2019届上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测
数学试题
一、单选题
1．设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉ C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ D ．当且仅当3
2
a ≤ 时,（2,1）A ∉ 【答案】D
【解析】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
详解：若(2,1)A ∈，则32a >
且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >， 此命题的逆否命题为：若3
2
a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D.
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则
p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.
2．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、
m 变化时，d 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +. 【详解】
22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，
所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C. 【点睛】
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
3．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，
2,2,2,1PD AD CD AB ====，
由勾股定理可知：22,22,3,5PA PC PB BC ====，则在四棱锥中，直角三角形有：,,PAD PCD PAB ∆∆∆共三个，故选C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.
4．设的边AB 上一定点0P 满足01
4
P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（ ） A ．2
ABC π
∠=
B ．2
BAC π
∠=
C ．AB AC =
D ．AC BC =
【答案】D
【解析】设||4AB =，则0||1
P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥恒成立，
只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，
AC BC =．
【详解】
设||4AB =，则0||1P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，
2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+，
00
P B PC a ⋅=-， 于是00
PB PC P B PC ⋅≥⋅恒成立， 整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥恒成立，
只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =， 因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形， 所以AC BC =． 故选：D.
【点睛】
本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.
二、填空题
5．已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=_____ 【答案】{0，1}
【解析】根据集合的交运算进行计算即可． 【详解】
222,x x <∴-<<，因此A B ={}(){}2,0,1,22,20,1-⋂-=
故答案为：{}0,1 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．
6．若函数()1f x =-
()g x =()()f x g x +=__________．
【答案】1(01)x ≤≤
【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得()(),f x g x 定义域，取交集得到
()()f x g x +的定义域，将()(),f x g x 解析式相加可得所求结果.
【详解】
()f x 定义域为：{}0x x ≥；()g x 定义域为：{}01x x ≤≤
()()f x g x ∴+的定义域为{}01x x ≤≤
()())
1101f x g x x ∴+==≤≤
故答案为：)101x ≤≤ 【点睛】
本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.
7．在()7
21x -的二项展开式中,第四项的系数为__________. 【答案】560-
【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数. 【详解】
二项展开式中，第四项的系数为()3
34
721560C ⋅⋅-=-.
故答案为：560-
【点睛】
本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.
8．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】
3.10
【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为
3.10
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为
2
3
π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ． 【答案】
【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为
，从而其母线长为
，从而圆锥体的表面积为
；
故答案为：
【考点】圆锥体的表面积．
10．已知直线()1:3260l x k y -++=与直线()2:2320l kx k y +-+=,记3D k
=
()
223
k k -+-，则D =0是直线1l 与直线2l 平行的__________(选填“充分非必要”、“必要非
充分”、“充要”、“既非充分又非必要”)条件.
【答案】必要非充分
【解析】解0D =求得k 的值.由此12l l //求得k 的值.由此判断出充分、必要条件. 【详解】
令0D =得()()2
32320,890k k k k k -++=+-=，解得9k =-或1k =.
当12l l //时，()()32320
3260
k k k k ⎧-++=⎨⨯-≠⎩，解得9k =-.
故D =0是直线1l 与直线2l 平行的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分 【点睛】
本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
11．设函数()()cos 06f x x πωω⎛
⎫
=-
> ⎪⎝
⎭
，若()4f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】
23
【解析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据余弦函数取最大值条件解得ω的表达式，进而确定其最小值. 【详解】 因为()4f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 所以
2
2π()8()463
k k Z k k Z ωωπ
π
-
=∈∴=+∈，，
因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为2
3
.
【点睛】
函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =-，. （2）周期2π
.T ω
=
（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，
最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()2
2
k x k k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+∈Z 求增区间；由
322()2
2
k x k k π
π
πωϕπ+≤+≤
+∈Z 求减区间. 12．若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y−x 的最小值是__________． 【答案】3 【解析】【详解】
分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图， 平移直线2z y x =-，
由图可知直线2z y x =-过点A(1,2)时，z 取最小值3.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
13．能说明“若()()0f x f ＞对任意的(]02x ∈，
都成立,则()f x 在(]02，上是增函数”为假命题的一个函数是_________.
【答案】()2
32f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭（答案不唯一）
【解析】根据题目所给命题为假命题，构造函数()f x 在区间(]02，满足条件“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，
都成立”且不是增函数. 【详解】
由于原命题是假命题，故存在“()()0f x f >对任意的(]02x ∈，
都成立”且不是增函数. 设()f x 为二次函数，则()f x 在(]02，必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足
122b a <-<，且二次项系数0a <即可.如()2
32f x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭. 故答案为：()2
32f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭（答案不唯一）
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题.
14．已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=＞＞，双曲线2222:1x y N m n -=，若双曲线N 的两
条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的焦距与长轴长的比值为________.
1
【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得2a ，由此求得椭圆M 的焦距与长轴长的比值（也即离心率） 【详解】
由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，根据椭圆的定义可知
2c a =，所以椭圆M 的焦距与长轴长的比值为21
2c a
=
=.
1. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查正六边形的几何性质，属于基础题.
15．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9
【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得
111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11
,1ac a c a c
=++=，因此
1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=
当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：
()1112221
21212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；
③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________. 【答案】②③
【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】
对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足
12a a >但12z z <，所以①错误.
对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.
对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】
本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能
力，属于基础题.
三、解答题
17．已知函数()2
1sin cos cos 2
f x x x x =+-
. (1)求()f x 的最小正周期和单调递减区间；
(2)若()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点,求正数m 的最小值. 【答案】（1）最小正周期为π，递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣
⎦；（2）39π8
. 【解析】（1）利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，进而求得()f x 的最小正周期和的单调减区间.
（1）令()0f x =求得函数()f x 的零点，结合()f x 在区间[]0m ，上恰好有十个零点，求得m 的最小值. 【详解】
（1）()11πsin 2cos 22224f x x x x ⎛
⎫=
+=+ ⎪⎝
⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T =
=.由ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+，解得π5π
ππ88
k x k +≤≤+，所以()f x 的递减区间为π5ππ,π,88k k k Z ⎡
⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）令()0f x =，即πsin 204x ⎛
⎫+
= ⎪⎝
⎭，即()πππ2π,428
k x k x k Z +==-∈.由于[]0,x m ∈内，()f x 恰有十个零点，故由()ππ
28
k x k Z =
-∈得k 取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，恰好10个零点.当10k =时，39π
8
x =.所以正数m 的最小值为
39π
8
. 【点睛】
本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题.
18．如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．
（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 【答案】（1）
310
20
（2）
5
5
【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量1,BP AC 的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；
（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面1AQC 的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.
详解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以{}
1,,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2， 所以()(
)()()(
)
()11
10,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,2,3,0,2,0,1,2A B
C A B C --．
（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31,22P ⎫-⎪⎪⎝⎭
，
从而()131,,2,0,2,222BP AC ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭
，
故111
,5BP AC cosBP
AC BP AC ⋅-=
=
=
⋅ 因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为
20
． （2）因为Q 为BC 的中点，所以1,02Q ⎫
⎪⎪⎝⎭，
因此33,022AQ ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，()()110,2,2,0,0,2AC CC ==．
设n =（x ，
y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，
则10,0,AQ n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即30,
22
220.
x y y z +=⎪⎨⎪+=⎩
不妨取)
1,1n =
-，
设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ， 则111sin ,CC n cosCC
n CC n
θ⋅==
=
=⋅， 所以直线CC 1与平面AQC 1 点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
19．已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：
1
1
λ
μ
+
为定值．
【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析 【解析】【详解】
分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据P A ，PB 与y 轴相交，舍去k=3，（2）先设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与抛物线联立，根据韦达定理可得12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =．再由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．利用直线P A ，PB 的方程分别得
点M ，N 的纵坐标，代入化简
1
1
λ
μ
+
可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．
由241
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()22
2410k x k x +-+=． 依题意()2
2
24410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．
又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =． 直线P A 的方程为()112
211
y y x x --=
--． 令x =0，得点M 的纵坐标为111121
2211
M y kx y x x -+-+=
+=+--． 同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-．
由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-． 所以
()()()2212121212122
224211111111=21111111
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+
-+--+=+=+=⋅=⋅
------． 所以
1
1
λ
μ
+
为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
20．数列{}n a ,定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列,其中()
*1n n n a a a n N +∆=-∈.
(1)若2
n a n n =-,试断{}n a ∆是否是等差数列,并说明理由；
(2)若11
1,2,2n
n
n n n n a a a a b -=∆-==
，证明{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式； (3)对(2)中的数列{}n a ,是否存在等差数列{}n c ,使得1
2
12n
n n n n n c C c C c C a ++⋯+=对一切*n N ∈都成立,若存在,求出数列{}n c 的通项公式；若不存在,请说明理由. 【答案】（1）{}n a ∆是等差数列，理由见解析；（2）证明见解析，1
2n n a n -=⋅；（3）存
在，且n c n =.
【解析】（1）通过计算112,2n n a a a +∆∆∆-==证得{}n a ∆是等差数列.
（2）根据1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=得到122n n n a a +=+，利用凑配法证得{}n b 是
等差数列,并求得数列{}n a 的通项公式.
（3）先求得12,c c ，由此求得n c n =，再利用组合数公式，证得n c n =符合要求. 【详解】
（1）由于2
n a n n =-，所以()()2
2
111n n n a a n a n n n +=-=+-+-+∆2n =，所以
()12122n n a n a n +-=+-∆=∆，且2112a a a =-=∆.所以{}n a ∆是首项为2，公差为
2的等差数列.
（2）由于1n n n a a a +∆=-，2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122n
n n a a +=+，
两边除以12n +得
111111111,,22222222n n n n n n n n a a a a a ++++=+-==，所以{}n
b 是首项为1
2
，公差为12的等差数列，故12n b n =，即11,222
n n n n
a n a n -==⋅. （3）存在，且n c n =符合题意.
依题意1212n
n n n n n c C c C c C a ++⋯+=.当1n =时，111c a ==；当2n =时，
122222C c C a +=，即2224,2c c +==，而{}n c 是等差数列，故只能n c n =.下证n c n
=符合题意.
由于n c n =，所以根据组合数公式有
1212n
n n n n c C c C c C ++⋯+1221n n n n C C n C +⋅+⋯+⋅=⋅()012
11111n n n n n n C C C C -----=+++
+1
2
n n n a -=⋅=符合题意. 【点睛】
本小题主要考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式，考查组合数公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 21．设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,
,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集
合A 中的任意元素()12,,,n x x x α=和()12,,
,n y y y β=，记
M （αβ，）=
()()()111122221
2n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣
⎦．
（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值； （Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】(1)2,1;(2) 最大值为4;(3)
【解析】【详解】 （Ⅰ），。

（Ⅱ）考虑数对只有四种情况：
、
、
、
，
相应的
分别为、、、，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
、、、， 、
、
、
，
对于任意两个只有个的元素，都满足是偶数， 所以集合
、
、
、
满足题意，
假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素，
则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意，
故中元素个数的最大值为。

（Ⅲ）
，
此时中有个元素，下证其为最大。

对于任意两个不同的元素，满足，
则，中相同位置上的数字不能同时为，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，所以除外至少有个元素含有，
根据元素的互异性，至少存在一对，满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素.
小课堂：如何培养自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在学生阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。