13. 已知(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (其中n ∈N *)，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .
(1) 求S n ；
(2) 求证：当n ≥4时，S n >(n －2)2n ＋2n 2.
(1) 解：取x ＝1，则a 0＝2n ；取x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n ，∴ S n ＝a 1＋a 2
＋a 3＋…＋a n ＝3n －2n .
(2) 证明：要证S n >(n －2)2n ＋2n 2，只需证3n >(n －1)2n ＋ 2n 2，
当n ＝4时，81>80；假设当n ＝k(k ≥4)时，结论成立，即3k >(k －1)2k ＋2k 2，
两边同乘以3 得：3k ＋1>3[(k －1)2k ＋2k 2]＝k·2k ＋
1＋2(k ＋1)2＋[(k －3)2k ＋4k 2－4k －2]． 而(k －3)2k ＋4k 2－4k －2＝(k －3)2k ＋4(k 2－k －2)＋6＝(k －3)2k ＋4(k －2)(k ＋1)＋6>0，
∴ 3k ＋1>[(k ＋1)－1]2k ＋
1＋2(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时结论也成立， ∴ 当n ≥4时，3n >(n －1)2n ＋2n 2成立． 综上，原不等式成立．。