第3节一元线性回归的预测与控制

y2 y1 2 S
1 1 ( x0 x)2
n
l xx
由上式可以解出形如 x1 x x2 的结论. 11
当n较大时，预测区间为 ( yˆ u / 2 S, yˆ u / 2 S ). 即：

y1 y2

aˆ aˆ

bˆx bˆx

u u
n
l xx
5
记 ( x) S 1 1 ( x0 x)2 ,
n
l xx
1( x) yˆ ( x) 2( x) yˆ ( x)
对于任意的 x，Y a bx 的1 预测区间为:
( yˆ ( x)，yˆ ( x)) .
.
12
y
L2 : y yˆ u S
y2
yˆ aˆ bˆx
yˆ
L1 : y yˆ u / 2S
y1
o
x1
x x2 x
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练习：
P240 习题七
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根据要求的不同，有两类预测的方法，分别是 点预测和区间预测 .
点预测的方法是：以 x = x0 代入回归方程，即 得 y 的点估计值（点预测值）为：
Y0 yˆ aˆ bˆx0 .
3
为了知道预测的精确性与可靠性，在实际应用中， 还需要对Y0作区间估计，即对于给定的置信度 1 ， 求出Y0的置信区间，称为预测区间 .
第三节
1
如果变量 Y 与 x 之间的线性相关关系显著，利用
观测数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), , ( xn , yn )
求出的线性回归方程
yˆ aˆ bˆx
就大致反映了变量 Y 与 x 之间的变化规律，因此可 以利用回归方程进行预测与控制 .
2
一、预 测
所谓预测，就是当 x 取某一特定值 x0 时，对 y 的取值作出估计的问题 .
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二、控 制
控制是预测的反问题，问题的提法是：如要求 y 的
观察值落在指定区间 (y1, y2) 内，我们应该怎样控制 x 的取值呢？
即要求x1, x2, 使 x1 < x < x2 时，所对应的 y 观察值以
1 的概率落在 (y1, y2)内.
要使 x0 处的预测区间包含在指定区间 (y1, y2)内，则 y2- y1 应大于预测区间的长度. 即：
区间预测： 取 0.05，查表得 t0.05/ 2 (7) 2.365 ,
x 288.95 , lxx 85843.49 , Q 7.83 ,
S Q 1.0574 , S 1 1 ( x0 x)2 2.6378 ,
n2
n
l xx
所以预测区间为
(12.3425 2.6378 , 12.3425 2.6378) (9.7047, 14.9803)
n
l xx
所以预测区间为：( yˆ S, yˆ S)；
注2：n 较大时，t(n 2)分布与 N(0,1)分布很接近，
故预测区间为：( yˆ u / 2 S, yˆ u / 2 S ) ,见下图：
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y
yˆ u S
2
y2
yˆ aˆ bˆx
y
yˆ u S
2
n
l xx
查表得 t / 2(n 2) ,
P{|
Y0 yˆ 0
| }1 ,
S 1 1 ( x0 x)2
n
l xx
由此得出Y0的1 置信度的置信区间为：
( yˆ0 S
1 1 ( x0 x)2 ,
n
l xx
yˆ0 S
1 1 ( x0 x)2 )
区间预测的方法是：
利用统计量
T
Hale Waihona Puke Y0 yˆ 0, 其中 S
Q .
S 1 1 ( x0 x)2
(n 2)
n
l xx
可以证明，当 i ~ N (0, 2 )且相互独立时，T ~ t(n 2) .
4
T
Y0 yˆ 0
~ t(n 2)
S 1 1 ( x0 x)2
o
x
x
x
图中阴影部分为预测带，其中x x 处的预测区间
最窄，x 越远离 x，则区间越大.
7
( yˆ0 S
1 1 ( x0 x)2 ,
n
l xx
yˆ0 S
1 1 ( x0 x)2 )
n
l xx
注 1：n 较大时，且 x 较接近 x 时，有：
1 1 ( x0 x)2 1 0 0 1
y1
o
x
x
特别地，当 0.05时，u / 2 1.96，置信区间是
( yˆ 1.96S, yˆ 1.96S)
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例6 试对例4中当社会商品零售总额 x = 300亿元时的 营业总额作出预测 .
解 回归方程为 yˆ 2.2675 0.0487x ,
点预测：yˆ0 2.2675 0.0487 300 12.3425(亿元) ；
/2S /2S
在 x1 处： yˆ u / 2 S y1 , aˆ bˆx1 u /2S y1 ,

x1

y1 aˆ u / 2 S bˆ
;
在 x2 处： yˆ u / 2 S y2 , aˆ bˆx2 u /2S y2 ,

x2

y2 aˆ u / 2 S bˆ
由于v1( x), v2( x)是关于x的函数，故表示两曲线,
y
v2( x) yˆ ( x)
y2
yˆ aˆ bˆx
yˆ
y1
v1( x) yˆ ( x)
y
o
x
x
x
6
y
y2
yˆ
y1 y
v2( x) yˆ ( x) yˆ aˆ bˆx v1( x) yˆ ( x)