鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题(附答案)

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题（附答案）
1．如图，正方形ABCD 边长为2，点P 是线段CD 边上的动点（与点C ，D 不重合），
，过点A 作AE ∥BP ，交BQ 于点E ，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．如图所示，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件是（ ）
A ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥
B ．AB B
C C
D DA === C ．AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥ D ．AB BC =，CD DA ⊥
3．将五个边长都为 2cm 的正方形按如图所示摆放，点 ,,,A B C D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( )
A ．22cm
B ．42cm
C ．62cm
D ．82cm
4．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于H ，则DH =（ ）
A ．245
B ．125
C ．12
D ．24
5．如图,E 为边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线上一点,BE=BC,P 为 CE 上任意一点,PQ ⊥BC 于点 Q,PR ⊥BE 于 R,则 PQ+PR 的值为( )
A．
2
2
B．2C．
3
D．
1
2
6．如下图，沿Rt△ABC的中位线DE剪一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形.一定能拼出的是（）
A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④7．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）
A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，CA，BC的中点．若四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的边需满足的条件是（）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC 10．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC
为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为( )
A ．5
B ．35
C ．25
D ．32
11．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠
，则点B 的坐标为_____________．
12．如图，矩形ABCD 中CE BD ⊥于E ，若3DCE ECB ∠=∠，则
ACE ∠=___________度。

13．四边形ABCD 是菱形，对角线交点为O ，若再补充一个条件能四边形ABCD 成为正方形，那么这个条件可以是________（填写你认为适当的一个条件）．
14．下列四个命题中真命题是（ ）
．矩形的对角线平分对角；
．菱形的对角线互相垂直平分； ． 梯形的对角线互相垂直；．平行四边形的对角线相等．
15．如图,在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于O,DE ⊥AC 于E ，
∠EDC ∶∠EDA=1∶2，且AC=10，则DE 的长度是 ． 16．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠AOB=60°，AC=10，则BC=______. 17．如图,在平面直角坐标系中,面积为100的正方形ABCD 的两个顶点A 、B 在坐标轴上滑动,点B 由原点O 出发沿x 轴正方向移动,点A 沿y 轴正半轴向原点O 移动,当
∠ABO=36°时,边AB的中点E经过的路径长是_________;
18．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE 与BF的交点，连接CO．若CA=2，CO=23，那么CB的长为________.
19．如图，菱形ABCD的面积为12cm2，正方形AECF的面积为8cm2，则菱形的边长为_______cm．
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，要使四边形ABCD为矩形，则需要添加的条件是_______(只填一个即可).
21．手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的裁剪线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积.（注：不同的分法，面积可以相等）.
（1）________；（2）________；（3）________；（4）________.
22．(1)如图①，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接BE 、DF ，且BE 平分∠ABD ．
①求证：四边形BFDE 是菱形；
②直接写出∠EBF 的度数；
(2)把(1)中菱形BFDE 进行分离研究，如图②，点G 、
I 分别在BF 、BE 边上，且BG=BI ，连接GD ，H 为GD 的中点，连接FH 并延长，交ED 于点J ，连接IJ 、IH 、IF 、IG.试探究线段IH 与FH 之间满足的关系，并说明理由；
(3)把(1)中矩形ABCD 进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD 满足AB=AD 时，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 、EF 、DF ，使△DEF 是等腰直角三角形，DF 交AC 于点G.请直接写出线段AG 、GE 、EC 三者之间满足的数量关系.
23．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ．
（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形．
（2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．
24．如图，已知线段AB ，以线段AB 为边作一个菱形ABCD ，使得∠A ＝60°．（尺规作图，保留作图痕迹）
25．如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，若EF=EC ，且EF ⊥EC ．
（1）求证：AE=DC ；
（2）已知DC=2，求BE的长．
26．如图，在ABCD
Y中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，分别以B、F
为圆心，大于1
2
BF的长为半径画弧，交于点G，作射线AG交BC于点E，若6
BF=，
5
AB=，求AE的长为．
27．（问题情境）如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）（问题解决）延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD的取值范围是．
（反思感悟）解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．
（2）（尝试应用）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，试猜想线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．
（3）（拓展延伸）如图③，△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，DM⊥DN，DM 交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN．当BM＝4，MN＝5，AC＝6时，请直接写出中线AD的取值范围．(温馨提示:如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达三边关系,a2+b2＝c2)
28．（本题10分）如图，我校实验大楼边上有一块空地需要绿化（即阴影部分），通过测量可以知道CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，试求出这块空地的面积（即阴影部分面积）．
参考答案 1．B
【解析】 试题分析：连接AP ，作EM ⊥PB 于M ，由平行线的性质可知
1=22PBE ABP ABCD S S S ==
V V 正方形，所以可得122PB EM ⨯⋅=，再根据等腰直角三角形可求得22
EM BE =
，由此可求得. 故选B
考点：1、正方形，2、三角形的面积
2．A
【解析】
【分析】
根据正方形的判定定理即可求解.
【详解】
A ∵AO BO CO DO ===，∴四边形ABCD 为矩形，
由AC BD ⊥，所以矩形ABCD 为正方形，
B. AB BC CD DA ===，四边形ABCD 为菱形；
C. AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥，四边形ABCD 为菱形；
D. AB BC =，CD DA ⊥，不能判定四边形ABCD 为正方形,
故选A.
【点睛】
此题主要考查正方形的判定，解题的关键是熟知正方形的判定定理.
3．B
【解析】
【分析】
连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．【详解】
解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的1
4
，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选B．
【点评】
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；
③旋转角度．
4．A
【解析】
【分析】
设菱形对角线的交点为O，根据菱形的对角线互相垂直平分，即可得到OA、OB的长，再根据勾股定理求出菱形的边长，然后利用菱形面积的两种求法列等式即可求出DH.
【详解】
解：设菱形对角线的交点为O ，
∵四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB = ∴1AO=42AC =，132
OB DB ==，AC DB ⊥ 根据勾股定理：225AB OA OB =+=
∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底×高
∴1=2
DH AB AC DB •• 解得：DH =
245 故选A
【点睛】
此题考查的是菱形的性质，勾股定理和菱形的面积，掌握菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积的两种求法是解决此题的关键.
5．B
【解析】
【分析】
连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，然后根据S △BCE =S △BCP +S △BEP 求出h=PQ+PR ，再根据正方形的性质求出h 即可．
【详解】
解：如图，连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即1
2
BE•h=
1
2
BC•PQ+
1
2
BE•PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴h=2×2
2 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ+PR等于点C到BE的距离是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
可动手拼图，先画出图形再根据平行四边形和菱形、矩形、等腰梯形的性质分别判定即可．【详解】
如图：①为矩形；②为平行四边形，若∠B=60°时为菱形；③等腰梯形．
故一定能拼出的是：①③④．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的中位线定理，以及平行四边形和菱形、矩形、等腰梯形的性质，
熟练掌握四边形的性质是解题关键．
7．D
【解析】
试题分析：设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，
∴=，
∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，
∴=，
∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9
考点：正方形的性质．
8．A
【解析】
【分析】
因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求．【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形
∴OC=OA，BD=AC
又∵OA=2，
∴AC=OA+OC=2OA=4
∴BD=AC=4
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的对角线的性质．熟练掌握矩形对角线相等且互相平分是解题的关键.
9．D
【解析】
【分析】
由点E、F、G、H 分别是任意四边形ABCD 中AD、BD、BC、CA 的中点，根
据三角形中位线的性质，可得
11
,
22
EF GH AB EH FG CD
====，又由当
EF=FG=GH=EH 时，四边形EFGH 是菱形，即可求得答案．
【详解】
解：∵点E、F、G、H 分别是任意四边形ABCD 中AD、BD、BC、CA 的中点，
∴
11
,
22
EF GH AB EH FG CD ====，
∵当EF=FG=GH=EH 时，四边形EFGH 是菱形，
∴当AB=CD 时，四边形EFGH 是菱形．
故选D．
【点睛】
此题考查了中点四边形的性质、菱形的判
定以及三角形中位线的性质．此题难度适
中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．C
【解析】
【详解】
过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，
设CF=x，则BF=8−x，
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2，
∴16+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴AF=CF=5，
∵AD//BC,
∴∠AEF=∠EFC,
又∵∠AFE=∠EFC,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=5,
∴EH=AE−AH=2，
∵FH=4，
∴EF2=42+22=20，
∴EF=25；
故选C.
11．
【解析】过点作则，所以点B的坐标为. 12．45
【解析】
【分析】
根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
∵∠DCE=3∠ECB，
∴∠DCE= 3
4
×90°=67.5°，∠ECB=22.5°，
∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°，
∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°.
故答案为：45.
【点睛】
本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解.
13．AC BD
【解析】
正方形的判定问题，题中给出在菱形的基础上，可以加上对角线相等，一个角为直角等满足其是正方形．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，要使其成为正方形，则对角线相等即可，即AC=BD．故答案为：AC=BD
【点睛】
熟练掌握正方形的性质及判定定理．
14．B
【解析】
矩形的对角线不能平分对角，A错误；
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，B正确；
梯形的对角线不互相垂直，C错误；
平行四边形的对角线平分，但不一定相等，D错误．
故选B．
15．
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，∴△OCD是等边三角形，DE=sin60°•OD=×5=
16．53
【解析】
【分析】
根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长，再由勾股定理可求得BC的长．
如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA=1
2
AC=5，
在Rt△ABC中，2222
10553
BC AC AB
-=-=
故答案是：3
【点睛】
本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．
17．3 2π
【解析】
【分析】
根据题意，可知OE为定值，E经过的路径即为以OE为半径的圆弧，根据弧所对的度数即可求出弧长.
【详解】
根据题意，得
当∠ABO=36°时,∠AOE=54°
∵面积为100的正方形ABCD
∴AB=10
又∵E为AB的中点
∴OE=EB=EA=5
∴E经过的路径长是
53 54
1802
ππ︒⨯⨯=
︒
【点睛】
此题主要考查正方形的性质以及直角三角形斜边中线性质和弧长，熟练掌握，即可解题. 18．26+2
【解析】
如图，在BC上截取BD=AC=2，连接OD，
∵四边形AFEB是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=∠ACB=90°，
∴∠CAO=90°-∠ACH，∠DBO=90°-∠BHO，
∵∠ACH=∠BHO，
∴∠CAO=∠DBO，
∴△ACO≌△BDO，
∴DO=CO=23，∠AOC=∠BOD，
∵∠BOD+∠AOD=90°，
∴∠AOD+∠AOC=90°，即∠COD=90°，
∴CD=22
(23)(23)26
+=，
∴BC=BD+CD=226
+.
故答案为：226
+.
点睛：本题的解题要点是，通过在BC上截取BD=AC，并结合已知条件证△ACO≌△BDO 来证得△COD是等腰直角三角形，这样即可求得CD的长，从而使问题得到解决.
19【解析】
试题解析：因为正方形AECF 的面积为8cm 2，
所以cm ，
因为菱形ABCD 的面积为12cm 2，
所以BD=6cm ，
所以菱形的边长．
20．∠DAB=90°．
【解析】
【分析】
根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．
【详解】
解：可以添加条件∠DAB=90°，
∵AO=CO ，BO=DO ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
故答案为∠DAB=90°．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理．
21．答案见解析
【解析】
试题分析：（1）正方形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、 的中点，连接HE EF FG GH HF 、、、、，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（2）正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、的中点，O 是AC BD 、的交点，连接
OE OF 、，
即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（3）正方形ABCD 中，F H 、分别是BC DA 、的中点，O 是AC BD 、的交点，连接HF ，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（4）正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、的中点，O 是AC 的中点，I 是AO 的中点，连接OE OB OF 、、，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
试题解析：根据分析，可得
．
（1）2（cm 2） （2）2（cm 2） （3）2（cm 2） （4）1（cm 2）．
22．（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2．
【解析】
【分析】
（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．
②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题．
（2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，
∴∠EDO ＝∠FBO ，
在△DOE 和△BOF 中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，
∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，
∴EB ＝ED ，
∴四边形EBFD 是菱形．
②∵BE 平分∠ABD ，
∴∠ABE ＝∠EBD ，
∵EB ＝ED ，
∴∠EBD ＝∠EDB ，
∴∠ABD ＝2∠ADB ，
∵∠ABD +∠ADB ＝90°，
∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，
∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，
∴∠EBF ＝60°．
（2）结论：IH ＝3FH ．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．
∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，
∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，
∴∠JDH ＝∠FGH ，
在△DHJ 和△GHF 中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，
∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，
∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，
∴BE ＝IM ＝BF ，
∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，
∴△MEJ 是等边三角形，
∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°
在△BIF 和△MJI 中，
BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BIF ≌△MJI ，
∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，
∴IH ⊥JF ，
∵∠BFI +∠BIF ＝120°，
∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，
∴∠JIF ＝60°，
∴△JIF 是等边三角形，
在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，
∴∠FIH ＝30°，
∴IH ＝3FH ．
（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．
理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，
∵∠F AD +∠DEF ＝90°，
∴AFED 四点共圆，
∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，
∴∠ADF +∠EDC ＝45°，
∵∠ADF ＝∠CDM ，
∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，
在△DEM 和△DEG 中，
DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△DEG ≌△DEM ，
∴GE ＝EM ，
∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，
∴∠ECM ＝90°
∴EC 2+CM 2＝EM 2，
∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，
∴GE 2＝AG 2+CE 2．
【点睛】
考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.
23．（1）证明见解析；（2）BDFC S
平行四边形=
【解析】
试题分析：
（1）由90A ABC ∠=∠=︒可证得BC AF P ，由此可得CBE DFE ∠=∠，结合DE CE =，DEF BEC ∠=∠，可证得BEC V ≌FED V ，即可得到BE EF =结合DE=CE 即可证得四边形BDFC 是平行四边形；
（2）过点D 作DH ⊥BC 于点H ，易证四边形ADHB 是矩形，从而可得BH=AD=1，结合BC=3可得CH=2，在Rt △DHC 中结合CD=BC=3即可求得
，这样即可求得四边形
BDFC 的面积了.
试题解析：
（1）∵90A ABC ∠=∠=︒，
∴BC AF P ，
∴CBE DFE ∠=∠，
又∵DE CE =，DEF BEC ∠=∠，
∴BEC V ≌FED V ，
∴BE EF =，
又∵CE DE =，
∴四边形BDFC 是平行四边形．
（2）过D 作DH CB ⊥于H ，
∴∠DHB=∠A=∠ABH=90°，
∴四边形ADHB 是矩形，
∴1BH AD ==，
∵3CB CD ==，
∴2CH =，
在Rt CDH V 中，
∵90CHD ∠=︒，
∴22325DH =-=，
∴BDFC S BC DH =⋅平行四边形
35=．
24．见解析
【分析】
直接利用等边三角形的作法得出△ABD ，进而以BD 为边作等边△BDC ，进而得出菱形．
【详解】
如图所示：菱形ABCD 即为所求，∠A ＝60°．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及菱形的判定，正确利用等边三角形的性质是解题关键． 25．（1）证明见试题解析；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）由矩形的性质及已知条件可得到△AEF ≌△DCE ，即可证明AE=DC ； （2）由（1）得到AE=DC ，在Rt △ABE 中由勾股定理可求得BE 的长．
试题解析：（1）在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF ⊥EC ，∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF 和△DCE 中，∵∠A=∠D ，∠1=∠3，EF=EC ，∴△AEF ≌△DCE （AAS ），∴AE=DC ；
（2）由（1）得AE=DC ，∴2，在矩形ABCD 中，2，在R △ABE 中，222AB AE BE +=，即222(2)(2)BE +=，∴BE=2．
考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．
26．8．
【解析】
【分析】
连接FE,由题中的作图方法可知AE 为∠BAF 的角平分线，结合平行四边形的性质可证明四边形ABEF 为菱形，根据菱形对角线互相垂直平分即可求得AE 的长．
【详解】
解：如下图，AE 与BF 相交于H ，连接EF ，由题中作图方法可知AE 为∠BAD 的角平分线，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，
∴∠1=∠2，
又∵AE为∠BAD的角平分线, ∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=BE，
∵AF=AB,
∴AF=BE，
∵AD//BC
∴四边形ABEF为平行四边形∴ABEF
Y为菱形，
∴AE⊥BF，
11
63,2, 22
BH BF AE AH ==⨯==
在Rt△ABH中，根据勾股定理
2222
534
AH AB BH
-=-=,
∴AE=8．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质定理，菱形的性质和判定，角平分线的有关计算，勾股定理．能判定四边形ABEF为菱形，并通过菱形的对角线互相垂直平分构建直角三角形利用勾股定理求解是解决此题的关键．
27．（1）2＜AD＜8 （2）答案见解析（3）1＜AD＜7
【解析】
（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝8，在△ABE 中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）结论：AB2+AC2＝4AD2．延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图②所示，只要证明∠ABE＝90°，理由勾股定理即可证明；
（3）如图，延长ND到E，使得DN＝DE，连接BE、EM．想办法证明四边形AMDN 是矩形即可解决问题；
【详解】
解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
BD=CD
∠BDE=∠CDA
DE=AE，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）结论：AB2+AC2＝4AD2．
理由：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图②所示，
由（1）可知：△BDE≌△CDA，
∴BA ＝AC ，∠E ＝∠CAD ，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠E+∠BAE ＝∠BAE+∠CAD ＝∠BAC ＝90°，
∴∠ABE ＝90°，
∴AB 2+BE 2＝AE 2，
∴AB 2+AC 2＝4AD 2．
（3）如图，延长ND 到E ，使得DN ＝DE ，连接BE 、EM ．
∵BD ＝DC ，∠BDE ＝∠CDN ，DE ＝DN ，
∴△BDE ≌△CDN ，
∴BE ＝CM ．∠EBD ＝∠C ，
∵∠ABC+∠C ＝90°，
∴∠ABD+∠DBE ＝90°，
∵MD ⊥EN ，DE ＝DN ，
∴ME ＝MN ＝5，
在Rt △BEM 中，BE 22EM ME -3，
∴CN ＝BE ＝3，
∵AC ＝6，
∴AN ＝NC ，
∵∠BAC ＝90°，BD ＝DC ，
∴AD ＝DC ＝BD ，
∴DN ⊥AC ，
在Rt △AMN 中，AM 22MN AN - 4
∴1＜AD ＜7
【点睛】
本题考查了四边形综合题，三角形全等的证明等等，熟练掌握基础概念与找出合适的辅助线是解题关键
28．96．
【解析】
试题分析：由勾股定理求出AC 的长，再由勾股定理的逆定理判断出△ACB 为直角三角形，再由S 阴影=12AC×BC ﹣12
AD×CD 即可得出结论． 试题解析：在Rt △ADC 中，∵CD=6米，AD=8米，BC=24米，AB=26米，∴222AC AD CD =+=2286+=100，∴AC=10（取正值）．
在△ABC 中，∵22221024AC BC +=+=676，2226AB ==676，∴222AC BC AB +=，∴△ACB 为直角三角形，∠ACB=90°，∴S 阴影=12AC×BC ﹣12AD×CD=12
×10×24﹣12
×8×6=96（米2）． 答：剩余土地（图中阴影部分）的面积为：96米2．
考点：1．勾股定理；2．勾股定理的逆定理．。