最新三角形的初步知识
浙教版八年级上册数学第一章三角形的初步知识
浙教版八年级上册数学第一章三角形的初步学问学问点及典型例题考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围考点三、推断一句话是否为命题，以及改成“假如……那么……〞的形式 考点四、利用角平分线、垂线〔90°角〕、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度 考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的根底之上进一步证明线段、角度之间的数量关系 考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及根本图形的尺规作图法 考点八、方案设计题，求河宽等问题例1、两条线段的长分别是3cm 、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a 的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米？1、某一三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长的取值范围为〔 〕 A 、10≤a ＜16 B 、10＜a ≤16 C 、10＜a ＜16 D 、2＜a ＜82、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的〔 〕A 、中线B 、高线C 、角平分线D 、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，那么这个三角形〔 〕A. 必定是钝角三角形B. 必定是直角三角形C. 必定是锐角三角形D. 不行能是锐角三角4、△ABC 的三个不相邻外角的比为2：3：4，那么△ABC 的三个内角的度数分别为 。
例2、如图，△ABC 中，BE 和CD 分别为∠ABC 和∠ACB 的平分线，且BD=C E ，∠1=∠2。
说明BE=CD 的理由。
【设计意图】本例主要考察了角平分线和三角形全等的条件和性质，要说明两条线段相等的方法可以通过说明三角形全等来解决。
例3、AE ，AD 分别为△ABC 中BC 边上的中线和高线，且AB=7cm ，AC=5cm ，那么△ACE 和△ABE 的周长之差为多少厘米？△ACE 和△ABE 的面积之比为多少？【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题
新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。
其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。
文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。
此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。
最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。
例题部分也包括了两个问题的解答。
1、正确画出AC边上的高的是（C）。
2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。
3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。
4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。
5、在图中，由于AB=CD。
AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。
6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。
7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。
8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。
9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。
10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。
新浙教版八上第一章三角形的初步知识
第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、三角形全等的判定知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、 三角形的分类：(1)按角分类： (2)按边分类：3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 （2）三角形的角平分线（3）三角形的高 4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 5、 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性. 7、全等三角形（1）三角形全等的判定 （SAS ） （ASA ） （AAS ） （SSS ） （HL ）（2）全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：（1）平移变换 （2）对称变换（3）旋转变换中考规律盘点及预测三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。
典例分析三角形直角三象形 斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形例1、小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成 一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 6 ．___11___.____16___. 例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ， △ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 例3 如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC例4 如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的 两侧，AB ∥DE ，BF =CE ，请添加一个适当的条件： ， 使得AC =DF .基础练习一、精心选一选(每小题3分，共30分)1、在下列各组图形中，是全等的图形是( )A 、B 、C 、D 、 2、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( )A 、B 、C 、D 、 3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( ) A 、两点之间的线段最短； B 、三角形具有稳定性； C 、长方形是轴对称图形； D 、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A 、一个锐角，一个钝角； B 、两个锐角；C 、一个锐角，一个直角；D 、一个直角，一个钝角； 5、以下不能构成三角形三边长的数组是( )A 、(1，3，2)B 、(3，4，5)C 、(23，24，25) D 、(3，4，5)6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )A A A AB B B BC C C C E E EE BA CD EF 图1图2A 、115°B 、120°C 、125°D 、130°7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A 、第1块； B 、第2块； C 、第3块； D 、第4块；8、如图4，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( )A 、150°B 、130°C 、120°D 、100°9、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10、如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的 点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为( ) A 、15° B 、20° C 、25° D 、30° 二、耐心填一填(每小题3分，共30分)11、在△ABC 中，若∠A －∠B=90°，则此三角形是________三角形；若C B A ∠=∠=∠3121，由此三角形是_______三角形；12、如图6，已知AC=BD ，要使△ABC ≌△DCB ， 只需增加的一个条件是________________； 13、设△ABC 的三边为a 、b 、c ，化简______________|b a c ||a c b ||c b a |=--+--+--14、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm ； 15、如图7，在△ABC 中，已知AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=________16、如图8，把矩形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在N 点处，如果AD=35cm ，DM=5cm ，∠DAM=30°，则AN=_____cm ，NM=______cm ，∠BNA=_________度；17、如图9，△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BD 、CE 交于点O ，且AD=AE ，连结AO ，则图中共有_________对全等三角形；18、如图10，已知∠B=∠C ，AD=AE ，则AB=AC ，请说明理由(填空) 解：在△ABC 和△ACD 中， ∠B=∠______ (__________) ∠A=∠______ (________________)12 3 4图3ABCED 图5ABCDO图6D AB EC 图7 A B CD N M 图8 A B C DE O图9 ABD图10ABEAE=________ (__________) ∴△ABE ≌△ACD (______________)∴AB=AC (______________________________) 19、如图11所，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________； 20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是：____________________； 三、细心做一做(共60分)24、(8分)某产品的商标如图15所示，O 是线段AC 、DB 的交点，且AC=BD ，AB=DC ，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵AC=DB ，∠AOB=∠DOC ，AB=AC ， ∴△ABO ≌△DCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用 的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确， 写出你的思考过程。
三角形的初步认识复习教案
三角形的初步认识复习教案一、教学目标：1. 复习并巩固学生对三角形的基本概念、性质和分类的理解。
2. 提高学生运用三角形知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作精神。
二、教学内容：1. 三角形的基本概念：三角形的定义、三角形的组成。
2. 三角形的性质：三角形的内角和、三角形的边长关系。
3. 三角形的分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
4. 三角形的画法：如何准确地画出一个三角形。
5. 三角形在实际生活中的应用：举例说明三角形在现实生活中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的基本概念、性质和分类，以及三角形在实际生活中的应用。
2. 教学难点：三角形内角和、边长关系的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来复习三角形的相关知识。
2. 利用实物模型、图片等教学资源，帮助学生直观地理解三角形的性质和分类。
3. 设计具有挑战性的练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：详细讲解三角形的基本概念、性质和分类，并通过实物模型、图片等进行展示。
3. 练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此的学习心得和解决问题的方法。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调三角形的内角和、边长关系等关键知识点。
6. 作业布置：布置一些有关三角形应用的问题，让学生在课后思考和解决。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组讨论表现，评估学生的学习积极性。
2. 练习题评价：对学生的练习题进行批改，评估学生对三角形基本概念、性质和分类的掌握程度。
3. 课后作业评价：对学生的课后作业进行批改，了解学生对三角形在实际生活中应用的理解和运用能力。
人教版小学二年级下册数学《三角形的初步认识》知识点、教案及教学反思
【篇一】小學二年級下冊數學《三角形的初步認識》知識點、一、認識角1、角的特徵：一個頂點，兩條邊（直的）2、角的大小：與兩條邊叉開的大小有關，與兩條邊的長短無關。
3、角的畫法：（1）定頂點。
（2）由這一點引一條直線。
（3）畫另一條邊（直角時，用直角邊對準畫好的一條邊後，沿著另一條直角邊，畫線）二、角的分類：1、認識直角：直角的特點，2、認識銳角和鈍角：銳角比直角小，鈍角比直角大。
3、會用三角尺來判斷直角、銳角和鈍角：吧三角尺上直角的頂點與被比較角的頂點重疊在一起，再將三角尺上直角的一條邊與被比角的一條邊重合，最後比較三角尺上直角的另一條邊與被比角的另一條邊，線上為直角，內為銳角，外為鈍角。
4、畫直角、銳角和鈍角。
【篇二】小學二年級下冊數學《三角形的初步認識》教案教學目標：1、讓學生在觀察、操作和交流等活動中，經歷認識三角形的過程。
2、認識三角形各部分名稱，會畫三角形的高，瞭解三角形具有穩定性特徵。
3、體驗三角形的穩定性在生活中的廣泛應用，感受幾何圖形與現實生活的密切聯繫。
教學重點：理解三角形的特性；在三角形內畫高。
教學難點：理解三角形高和底的含義，會在三角形內畫高。
教學準備：多媒體課件、長方形、正方形、三角形學具、小棒、釘子板、直尺、三角板。
教學過程：一、聯繫實際，引出課題感知三角形1、談話導入。
2、學生彙報交流自己收集到的有關三角形資訊。
3、教師展示三角形在生活中應用的圖片。
談話引出課題：“你想學習有關三角形的什麼知識呢？（板書課題：三角形的認識。
）二、動手操作，探索新知1、動手製作三角形，概括三角形定義。
（1）學生利用老師提供的材料動手操作，選擇自己喜歡的方式做一個三角形。
（製作材料：小棒、釘子板、直尺、三角板。
）（2）學生展示交流製作的三角形，並說說自己是怎麼做的。
（3）觀察思考：這些三角形有什麼相同地方？（4）認識三角形組成，初步概括三角形定義。
（5）教師出示有關圖形，引起學生質疑，通過學生思考討論，正確概括出三角形定義。
第一章三角形的初步知识
1.1认识三角形（第1课时）（教参）1.1认识三角形（第2课时）1.2三角形的角平分线和中线1.3三角形的高1.4全等三角形1.5三角形全等的条件（第1课时）1.5三角形全等的条件（第2课时）1.5三角形全等的条件（第3课时）1.6作三角形1.1认识三角形（第1课时）（教参）【教学目标】1．进一步认识三角形的概念．2．会用符号、字母表示三角形．3．理解三角形任何两边之和大于第三边的性质．【教学重点、难点】1．本节教学的重点是三角形任何两边的和大于第三边的性质．2．判断三条线段能否组成三角形，过程较复杂，是本节教学的难点．【教学过程】一、三角形的概念及表示1．生活图片引入，抽象出三角形，概括“三角形”的概念(可由学生完成，教师加以完善)由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形的表示．(1)如右图，图中有几个三角形?——可引导学生作有条理的分类；(2)怎么表示?——学生会想到顶点处标上大写字母，引出三角形的符号表示，可与“∠”的用法对比；(3)你能写出每个三角形的三条边和三个内角吗?(4)三角形三边的其他表示：如右图．3．做课本课内练习第1题加以巩固．二、探索三角形的三边关系小组合作：取三个图钉，固定在——硬纸板的三点(记为A，B，C)上，用一根细绳绕A、B，C一周，组成△ABC，如图．1．目测哪一条边最长?2．比较最长的一条边与另两条边的长度之和，哪一个更长?3．改变图钉A的位置(仍组成△ABC)，结论有没有改变?由此你发现了什么?结论：—个三角形较短的两边之和大于最长的一边；三角形任何两边的和大于第二边上述结论比较直观，教师可让学生用学过的知识解释——两点之间线段最短．那么三角形任何两边的差与第三边有什么关系?让学生通过上述实验得到：三角形任何两边的差小于第三边．三、三角形三边关系的应用1．例1 判断下列各组线段中，哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由．(1)a=2.5cm，b=3cm，c=5cm；(2)e=6.3cm,f=6.3cm，g=12.6cm；(3)m=4cm，n=6cm，p=lcm．教师可让学生自己选择方法(以上三个结论均可用)，从中挑选较为简洁的方法：要判断三条线段能否组成三角形，只要把最长的一条线段与另外两条线段的和作比较．如果最长的一条线段小于另外两条线段的和，那么这三条线段能组成三角形；如果最长的一条线段大于或等于另外两条线段的和，那么就不能组成三角形．引申：你想找一根多长的小棒与长为4cm，6cm两根小棒首尾相接组成三角形?分析：学生根据已掌握的知识可找出小棒的长为3cm，4cm，7em等等，引导学生概括：两边之差＜第三边＜两边之和．2．例2 小明说：“我的步子(两脚着地时两脚的间距)大，一步有3米多”．你认为小明的话可信吗?分析：此题是对三角形三边关系的简单应用，可让学生自己画简图解决．3．做课本课内练习第2，3加以巩固．四、小游戏两位同学分别站在A，B两地，请第三位同学站到他们两人的距离和最小的地方，你认为站在哪里合适?分析：此游戏让学生自然而然地运用“两点之间线段最短”与“三角形任何两边之和大于第三边”的性质．五、课外探究若三角形的周长为17，且三边长都是正整数，那么满足条件的三角形有多少个?你可以先固定一边的长，用列表法探求．六、布置作业1．课本作业题．2．用三角形设计一幅美丽的图案．1.1 认识三角形(第2课时)【教学目标】1、通过实践活动，理解三角形三个内角的和等于180o2、理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、合适用三角形的内角和外角的性质简单的几何问题4、了解三角形的分类【教学重点、难点】1．本节教学的重点是三角形三个内角和等于180o的性质是本节重点。
三角形的初步认识知识点总结
三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。
用符号“△”表示。
三边：AB 、AC 、BC 。
有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。
三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。
【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。
2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。
两点之间，线段最短。
1、判断是否能组成三角形。
2、已知两边，求第三边取值范围。
两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。
3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。
4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。
高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。
ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。
3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明(2)与三角形外角性质有关的证明
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（2）与三角形外角性质有关的证明【知识点-部分】一、三角形的内角和定理及推论：1、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°；推论：由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论；推论可以当做定理使用。
2、三角形内角和定理的推论：推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二、辅助线：1、当问题的条件不够用、不够集中时，需添加辅助线，构造新图形，形成新关系，找到已知与未知的联系，把问题转化成已经会解的情况，我们把在原图上添加的线叫做辅助线。
注：（1）辅助线通常画为虚线；（2）添加辅助线往往结合学习过的定理或概念。
【典型例题-精选部分】【例1】如图所示，∠A，∠1，∠2的从大到小关系是。
【例2】如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠E的度数为。
【例3】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，且∠BOC＝40°，则∠A的度数为。
【例4】将一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为。
【例5】将一副三角尺如图叠放，则图中∠α＝°。
【例6】如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在外的处，折痕为DE。
如果，，，那么下列式子中正确的是（）A、B、C、D、【例7】已知：如图，∠ADE＝∠A＋∠B，求证：DE∥BC。
【例8】如图，已知四边形ABDC，求证：∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C。
【例9】如图,∠B=36∘,∠D=50∘，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，AM交BC于点R，CM交AD于点Q，BC与AD交于点P，求∠M的度数。
【例10】如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC。
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立?为什么?【例11】已知：如图一：△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分外角∠ACD。
三角形初步知识复习
5、如图，5条直线相交，得∠1, ∠2, ∠3,∠4, ∠5,∠6, ∠7。已知∠5 = 20º ， 则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 200 度。
2 1
7 3 6
4
5
180 度。 6. 计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
7、图中三角形的个数是（ D ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 当增加 n 条线的时候，有多少个三角形？
１、如图，BE、CF是△ABC 的角平分线， ∠A = 40°。则∠BOC=（ B ）度
A、70 B、110 C、120 D、140 2、如图,已知△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,AD是 BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠DAE=（ A ） 度。 A A、15 B、30 C、45 D、25
2、三角形的三线
a. 三角形的三条高线(或高线所在的直线)交于一点, 锐角三角形三条高线交于三角形内部一点, 直角三角形三条高线交于直角顶点， 钝角三角形三条高线所在的直线交于三角形外部 A 一点。 A A F D E F D b. 三角形的三条中线交于三角形内部一点。 E B C C
B
B
C D
c. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点。
变式：在△ABC中，若∠A=∠B+∠C， 则△ABC是（ C ）
A、锐角三角形 C、直角三角形 B、钝角三角形 D、等腰三角形
3、如图,在△ABC中,∠A = 40°, ∠B = 70°, 则∠BCD＝ 110 度．
∠BCD＝ ∠A +∠B
三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和。
4、能把一个三角形分成面积相等的 两部分是三角形的（ A ） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂 直的直线
三角形的初步知识
三角形的初步知识一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“ ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的两边之和大于第三边。
（2）三角形的两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的面积三角形的面积=1/2×底×高二、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
三、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。
浙教版8年级上册《三角形初步知识》复习
D CB A《三角形的初步认识》复习讲义知识点1：认识三角形。
1、三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的顶点：三个顶点。
3、三角形的边：组成三角形的三条线段。
4、三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。
三角形的顶点、边和角为三角形的三要素。
【例1】（1）如图1，点D在△ABC中，写出图中所有三角形：；（2）如图1，线段BC是△和△的边；（3）如图1，△ABD的3个内角是，三条边是。
【例2】如图2，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中∠C所对的边是，在△ACD中∠C所对的边是，在△ABD中边AD所对的角是，在△ACD中边AD所对的角是。
知识点2：三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边【例3】判断：哪组线段首尾相接可以组成三角形？① 3cm ,4cm，5cm ② 8cm，7cm ,15cm ③ 12cm ,12cm，20cm ④ 5cm，5cm ,11cm知识点3、三角形内角和 :定理：三角形内角和等于180°。
【例4】一个三角形的三个内角分别为x，x-10，x+10（x>10°），•则这个三角形三个内角的度数分别为多少？【例5】在△ABC中，∠A：∠B=5：7，∠C-∠A=10°，则∠C=________ DBA知识点4、三角形外角定理：1、一般地，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
【例6】如图中有四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的有（）①∠5=∠1+∠4 ②∠3=∠1+∠6 ③∠1+∠4+∠6=180°④∠2+∠3+∠5=360°⑤∠3=∠1+∠7 ⑥∠2+∠3+∠7=360°⑦∠2=∠4+∠6 ⑧∠2=∠4+∠7第6题图第7题图第8题图【例7】如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）【例8】如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∠A的度数是（）【学生练习题1】1、如图，在△ABC中，∠C=30°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于 .2、有四条线段，它们的长分别是2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，共可组成几种不同的三角形.3、在长方形ABCD 中，如图，E 为AB 上一点，连结DE 、EC ，∠ADE=40°，∠BCE=60°，求∠1、∠2、∠3的度数.知识点6：三角形角平分线、中线和高的概念 1、三角形中的三条线段的概念：三角形中的量重要线段概念图形表示法三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。
三角形的初步知识
3 三角形的外角
三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和。 一张小凳子的结构如图所示， ∠1＝∠2，∠3＝100°， 求∠1的度数。 1 2
3
二.三角形中的三线
1 三角形的角平分线
都是线段
如图：AE是ABC 的角平分线。已知
B 40 , C 60，求 AEB的大小
C E A B
如图，点E是平行四边形ABCD的边CD的中点，AD，BE 的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则平行四边形AB CD的周长为（ ）。
A:5
B:7
C:10
D:14
如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O， ∠A=60°，求证：CD+BE=BC．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上 的中线，过C作AE• 的垂线CF，垂足为F，过B作BD⊥BC 交CF的延长线于点D． （1）试说明：AE=CD； （2）AC=12cm，求BD的长．
3 三角形的高
三角形有几条高?
用三角尺分别作如下锐角三角形ABC, 直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各 边上的高.
A
D C E
F Q
P R
B
观察你所作的图形,比较三个三角形中三 条高的位置,与三角形之间有什么关系?
如图：在 ABC 中， ACB 90，
CD是斜边上的高，CE是 ABC 的角
平分线，已知 CEB 105 求
ECB, ECD 的度数。
C
A
D
E
B
三 两个三角形全等的判定方法
SSS
SAS
ASA
AAS
练习:
1、下列条件，可以判定△ABC与△DEF 全等的是（ D ） A、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F B、AB=DE， ∠B=∠E， AC=DF C、∠A=∠D， ∠C=∠F ， AB=EF
三角形初步知识点
三角形初步知识点三角形是几何学中一个常见的形状，具有广泛的应用领域。
本文将介绍三角形的基本定义、性质和分类。
一、三角形的定义和基本性质1. 定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都连接在一起，形成了三个内角和三个外角。
三角形的三个线段称为边，三个内角称为内角，三个外角则包围整个三角形。
2. 内角和：任意三角形的内角和等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°，其中∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角。
3. 外角和：任意三角形的外角和等于360度。
即∠A' + ∠B' + ∠C'= 360°，其中∠A'、∠B'、∠C'表示三角形每个内角对应的外角。
4. 三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。
即对于三角形ABC，AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，可以将三角形分为以下几种常见类型：1. 根据边长分类：a) 等边三角形：三条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB = BC = AC。
b) 等腰三角形：两条边长相等的三角形，记作△ABC，其中AB= AC或BC = AC或AB = BC。
c) 普通三角形：三条边长都不相等的三角形，记作△ABC，其中AB ≠ BC ≠ AC。
2. 根据角度大小分类：a) 直角三角形：其中一个内角为直角（90度），记作△ABC，其中∠C = 90°。
b) 钝角三角形：最大的内角大于90度，记作△ABC，其中∠C > 90°。
c) 锐角三角形：三个内角都小于90度，记作△ABC，其中∠A、∠B、∠C均小于90°。
关于三角形的分类，还有一些特殊的组合，如：等边且等角的三角形是正三角形，有一个角为直角的等腰三角形是等腰直角三角形等。
数学八上第一章知识点总结
数学八上第一章知识点总结一、三角形的初步知识。
1. 三角形的有关概念。
- 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
- 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
- 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
- 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
2. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
3. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 三角形任意两边之差小于第三边。
- 判断三条线段能否组成三角形的简便方法：只要判断较短的两条线段之和是否大于最长的线段即可。
4. 三角形的高、中线与角平分线。
- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的三条高所在的直线相交于一点。
- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。
- 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点。
5. 三角形的稳定性。
- 三角形具有稳定性，而四边形具有不稳定性。
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结
第一章：三角形的初步知识
1. 三角形的基本性质：稳定性、内角和定理（三角形内角和为180度）。
2. 三角形的分类：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的边与角的关系：边长与角度的关系，如a:b:c=sinA:sinB:sinC。
第二章：全等三角形
1. 全等三角形的定义及性质。
2. 全等三角形的判定方法：SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）、HL（直角边斜边公理）。
3. 全等三角形的证明方法。
第三章：轴对称与中心对称
1. 轴对称与中心对称的基本性质。
2. 轴对称与中心对称图形的识别与证明。
3. 图形变换的基本方法。
第四章：四边形
1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等的基本性质。
2. 四边形的判定方法。
3. 四边形的面积计算。
第五章：一次函数
1. 函数的基本概念：自变量、因变量、常数。
2. 一次函数的定义及性质。
3. 一次函数的图象表示方法。
4. 一次函数的解析式及求法。
5. 一次函数的应用：求最值、求交点等。
第六章：一元一次不等式
1. 不等式的基本性质。
2. 一元一次不等式的解法：去分母、去括号、移项合并同类项等。
3. 一元一次不等式的应用：比较大小、求解最值等。
浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》-分节知识点
这样的推理过程叫做证明。
-3-
2、证明表述格式 1、证明几何命题时，表述格式一般如下： （1）按题意画出图形； （2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； （3）在“证明”中写出推理过程。 要点诠释： 1、在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线。
△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF，其中点 A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE， BC 和 EF，AC 和 DF 是对应边；∠A 和∠D，∠B 和∠E，∠C 和∠F 是对应角。
1、按角分类：
要点诠释： ① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形。 要点四、三角形的三边关系 1、定理：三角形任意两边之和大于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短；
-1-
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
浙教版 8 年级上册数学第 1 章《三角形的初步知识》-分节知识点
一、认识三角形
要点一、三角形的定义 1、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ① 三角形的边：即组成三角形的线段； ② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点。 （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”； （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，
三角形的初步知识
阶段性小结：
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）
有两个角和一边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）。
ASA
AAS
角平分线和点到直线的距离的概念：
观察图形思考：
①点P到角两边的距离各是什么？（PC和PB）
它们相等吗？
A.1对B.2对
C.3对D.4对
二、专心填一填：（每小题3分，共24分）
13.三角形的内角和等于，三角形的外角和等于.
14.已知直角三角形的两锐角之比为1∶2，则这两个锐角的度数分别为.
15.在△ABC中，∠C=900,∠A=370，则∠B=.
16.在△ABC中，∠B=∠C,∠A=720，则∠C=.
①所带去那一片等于带去了三角形的几个元素？
②这样的三角形唯一吗？
归纳总结：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学语言叙述：
如图，在△ABC和△A′B′C′
中,∠B=∠B′,∠C=∠C′
BC= B′C′,则△ABC≌△A′B′C′
有两个角和一边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：初二课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课类型
T(同步知识主题)
C（专题方法主题）
T（学法与能力主题）
授课日期及时段
教案内容
三角形的初步知识（2）
一、全等三角形
概念1：能够重合的图形称为全等图形。
概念2：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
相关的概念：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
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A B
G
C
H
F
M
D
E
4、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此 三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为6或８.
5、如图，AD是△ABC的高，且AD平分∠BAC， 请指出∠B与∠C的关系，并说明理由。
6、要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取
OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么∠AOB
4、如图AD=BC，要判定 △ABC≌△CDA，还需要的条件 是 ＡＢ＝ＣＤ或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ .
D C
A B
5、已知：AE＝AC， 要想△ABC≌△ADE，应添加什么条件？
A
B
D
E
C
A
6、已知：AB＝AD，BC＝DE； 要想 △ABC≌△ADE，应添加什么条件？
B
D
E
C
7、已知：∠B＝∠D，
三角形的初步知识
一、三角形的边、角及主要线段
１、三角形的三边之间的关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ２、三角形的三个内角之间的关系： 三角形的内角和为１８００ ３、三角形的内、外角之间的关系： １)三角形的外角和为３６００ ２)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和 ３)三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
几何表述：
C
∵点P是∠BAC的平分线上的
P
一点且PB⊥AB,PC ⊥AC,
∴PB=PC的理由.
A
B
8、如图，△ABC中,DE垂直平分ＡＣ，AE=３cm, △ABC的周长是9cm,则△ABC的周长是_１__５_c_m__.
A E
B
D
C
１、如图，BE、CF是△ABC 的角平分线， ∠A=40°。则∠BOC=（ B ）度
∠C＝∠E；
要想△ABC≌△ADE，应 D
A
B
添加什么条件？
C
E
四、线段中垂线与角平分线的性质 １、 线段垂直平分线的性质： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
l
C
几何表述：
AO
B
l l ∵ 是线段AB的中垂线，点C在 上
∴CA=CB
２、角平分线的性质:
角平分线上点到角两边距离相等.
A、70 B、110 C、120 D、140
２、如图，已知△ABC中，∠B=45°， ∠C=75°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的 平分线，∠DAE=（ A）度。
A、15
B、30 C、45 D、25
A
B ED C
3.有一次柯南看见这样一个图，要计算： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360 度
的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先
说明△EOD≌ △ ＦＯＣ . 理ＦＣ
，再说明
△PEC≌△ ＰＦＤ ，理由是 ＡＡＳ ，
得到PE= ＰＦ
；最后说明
△EOP≌△ ＦＯＰ 是 ＳＡＳ
，理由 ，从而说明了
∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB。
４、三角形的主要线段有哪些？
角平分线、中线、高线
1、要说明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论， 选择恰当的判定方法
2、全等三角形，是说明两条线段或两个角相等的重要 方法之一，说明时 ①要观察待说明的线段或角，在哪两个可能全等的 三角形中。 ②分析要说明两个三角形全等，已有什么条件，还 缺什么条件。 ③有公共边的，公共边一般是对应边， 有公共角的， 公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应 角 总之，说明理由的过程中能用简单方法的就不要绕 弯路。