高三数学10月月考试卷课标试题

新都一中高2021级高三数学10月月考试卷
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
命题人：陈靖
一、选择题〔60分〕
}10|{},|1||{<<=<-=x x B b x x A ，且A B A = ，那么b 的取值范围是
A. φ
B.]1,0[
C. ]0,(-∞
D. ),1[+∞
a 与c
b + 都是非零向量，那么“0 =++
c b a 〞是“a
//〔c b +〕〞的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.假设至少存在一个实数x ，使得不等式0222
<++ax x 成立，那么a 满足 A.44<<-a
B.44≤≤-a
C.4>a 或者4-<a
D.4≥a 或者4-≤a
4. 双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为4
3
y x =，那么双曲线的离心率为
A.
5
3
B.
4
3
C.
54 D.32
5.)(2
+∈+=N n n n a n λ，且}{n a 是递增的数列，那么实数λ取值范围是
A.λ≥0
B.λ1-≥
C.λ2->
D.λ＞－3
6.假设函数)(x f 满足1，x
x f x f )(1
)(2,2
-(0)x >成等差数列，那么)(x f 的反函数是 A.y =122-x x (x >0) B.y = 122-x x (x <0) C.y =x x 212- (x >0) D. .y =x
x 212- (x <0)
7.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,假设数列{}1n a +也是等比数列,那么n S 等于 (A)1
2
2n +- (B)3n
(C)2n
(D)31n
-
8.假设数列{}n a 中,21=a ,当n 2≥时121-=-n n a a 那么数列的通项公式n a 等于
A.1+n
B.221-+n
C. 121+-n
D. 12-n
222222)()(c x a c b x b x f +-++=〔其中c b a ,,是ABC ∆的三条边长〕那么函数
)(log 2x f y =的定义域M 和值域P 的关系是
A.M=P
B. P ≠⊂M ≠⊂P
D.由c b a ,,的值而定.
10.(理科)设函数()1
x a
f x x -=
-,集合M={|()0}x f x <,P=}0)(|{>'⋅x f x x 〔其中)(x f '是)(x f 的导函数〕,假设M P,那么实数a 的取值范围是
A.(-∞,1)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D. [1,+∞)
10.(文科) 〕曲线3
2x y =，那么过点〔1，2〕的切线的斜率是
〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕8 11.函数x x x
x y cos sin 2cos 2sin -+=的最小值是
A.4
5-
B.4
1- C.12+
D.21-
12.在正方体上取4个顶点作为四面体的顶点，那么所得的四面体是正四面体的概率为 A.
581 B. 29
1 C ．
641 D ．32
1
一、选择题 CACAD ACCBC AB 二、填空题〔16分〕
13在8
3
)1
(x
x -的展开式中常数项是28〔用数字答题〕 14.α∈(
23π,2π)，sin α=53-,那么tan(4πα+)等于7
1 15.)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()3(x f x f =-，那么=)2007(f 0
16. (31)4,1()log ,1
a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是)31
,71[
三、解答题〔74分〕
17.(12分〕向量)cos ,1(),3,sin 1(θθ-=+=b a .〔1〕假设,a b ⊥且2
2π
θπ<<-求θ；
〔2〕求a b +的最大值。

解：(1)由b a
⊥得
1cos 3sin -=-θθ
即 2
1)3sin(-=-
π
θ 6
65πθπ<<-
∴
6
3
π
π
θ-
=-
即 6
π
θ=
(2)
)cos 3,(sin θθ+=+b a
∴
θcos 324||+=+b a
∴当1cos =θ即)(2Z k k ∈=πθ时，||b a
+获得最大值
324+
即 13+
18.(12分〕如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝
2
1
AA 1＝2，D 、E 分别为1BB 、11C A 的中点. 〔1〕求平面ADE 和平面A 1B 1C 1所成二面角的大小；
〔2〕设F 为AE 的中点，问DF 是否为异面直线AE 和BB 1的公垂线？说明理由，并求这两条异面直线间的间隔 ；
(3)求直线AA 1和平面ADE 所成的角.
(说明：文科同学做(1)，(3)小题时只需求出角的某一三角函数值即可)
解：取AC 的中点G ，连结EG ，EB ，分别以EC 1、EB 1、EG 为x 轴、y 轴、z 轴建立直角
A 1
坐标系 那么
A(－1,0，4)、B(0，3,4)、C(1,0，4)、A 1(－1,0，0)、B 1〔0，3,0〕、C 1〔1,0，
0〕、D(0，3,2)、E(0，0,0)、F(2
1
-
，0,2) 〔1〕设平面ADE 的法向量为(,,)n a b c =，(1,0,4),(0,3,2)EA ED =-=，
由n EA n ED ⊥
⊥和可得40
20
a c c -+=⎧⎪+
=取c =
(43,n =-
又平面A 1B 1C 1的法向量为1(0,0,4)A A =，
111165
cos ,55||||
n A A n A A n
A A ⋅<>=
=
⨯ 所以 平面ADE 和平面A 1B 1C 1所成二面角为arccos 55
或者arccos 55
π- (2)1
(,3,0),(1,0,4)2
DF EA =--=-
102
EA DF ⋅=
≠ ∴ DF 与EA 不垂直，即DF 不是EA 与B 1B 的公垂线，
又 1111(0,3,0),0,0B E B E B B B E EA =⋅=⋅=
∴
111
,B E B B B E EA ⊥⊥
所以
B 1E 是EA 与B 1B 的公垂线，EA 与B 1B 的间隔
(3)由(1)知111165
cos ,55||||
n A A n
A A n A A ⋅<>=
=
⨯
所以 A 1A 与平面ADE 所成角为
2
π
-即arcsin
19.〔12分〕
}{n a 和}{n b 中，n n b a ,是关于x 的方程)(02)2(2+∈=++-N n a x b n x n n n 的二根，设n n
b a n f =)()(+∈N n .(1)求)(n f 的最大值；(2)∑=n
k k f 1
)(.
解：由得22n
n n n n n n a b a a b n b ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩解得22
n n
n a n
b =⎧⎪⎨=⎪⎩，1()2n n f n -∴= (1)
(1)11
()22f n f n n
+=+，当1n =时，(1)(2)1f f ==；当2n ≥时(1)()f n f n +<，(1)(2)(3)(4)f f f f ∴=>>>
，即)(n f 的最大值为1；
(2)令01112222n n n S -=
+++，那么1
2112
222
2
n n n S =+++
， ∴1211111122222n n n n S -=++++-=2222
n n n -- 所以 11
4(2)2
n n S n -=-+
20.〔12分〕袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各2个，从袋中任取2个小球，假设取出两球数字一样，那么计4分，假设取出两球数字不同那么用较大数字减去较小数字作为得分，每个小球被取出的可能性都相等.求：①取出的2个小球上的数字互不一样的概率；②(理) 用ξ表示取出的2个小球的得分，求随机变量ξ的概率分布和数学期望.②(文)求取出两球的得分不超过3分的概率.
解：①用A 表示事件“取出的2个小球上的数字互不一样〞
那么 P(A)=24282267C C ⨯=(或者P(A)=1
42
86
17
C C -=) 答：取出的2个小球上的数字互不一样的概率是6
7
②(理)由题意有1,2,3,4ξ=，且283223(1)7p C ξ⨯⨯==
=，2
82222
(2)7
p C ξ⨯⨯===，281221(3)7p C ξ⨯⨯==
=，28221
(4)7
p C ξ⨯===. 3211
12342777
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
答：随机变量ξ的概率分布为
数学期望为2E ξ=
②(文)用A k (k=1,2,3)表示事件“取出两球的得分为k 〞 那么
1283223()7p A C ⨯⨯=
=，2282222()7p A C ⨯⨯==，3
281221
()7
p A C ⨯⨯==， 所以，取出两球的得分不超过3分的概率为
P =1()p A +2()p A +3321()777p A =
++=6
7
答：取出两球的得分不超过3分的概率6
7
.
21.(理科)〔13分〕函数a x a e x f x
++=)()(〔a 为常数〕，函数)()(x f x x g '=在),2(+∞-上是增函数，求a 的取值范围.
21.(文科)〔13分〕设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，()()()g x f x f x '=-是奇函数。

〔Ⅰ〕求b 、c 的值；〔Ⅱ〕求()g x 的单调区间与极值.
解：(理)()(1)x
f x e x a '=++，2
()()x
g x ax x x e =++，2
()(31)x
g x a x x e '=+++ 由题意有 当2x >-时()0g x '> 即a >2(31)x
x x e -++恒成立.
令 ()k x =2
(31)x
x x e -++
下面求函数 ()k x =2
(31)x
x x e -++(2x >-)的最大值
()k x '=2(54)x x x e -++，由()k x '=0(2x >-)得1x =-，
当(2,1)x ∈--时()k x '>0，即()k x 在(2,1)--上是增函数；当(1,)x ∈-+∞时()k x '<0，即
()k x 在(1,)-+∞上是减函数.
所以当1x =-时，()k x =2
(31)x
x x e -++(2x >-)获得最大值1
e
. (文)
()2
32()f x x bx c x R '=++∈
()g x ∴=32(3)(2)()x b x c b x c x R +-+--∈是奇函数 3,0b c ∴==
()g x ∴=36x x -，2()36g x x '=-，由2()36g x x '=-=0
得x =
当x 变化时(),()g x g x '的关系如下表所示：
因此，函数()g x 递增区间有(,-∞和)+∞，递减区间有(，当x =时，极大极为x =-.
22. 〔13分〕双曲线122
22=-b
y a x 的半焦距等于实轴的长，且1=x 为它的右准线.
〔Ⅰ〕求此双曲线的方程；
〔Ⅱ〕(理科)假设数列}{n a ),0(+∈>N n a n 31=a ，且满足点P ),(1+n n a a )(+∈N n 在双曲线上，求证：)()3(1++∈<N n a n n .
〔Ⅱ〕(文科) 假设数列}{n a ),0(+∈>N n a n 31=a ，且满足点P ),(1+n n a a )(+∈N n 在双曲线上，求数列}{n a 的通项公式n a .
解：(Ⅰ)由得2
21c a
a c
=⎧⎪⎨=⎪
⎩解得24a c =⎧⎨=⎩
22212b c a ∴=-=
∴双曲线方程为
22
1412
x y -= (Ⅱ)由题意有 2211412
n n a a +-=，即221312n n a a +=-，亦即22
163(6)n n a a +-=-
令26n n b a =-，那么2
11163,3n n b a b b +=-==
3n n b ∴=即2
36n n a =+
又 0n a > n a ∴=)(+∈N n (文科至此解答完毕)
(理科)
623n ≤⨯ )(+∈N n
∴n a ∴=≤)()3(1++∈<N n a n n 成立.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。