【鲁教版】八年级数学下期中一模试题及答案

一、选择题
1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A ．30，40，50
B ．8，12，13
C ．5，9，13
D ．3，4，6 2．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．65︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．25︒ 3．已知2252a b ab +=，且a ＞b ＞0，则a b a b +-的值为（ ） A ．3 B ．3± C ．2 D ．2±
4．下列运算正确的是（ ）．
A ．235+=
B ．3223-=
C ．236⨯=
D ．632÷= 5．二次根式32a ，
12，35，44a +，22x y +中，是最简二次根式的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．下列运算正确的是（ ） A ．628+= B ．66-= C ．623÷= D ．()266-=
7．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（ ）
A ．一组对角相等，一组邻角互补
B ．一组对边平行，另一组对边相等
C ．两组对边相等
D ．一组对边平行，且另一组对边也平行
8．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（ ）
A ．6
B ．7.5
C ．10
D ．20
9．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；
③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 10．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)450a b c -+-+-=，则ABC 的面积是
（ ）
A ．3
B ．6
C ．12
D ．10
11．如图，四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，8AB =，13BD =，12BC =，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．50
B ．56
C ．60
D ．72 12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ） A ．a b c +=
B ．::4:5:3a b c =
C ．2A B C ∠+∠=∠
D ．::5:12:13A B C ∠∠∠=
二、填空题
13．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．
14．在△ABC 中， AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，且CE <AC ．若AD =6，AB =10，则CE =___________
15．若式子1x +有意义，则x 的取值范围是______________． 16．若2＜x ＜3，化简2(2)|3|x x -+-的正确结果是_____．
17．若325x x +＝﹣x 5x +，则x 的取值范围是_____．
18．如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．
19．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝10，AD ＝5，AC ＝4，则△ABD 的面积为 ____________．
20．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．
三、解答题
21．如图，BD 为ABC 的角平分线，E 为AB 上一点，BE BC =，连结DE ． （1）求证：BDC BDE ≅△△；
（2）若7AB =，2CD =，90︒∠=C ，求ABD △的面积．
22．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．
（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）
①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；
②作边AC 的中点E ，连接DE ；
（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．
23．已知31,31x y ==，求下列代数式的值：
（1）22x
y +； （2）y x x y
+． 24．计算：
（18322（2）132362483+25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°．AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，请你利用这个图形解决下列问题：
（1）试说明：a 2+b 2＝c 2；
（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a +b ）2的值．
26．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如下图，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请直接写出_________
（2）组员小颖想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如下图，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有
BDA AEC BAC α∠=∠=∠=（其中α为任意锐角或钝角）﹒如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
如下图，F 是BAC ∠角平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点（D 、E 、A 互不重合），在运动过程中线段DE 的长度为n ，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠．
①试判断DEF 的形状，并说明理由．
②直接写出DEF的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】
解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
B、∵82+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．A
解析：A
【分析】
由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
用完全平方公式，把两数和与差都转化为两数积的代数式，再代入原式计算便可．
【详解】
解：∵a 2＋b 2＝52
ab ， ∴a 2＋b 2﹣2ab ＝
12ab ，a 2＋b 2＋2ab ＝92ab ， ∴（a ﹣b ）2＝
12ab ，（a ＋b ）2＝92
ab ， ∵a ＞b ＞0， ∴a ﹣b ＞0，a ＋b ＞0，
∴a ﹣b
a ＋
b ＝2 ∴3a b a b
+=- 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，关键是运用完全平方公式，把两数和与差表示成这两数积的代数式．
4．C
解析：C
【分析】
二次根式的加减法法则，乘除法法则计算并依次判断．
【详解】
A ∴A 选项不符合题意；
B 选项：原式=∴B 选项不符合题意；
C 选项：原式==∴C 选项符合题意；
D =
∴D 选项不符合题意． 故选：C ．
【点睛】
此题考查二次根式的运算，掌握二次根式的加减法法则，乘除法法则是解题的关键． 5．B
解析：B
【分析】
根据最简二次根式的定义进行求解即可．
【详解】
=2
==
2个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的加法与除法、绝对值运算、算术平方根逐项判断即可得．
【详解】
A 不是同类二次根式，不能加减合并，此项错误；
B 、=
C =
D 6==，此项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式的加法与除法、绝对值运算、算术平方根，熟练掌握各运算法则是解题关键．
7．B
解析：B
【分析】
平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【详解】
A 、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
B 、不能判定平行四边形，如等腰梯形；
C 、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
D 、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
8．C
解析：C
【分析】
由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．
【详解】
解： 长方形ABCD ，8,4,AD AB ==
//,AD BC ∴
,ADB CBD ∴∠=∠
由对折可得：,CBD C BD '∠=∠
,ADB C BD '∴∠=∠
,BE DE ∴=
设,BE DE x == 则8,AE x =-
由222
,BE AB AE =+ ()2
2248,x x ∴=+-
1680,x ∴=
5,x ∴= 5,DE BE ∴==
115410.22
BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C
【点睛】
本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，
∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，
∵DA=DF ，DG=DG ，
∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，
∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=12
（∠ADF+∠CDF ） =45°，
∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，
∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC ，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
10．B
解析：B
【分析】
根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC 为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．
【详解】
解：∵2(3)450a b c -+-+-=，
∴30,40,50a b c -=-=-=，
解得3,4,5a b c ===，
又∵222223425a b c +=+==，
∴△ABC 为直角三角形，
∴13462
ABC S =
⨯⨯=△． 故选：B ．
【点睛】
本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键． 11．A
解析：A
【分析】
据勾股定理求出DC ，根据角平分线的性质得出DE=DC=5，根据勾股定理求出BE ，求出AE ，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
过D 作DE AB ⊥，交BA 的延长线于E ，则90∠=∠=︒E C ，
90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，
DE DC ∴=，
在Rt BCD ∆中，由勾股定理得：5CD =，
5DE ∴=，
在Rt BED ∆中，由勾股定理得：12BE =，
8AB =，
1284AE BE AB ∴=-=-=，
∴四边形ABCD 的面积BCD BED AED S S S S ∆∆∆=+-
111222
BC CD BE DE AE DE =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 11112512545222
=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 50=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，三角形面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE=DC 是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形三边关系可分析出A 的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B 的正误；根据三角形内角和定理可分析出C 、D 的正误；
【详解】
解：A 、a b c +=，不能组成三角形，不是直角三角形；
B 、222a c b +=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C 、由∠A+∠B=2∠C ，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；
D 、由∠A ：∠B ：∠C=5：12：13，可得最大角131807830
C ∠=︒⨯
=︒，不是直角三角形． 故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理． 二、填空题
13．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20证出平行四边形OCED 为矩形得OE ＝CD ＝10即可【详解】解：∵DEACCEBD ∴四边形OCED 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA ＝O
解析：10
【分析】
由菱形的性质和勾股定理求出CD ＝20，证出平行四边形OCED 为矩形，得OE ＝CD ＝10即
可．
【详解】
解：∵DE //AC ，CE //BD ，
∴四边形OCED 为平行四边形，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12AC ＝6，OB ＝OD ＝12
BD ＝8， ∴∠DOC ＝90︒，CD ＝22OC OD +＝2268+＝10，
∴平行四边形OCED 为矩形，
∴OE ＝CD ＝10，
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．
14．【分析】先根据勾股定理求得AB 再做△ABD 的中位线EF 可得
EF=3BF=DF=4从而可得CF=1再次利用勾股定理即可求得CE 【详解】解：∵AD 是BC 边上的高线AD=6AB=10∴∠D=90°∵CE 是
解析：10
【分析】
先根据勾股定理求得AB ，再做△ABD 的中位线EF ，可得EF=3，BF=DF=4，从而可得CF=1，再次利用勾股定理即可求得CE ．
【详解】
解：∵AD 是BC 边上的高线，AD =6，AB =10，
∴∠D=90°，22BD AB AD 8=-=，
∵CE 是AB 边上的中线，CD =AE ，
∴152
CD AE BE AB ===
=， 取BD 的中点F,连接CF ，
∴EF 为△ABD 的中位线，
∴132
EF AD =
=,EF//AD ， ∴∠EFB=∠D=90°， 在Rt △BEF 中，根据勾股定理，
4BF ===,
∴DF=BD-BF=8-4=4，
∴CF=CD-DF=5-4=1，
在Rt △CEF 中，根据勾股定理，
CE ==
【点睛】
本题考查三角形中位线的定理，勾股定理．能正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．
15．且【分析】根据分式有意义可得根据二次根式有意义的条件可得再解即可
【详解】由题意得：且解得：且故答案为：且【点睛】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 解析：0x ≥且1x ≠
【分析】
根据分式有意义可得10x -≠，根据二次根式有意义的条件可得0x ≥，再解即可．
【详解】
由题意得：10x -≠，且0x ≥，
解得：0x ≥且1x ≠，
故答案为：0x ≥且1x ≠．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．
16．【分析】根据二次根式的性质绝对值的性质先化简代数式再合并【详解】解：∵2＜x ＜3∴|x ﹣2|＝x ﹣2|3﹣x|＝3﹣x 原式＝|x ﹣2|+3﹣x ＝x ﹣2+3﹣x ＝1故答案为：1【点睛】此题考查化简求值
解析：【分析】
根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并．
【详解】
解：∵2＜x ＜3，
∴|x ﹣2|＝x ﹣2，|3﹣x |＝3﹣x ，
原式＝|x ﹣2|+3﹣x
＝x ﹣2+3﹣x
＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查化简求值，整式的加法法则，正确掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
17．﹣5≤x≤0【分析】根据二次根式的性质和二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组解不等式组即得答案【详解】解：∵＝﹣x∴解得：﹣5≤x≤0故答案为：﹣5≤x≤0【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件
解析：﹣5≤x≤0
【分析】
根据二次根式的性质和二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，解不等式组即得答案．
【详解】
解：∵
∴
50
x
x
-≥
⎧
⎨
+≥
⎩
，解得：﹣5≤x≤0．
故答案为：﹣5≤x≤0．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质和一元一次不等式组的解法，属于基本题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
18．【分析】作E关于AD的对称点M连接CM交AD于F连接EF过C作
CN⊥AB于N再求出BD的长根据三角形面积公式求出CN根据对称性得CF＋EF ＝CM根据垂线段最短得出CF＋EF≥CM即可得出答案【详解】
解析：120 13
【分析】
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，再求出BD 的长，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性得CF＋EF＝CM，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥CM，即可得出答案．
【详解】
作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的高，
∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，AD＝12，
∴S△ABC＝1
2×BC×AD＝
1
2
×AB×CN，
∴CN＝BC×AD÷AB＝10×12÷13＝120
13
，
∵E 关于AD 的对称点M ，
∴EF ＝FM ，
∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，
根据垂线段最短得出：C M≥CN ，
即CF ＋EF≥12013， 即CF ＋EF 的最小值是
12013， 故答案为：12013
．
【点睛】
本题考查了轴对称−最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，掌握“点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短”，是一道比较好的题目．
19．15【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=3然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵∠C=90°∴在Rt △ACD 中∵∠C=90°DE ⊥A
解析：15
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，
∵∠C=90°，
∴在Rt △ACD 中，2222543CD AD AC =
-=-=, ∵∠C=90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ， ∴DE=CD=3，
∴△ABD 的面积为111031522
AB DE ⨯⨯=⨯⨯=．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 20．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm
解析：11cm 12cm
【分析】
根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24﹣12=12（cm ）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，
此时，在杯子内的长度22512+=13（cm ），
故h =24﹣13=11（cm ）．
故h 的取值范围是11≤h ≤12cm ．
故答案为：11cm ；12cm ．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）7
【分析】
（1）根据角平分线的性质可得DBC DBE ∠=∠，再根据已知条件BE BC =，BD BD =，即可证明；
（2）根据（1）中结果，得2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒，即可求得ABD △的面积．
【详解】
（1）∵BD 平分ABC ∠，
∴DBC DBE ∠=∠，
∴在BDC 和BDE 中，
BD BD =，DBC DBE ∠=∠，BE BC =，
∴BDC ≌BDE ；
（2）∵BDC ≌BDE ，
∴2DE CD ==，90DEB C ∠=∠=︒， ∴1172722
ABD S AB DE =⋅=⨯⨯=△． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的证明和性质、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握运用以上知识点． 22．（1）①见解析；②见解析；（2）6.5
【分析】
（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；
②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；
（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152
BD BC =
=，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．
【详解】
解：（1）①如图所示：
②如图所示：
（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴152
BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =
+=，
∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点， ∴1 6.52
DE AB =
=， 故答案是：6.5．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．
23．（1）8；（2）4．
【分析】
（1）先计算出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式求解即可；
（2）通分后利用（1）的结论求解即可．
【详解】
（1）∵11x y ==，，
∴1)2x y xy +===，
∴22x y +
2()2x y xy =+-
222=-⨯
124=-
8=；
（2）∵22118x y x y ==+=，，，2xy =， ∴y x x y
+ 22
x y xy
+= 82
= 4=．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．注意整体代入的方法的运用．
24．（1）2
【分析】
（1）把每个二次根式化成最简后再把被开方数相同的项合并；
（2）按照乘法分配律去括号，按照除法法则计算二次根式的商，再把所得结果各项化简后合并同类二次根式即可得到最终答案．
【详解】
解：（1）原式=
=(241+-
=
（2）原式=3
=(121-+
．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法是解题关键 ． 25．（1）证明见解析；（2）23
【分析】
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
（2）根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】
解：（1）∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为
12ab ，小正方形面积为（b ﹣a ）2， ∴c 2＝4×12
ab +（a ﹣b ）2＝2ab +a 2﹣2ab +b 2即c 2＝a 2+b 2； （2）由图可知： （b ﹣a ）2＝3，4×
12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10，
∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．
【点睛】
本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．
26．（1）DE BD CE =+；（2）结论DE BD CE =+成立，证明见解析；（3）
①DFE △为等边三角形，证明见解析．②
24n ． 【分析】
（1）由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒，又可推出ABD CAE ∠=∠，即可证明(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，AD CE =．即推出
DE AD AE BD CE =+=+．
（2）由题意易证ABD CAE ∠=∠，即证明(AAS)ADB CEA ≌，同理即
DE AD AE BD CE =+=+．
（3）①由（2）知(AAS)ADB CEA ≌，得出BD AE =，由ABD CAE ∠=∠，易证FBD FAE ∠=∠，又由题意可知FB=FA ，即证明出(SAS)FBD FAE ≌，得出结论FD FE =，BFD AFE ∠=∠，即可求出60DFE ∠=︒，即证明DEF 为等边三角形． ②由DE n =，DEF 为等边三角形，即可求出DEF 的面积．
【详解】
（1）DE BD CE =+，理由：
∵90BAC ∠=︒，
∴90BAD CAE ∠+∠=︒，
∵BD m ⊥，
∴90ADB CEA ∠=∠=︒，
∴90BAD ABD ∠+∠=︒，
∴ABD CAE ∠=∠，
在ADB △和CEA 中，90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)ADB CEA ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE AD AE BD CE =+=+．
故答案为：DE BD CE =+．
（2）结论DE BD CE =+成立；
理由如下：∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠，
180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠，BDA BAC ∠=∠，
∴ABD CAE ∠=∠，
在BAD 和ACE △中，ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴
(AAS)BAD ACE ≌， ∴BD AE =，AD CE =，
∴DE DA AE BD CE =+=+．
（3）①DEF 为等边三角形，
理由：由（2）得，BAD ACE ≌△△，
∴BD AE =，
∵ABD CAE ∠=∠，
∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+，即FBD FAE ∠=∠，
在FBD 和FAE ∠中，FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
∴(SAS)FBD FAE ≌，
∴FD FE =，BFD AFE ∠=∠，
∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，
∴DEF 为等边三角形．
②∵DEF 为等边三角形．
∴DEF 的高为2DE ．
∴2132DFE S DE DE ==． 【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．。