曲线方程的求法

第二章 圆锥曲线与方程
已知⊙O：x2＋y2＝4，P 为⊙O 上任一点，M 在 OP 上， 使得O→M＝3M→P，求点 M 的轨迹方程．
第二章 圆锥曲线与方程
[例3] 求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称 曲线的方程．
[解析] 设所求对称曲线上任一点的坐标为(x，y)，它关
于 x＋y＝0 的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
∴x2＋y2＝8 为所求.
第二章 圆锥曲线与方程
[例 2] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(－2,0)，B(0， －2)第三个点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心的 轨迹方程．(注：设△ABC 顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 重心坐标为 G(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．)
x1＋2 x＋y1＋2 y＝0 yx11－ －yx＝1
，解得xy11＝ ＝－ －yx
第二章 圆锥曲线与方程
∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上， ∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1 ∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1， 即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
[点评] 代入法适用于所求动点与另一动点有密切联 系，(这两个动点可通过具体式子联系起来)，而另一个动 点在已知定曲线上运动(或者另一个动点的几何条件好找的 情形).
第二章 圆锥曲线与方程
三、解答题 6．已知点A(－1,0)，B(1,0)，分别过A、B作直线l1与l2， 使l1⊥l2，求l1与l2交点P的轨迹方程．
[解析] 设 l1：y＝k(x＋1)，(k≠0)(1) 则 l2：y＝－1k(x－1)(2) (1)与(2)两式相乘，消去 k 得，y2＝－(x2－1)， ∴x2＋y2＝1， 特别地，当 k 不存在或 k＝0 时，P 分别与 A、B 重合， 也满足上述方程，∴所求轨迹方程为 x2＋y2＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
已知两个定点 A、B 的距离为 6，动点 M 满足条件M→A·M→B ＝－1，求点 M 的轨迹方程．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐 标系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)，
设 M(x，y)，则由M→A·M→B＝－1 得，(－3－x，－y)·(3－x， －y)＝－1，
第二章 圆锥曲线与方程
一、选择题
1．动点在曲线 x2＋y2＝1 上移动时，它和定点 B(3,0)连
线的中点 P 的轨迹方程是
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
()
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(x＋32)2＋y2＝1
第二章 圆锥曲线与方程
[答案] C
[解析] 设 P 点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有 x1＋2 3＝x，y1＋2 0＝y.
第二章 圆锥曲线与方程
[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的基本方法，大多 数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等 式整理可得．
2．解题过程中，要注意使用某种形式时是否受到某些 条件的限制而丢掉个别点，如使用斜率求解时限制条件是 斜率存在，因而可能漏掉斜率不存在的点．必须找一找是 否漏掉了．有时也可能使范围扩大了，多出了不合要求的 点，要通过最后的检验“防失去伪”．
(4)代入法：动点M(x，y)随着动点P(x1，y1)的运动而运 动，点P(x1，y1)在已知曲线C上运动，可根据P与M的关系 用x，y表示x1，y1，再代入曲线C的方程，即可得点M的轨 迹方程．
(5)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐 标x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方 程．
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
1．知识与技能 进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念，掌握求 曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法． 2．过程与方法 了解求曲线方程的几种常用方法，能够利用它们去求 曲线的方程．
第二章 圆锥曲线与方程
重点：轨迹方程的求法． 难点：求曲线的方程的思路． 在求轨迹方程时，要注意题设条件对变量的限制，这 一点易被忽视，如求某一三角形的顶点的轨迹方程时，要 排除三点共线的情况．求出轨迹方程后，将方程所表示的 曲线在原图中大致画一下，看有没有多余的或漏掉的点．
[解析] 设 M(x，y)为轨迹上任一点，那么 |x－8|＝2 (x－2)2＋y2， 整理得，3x2＋4y2＝48.
第二章 圆锥曲线与方程
5．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定 点，又点P在直线AM上运动，且AP：PM＝3，则动点P的 轨迹方程为________．
[答案] 8x－4y＋3＝0
2．求曲线的方程的步骤
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
[例1] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x 轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[解析] 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x， y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)， kPB＝42－－20y，
第二章 圆锥曲线与方程
(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消 去参数，例如求动直线的交点时常用此法，也可以引入参 数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方 程．
练习
第二章 圆锥曲线与方程
1．解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件，求出 表示曲线的方程 ； (2)通过曲线的方程，研究 曲线的性质 ．
第二章 圆锥曲线与方程
[例4] 设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意 弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
第二章 圆锥曲线与方程
方法四：参数法． 设动弦 PQ 的方程为 y＝kx 代入圆方程得(x－1)2＋k2x2＝1 即(1＋k2)x2－2x＝0 ∴x＝x1＋2 x2＝1＋1 k2，y＝kx＝1＋k k2消去 k 即可．
第二章 圆锥曲线与方程
求曲线方程的常用方法 (1)直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关 于动点的几何关系，再利用解析几何的有关公式进行整理、 化简． (2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先 设定方程，再确定其中的基本量．
第二章 圆锥曲线与方程
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线方程的类型，可 设出其方程形式，再根据条件确定待定的系数．
[点评] 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方 法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取 方法．
第二章 圆锥曲线与方程
[例5] 已知点A(0,3)点B(3,0)，若曲线C：y＝－x2＋mx－1 与线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围．
[误解] 线段 AB 所在直线方程为 x＋y－3＝0. 由xy＋ ＝y－－x32＋＝m0，x－1 消去 y 得 x2－(m＋1)x＋4＝0. 因为有两个不同的交点，所以方程 x2－(m＋1)x＋4＝0 有两个不同的实数根， 所以有 Δ＝(m＋1)2－4×1×4>0.解之得 m>3 或 m<－5. 故所求 m 的取值范围是 m>3 或 m<－5.
[正解] 由错解知，x2＝(m＋1)x＋4＝0 则有
Δ>0 0<x1＋x2<6 x1·x2≥0 (3－x1)(3－x2)≥0
(m＋1)2－16>0 即0<m＋1<6
9－3(m＋1)＋4≥0
m>3或m<－5 解得－1<m<5
m≤130
所以 3<m≤130，即 m 的取值范围是(3，130)．
小结
交直线．
第二章 圆锥曲线与方程
[答案] B
[解析] 设 P(x，y)，则由题意得x＋y 1·x－y 1＝－1，(x≠±1)， 化简整理得 x2＋y2＝1，(x≠±1)．
第二章 圆锥曲线与方程
二、填空题 4．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)距离的2 倍，则动点的轨迹方程为________． [答案] 3x2＋4y2＝48
∴x1＝2x－3，y1＝2y. ∵(x1，y1)在 x2＋y2＝1 上， ∴x12＋y21＝1 ∴(2x－3)2＋(2y)2＝1 即(x－32)2＋y2＝14.
第二章 圆锥曲线与方程
2．方程x2－y2＝0表示的图形是
()
A．两条相交直线
B．两条平行直线
C．两条重合直线
D．一个点
[答案] A
[解析] 方程x2－y2＝0可化为y＝±x，故它表示两条相
第二章 圆锥பைடு நூலகம்线与方程
[解析] 设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式 得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，
即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1. 化简得y＝9x2＋12x＋3. 故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.(不包括 和直线AB的交点)
第二章 圆锥曲线与方程
[辨析] 错误的原因是线段AB，而不是直线AB.可以求 出AB的方程式x＋y＝3，线段AB的方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)， 若抛物线与线段AB有两个不同交点，等价于两方程组成的方 程组在[0,3]内有两组不同实数解，可借助一元二次方程根的 分布来解决．
第二章 圆锥曲线与方程