重庆名校 平面向量专题及解析

重庆名校 平面向量专题及解析
一、填空 1.已知
三个内角
，
，
的对应边分别为，，，且
，
，当
取得最大值时，
的值为__________．
2.在ABC V 中，AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，P 是ABC V 所在平面内一点，若4AB
AC AP AB
AC
=+
uu u r uuu r
uu u r uu u r uuu r ，则PBC V 面积的最小值为．
3.,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若π,,(,)4
ABC OB mOA nOC m n ∠==+∈R
，则m n +最小值为
_______.
4.四边形ABCD 中，O 为对角线,AC BD 的交点，若||4,12,,2AC BA BC AO OC BO OD =⋅===
，则
DA DC ⋅=
_____________．
5.已知P 为单位圆O 上的点，,M N 为圆2
2
16x y +=上两点，函数()||()f x MP xMN x =-∈R
，若函数
()f x 的最小值为，且当点P 在单位圆上运动时， 的最大值为，则线段MN 的长度为_____________．
6.已知四边形ABCD ，若2,AC BD AB CD ⋅=⋅= 则AD BC ⋅
值为____________．
7.在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=
，若点P 满足AP AB AC λ=+ ，且1BP CP ⋅=
，则实数
λ的值为．
8.在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅= ，动点M P ,满足||2AP = ，=，则2
||BM 的最
大值是.
9.已知四边形ABCD ，若2,3==BD AC ，则)()(+⋅+值为_______.
10.如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于1
,,3
H M AH AM AH ∈=，若AM xAB yAC =+ ，则x y +的值为．
11.已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→
CD 的最小值为▲．
12.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC
→
的值是 ▲ ．
13.已知非零向量,a b
满足a b a b ==+ ，则与2a b - 夹角的余弦值为．
14.已知C B A ,,是半径为的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则
⋅+⋅+⋅的取值范围为．
15.在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则C
A
sin sin 的值为。

16.已知ABC ∆是边长为的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133
AQ AP AC =+ ，
则BQ
的最小值是 ▲ ．
重庆名校 平面向量专题及解析
一、填空 1.已知
三个内角
，
，
的对应边分别为，，，且
，
，当
取得最大值时，
的值为__________． 【答案】
据此有：
.
2.在ABC V 中，AB AC ⊥，1AB t =，AC t =，P 是ABC V 所在平面内一点，若4AB
AC AP AB
AC
=+
uu u r uuu r
uu u r uu u r uuu r ，则PBC V 面积的最小值为． 【答案】
【解析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则
，
，面积的最小值为
3.,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若π,,(,)4
ABC OB mOA nOC m n ∠==+∈R
，则m n +最小值为
_______.
【答案】
【解析】因为π,4ABC ∠=
所以π,2AOC ∠=不妨设π
(1,0),(0,1),(cos ,sin ),(,2π)2
A C
B θθθ∈，则π
cos ,sin cos sin )4
m n m n θθθθθ==⇒+=+=+≥5π4θ=时取等号.
4.四边形ABCD 中，O 为对角线,AC BD 的交点，若
||4,12,,2AC BA BC AO OC BO OD =⋅=== ，则DA DC ⋅=
_____________．
【答案】
【解析】22222
412,16,4BA BC BO AO BO BO OD ⋅=-=-=== ，因此22
DA DC DO AO ⋅=-=
440-=．
5.已知P 为单位圆O 上的点，,M N 为圆2216x y +=上两点，函数
()||()f x MP xMN x =-∈R
，若函数()f x 的最小值为，且当点P 在单位圆上运动时， 的最大值为，则
线段MN 的长度为_____________． 【答案】
6.已知四边形ABCD ，若2,AC BD AB CD ⋅=⋅= 则AD BC ⋅
值为____________． 【答案】 【解析】因为
()()()AC BD AB BC BC CD AB CD AB BC CD BC AB CD AD BC ⋅=+⋅+=⋅+++⋅=⋅+⋅
,
所以0AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅-⋅=
.
7.在△ABC 中，已知1,2,60AB AC A ==∠=
，若点P 满足AP AB AC λ=+ ，且1BP CP ⋅=
，则实数
λ的值为．
【答案】
或1
4
-
8.在平面内，6AB AC BA BC CA CB ⋅=⋅=⋅=
，动点M P ,
满足||2AP =
，=，则2||的最大值是.
【答案】16
9.已知四边形ABCD ，若2,3==BD AC ，则
)()(+⋅+值为_______.
【答案】
【解析】因CB AC AB +=，故5)()()()(2
2
=-=+⋅+=+⋅+BD AC BD AC DB AC BD AC DC AB .
10.如图，在ABC ∆中，AH BC ⊥于1
,,3H M AH AM AH ∈=，若AM xAB yAC =+ ，则x y +的值为．
【答案】
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设2
(0,),(,0),(0,0),(,0),(,0)3
A a
B b H
C c M a ，则
12(0,),(,),(,),(,0)33AM a AB b a AC c a M a =-=-=- ，故由AM xAB yAC =+ 可得：1
()3a xa y a -=-+-，即
1
3
x y +=，故答案为：
11.已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→
CD 的最小值为▲． 【答案】－
12.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC
→
的值是 ▲ ．
【答案】9
13.已知非零向量,a b
满足a b a b ==+ ，则与2a b -
夹角的余弦值为．
14.已知C B A ,,是半径为的圆O 上的三点，AB 为圆O 的直径，P 为圆O 内一点（含圆周），则
PA PC PC PB PB PA ⋅+⋅+⋅的取值范围为．
【答案】4
[,4]3
-
15.在ABC ∆中，若⋅=⋅+⋅2，则C
A
sin sin 的值为。

【答案】2
16.已知ABC ∆是边长为的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133
AQ AP AC =+
，
则BQ
的最小值是 ▲ ．
23。