深圳龙岗名星学校中学部数学分式解答题单元试卷(word版含答案)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20
天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2
3
，公司需付甲工厂加工费用为
每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．
【解析】
【分析】
（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】
（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，
则：解得：x＝16
经检验，x＝16 是原分式方程的解
∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品
（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天
需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元
方案二：乙工厂单独完成此项任务，则
需要的时间为：960÷24＝40 天
需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元
方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则
16a+24a＝960
∴a＝24
∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元
综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．
【点睛】
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方
案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
2．已知下面一列等式：
111122⨯
=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式： （2）验证一下你写出的等式是否成立； （3）利用等式计算：
11(1)(1)(2)x x x x ++++11
(2)(3)(3)(4)
x x x x ++++++.
【答案】（1）一般性等式为
111
=(+11
n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）
24
4x x +.
【解析】 【分析】
（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算. 【详解】 解：（1）由111122⨯
=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；1111
4545
⨯=-；…， 知它的一般性等式为111
=(+11
n n n n -+）； （2）
1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111
(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；
（3）
11(1)(1)(2)x x x x ++++11
(2)(3)(3)(4)
x x x x ++++++
1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114
x x =-+ 24
4x x =
+.
【点睛】
解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.
3．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：
76112333
+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称
之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
例如：像33x x -+，2
3x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，
23
x x
-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.
例如：将分式225
3
x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.
方法一：解：由分母为3x +，可设2
25(3)()x x x x a b +-=+++
则由2
2
2
25(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，
∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩
∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--
+++++ 这样，分式2253
x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.
方法二：解：
2225332(3)(3)2(3)322
13333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--
+++++++ 这样，分式2253
x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式.
（1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式273
1
x x x ---拆分成一个整式与一个真
分式的和（差）的形式；
（2）已知整数x 使分式22511
2
x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值.
【答案】（1）9
61
x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】 【分析】
（1）先变形2731x x x ---=2669
1
x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结
论；
（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值． 【详解】
解：（1）2731x x x ---=2669
1
x x x x --+--
=
(1)6(1)9
1x x x x -----
=9
61
x x ---；
（2）225112x x x +-+= 224213
2x x x x +++-+
=
2(2)(2)13
2x x x x +++-+
=13
212
x x +-+，
∵x 是整数，22511
2
x x x +-+也是整数，
∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13， ∴x=-1或-3或11或-15. 【点睛】
本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．
4．某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨，原来产m 吨小麦的一块土地，现在小麦的总产量增加了20吨．
（1）当a ＝0.8，m ＝100时，原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少？
（2）请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨，现在小麦的平均每公顷产量是 吨；（用含a 、m 的式于表示）
（3）在这块土地上，小麦的改良品种成熟后，甲组收割完需n 小时，乙组比甲组少用0.5小时就能收割完，求两组一起收割完这块麦田需要多少小时？
【答案】（1）原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨；（2）
20
ma ，+2020ma a ；（3）两组一起收割完这块麦田需要2241
n n
n --小时． 【解析】 【分析】
（1）设原来小麦平均每公顷产量是x 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，根据题意列出分式方程求解并验根即可；（3）由题意
得知，工作总量为m+20,甲的工作效率为：
20m n +，乙的工作效率为：20
0.5
m n +-，再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间. 【详解】
解：（1）设原来平均每公顷产量是x 吨，则现在平均每公顷产量是（x +0.8）吨，
根据题意可得：10010020
0.8
x x +=+ 解得：x ＝4，
检验：当x ＝4时，x （x +0.8）≠0， ∴原分式方程的解为x ＝4， ∴现在平均每公顷产量是4.8吨，
答：原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨，4.8吨．
（2）设原来小麦平均每公顷产量是y 吨，则现在玉米平均每公顷产量是（y +a ）吨， 根据题意得：20m m y y a
+=+ 解得；y ＝
20
ma ， 经检验：y ＝
20
ma
是原方程的解， 则现在小麦的平均每公顷产量是:202020
ma ma a a ++= 故答案为:
20ma ，2020
ma a
+； （3）根据题意得：()20.520
2202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==
++--+
- 答：两组一起收割完这块麦田需要2241
n n
n --小时．
【点睛】
本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解，找出题目中的等量关系式是解题的关键.
5．已知分式A=2344
(1)11
a a a a a -++-÷
--. (1) 化简这个分式；
(2) 当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时．．加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由.
(3) 若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和. 【答案】（1）2
2
a A a +=-；（2）变小了，理由见解析；（3）符合条件的所有a 值的和为11. 【解析】
分析：（1）分解因式，再通分化简.(2)用作差法比较二者大小关系.(3)先分离常数，再尝试让分子能被分母整除.
详解：
（1）A =2344111a a a a a -+⎛
⎫+-÷
⎪--⎝⎭=()()()2113211
a a a a a -+--÷--=22a a +-. （2）变小了，理由如下：
()()()()()()()()
21522512
212121a a a a a a A B a a a a a a ++-+-++-=-==-+-+-+ .
∵a ＞2 ∴a -2＞0，a+1＞0，∴()()12
21A B a a -=-+＞0，即
A ＞B
(3) 24
122
a A a a +=
=+-- 根据题意，21,2,4a -=±±± 则a =1、0、-2、3、4、6， 又1a ≠ ∴0+（-2）+3+4+6=11 , 即：符合条件的所有a 值的和为11. 点睛：比较大小的方法：
（1）作差比较法：0a b a b ->>;0a b a b -<⇒<(a b ，可以是数，也可以是一个式子)
（2）作商比较法：若a ＞0，b ＞0，且1a b >，则a ＞b ；若a ＜0，b ＜0，且1a
b
>，则a ＜b ．
6．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽 新能源 EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续 航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里． （1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费， 并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比． 【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25% 【解析】 【分析】
（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可. （2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案. 【详解】
解：（1）设新能源汽车续航单价为x 元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：
300x ：
3000.6
x + =4：1， 解得：x=0.2，
∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），
答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里. （2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为： 0.48×55=26.4（元），
∴新能源汽车每公里所需电电费为： 26.4÷400=0.066（元/公里），
依题可得燃油汽车400公里所需费用为： 400×0.8=320（元），
∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为： 26.4÷320=0.0825=8.25%.
答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%. 【点睛】
本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．观察下列各式：
111121212==-⨯，111162323==-⨯，1111123434
==-⨯，1111204545==-⨯，1111305656
==-⨯，… ()1请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________
()2请利用上述规律计算：()
1111 (122334)
1n n ++++=⨯⨯⨯+________ （用含有n 的式子表示）
()3请利用上述规律解方程：()()
()()1
111
21111x x x x x x x +
+=
---++．
【答案】1111426767==-⨯ 1
n n + 【解析】 【分析】
根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解. 【详解】 解：()
11111(426767==-⨯答案不唯一)； 故答案为
1111426767
==-⨯；
()2原式1
n n =
+； 故答案为
1
n n + ()3分式方程整理得：
111111121111
x x x x x x x -+-+-=---++， 即
12
21
x x =-+， 方程两边同时乘()()21x x --，得()122x x +=-， 解得：5x =，
经检验，5x =是原分式方程的解． 【点睛】
此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.
8．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x 小时，乙单独完成需要y 小时，丙单独完成需要z 小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a 倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b 倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c 倍，求111111
a b c +++++的值．
【答案】（1）甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xz
yz
+倍；（2）1 【解析】
分析：（1）先求出乙丙合作完成时间，再用甲单独完成的时间除以乙丙合作完成时间即可求解；
（2）根据“甲单独作完成的天数为乙丙合作完成天数的a 倍”，可得x =1
1a
y
z
+
，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得11
a +=yz xy yz xz ++；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的
b 倍”，可得11
b +=xz xy yz xz ++；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的
c 倍”，可得11
c +=xy xy yz xz ++，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果．
详解：（1）x ÷[1÷（1y +1
z
）] =x ÷[1÷y z
yz
+] =x ÷yz
y z
+ =
xy xz
yz
+． 答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xz
yz
+倍；
（2）由题意得x =1
1a
y
z +
①，y =11b
x z
+
②，z =11c
x y +③．
由①得a =x y +x z ，∴a +1=x y +x z +1，∴1
1
a +=1
1x x y z ++=yz xy yz xz ++；
同理，由②得11b +=xz xy yz xz ++； 由③得11c +=xy xy yz xz
++； ∴
111
111
a b c +++++=yz xy yz xz +++xz xy yz xz +++
xy xy yz xz ++=xy yz xz xy yz xz ++++=1． 点睛：本题主要考查分式方程在工程问题中的应用及代数式求值．工程问题的基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间．注意两人合作的工作效率等于两人单独作的工作效率之和．本题难点在于将列出的方程变形，用含有x 、y 、z 的代数式分别表示
1
1
a +、11
b +、11
c +的值．
9．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．甲工程队施工一天，需付工程款1万元；乙工程队施工一天，需付工程款0.6万元．根据甲、乙工程队的投标书测算，可有三种施工方案：
（A ）甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； （B ）乙队单独完成这项工程要比规定工期多用4天；
（C ）若甲、乙两队合做3天后，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工． 为了节省工程款，同时又能如期完工，你认为应选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案． 【解析】
试题分析：设完成工程规定工期为x 天，根据等量关系：甲、乙两队合做3天后，剩下的
工程由乙队单独做，也正好如期完工，列方程，求解即可得到甲、乙工程队单独完成所需的天数，然后求出每种方案所需的工程款，比较即可得出结论． 试题解析：解：设完成工程规定工期为x 天，依题意得：
1133()144
x x
x x -+
+=++ 解得：x =12．
经检验，x =12符合原方程和题意，∴x +4=16．
∴甲工程队单独完成需12天，乙工程队单独完成需16天． ∵B 方案不能按时完成，∴要舍弃．
A 方案的工程款为12×1=12（万元），C 方案的工程款为3×1＋12×0.6=10.2（万元）， ∴应选C 方案．
答：为了节省工程款，同时又能如期完工，应选C 方案．
10．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?
【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天． 【解析】 【分析】
(1)设这项工程的规定时间是x 天，则甲队单独施工需要x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可. 【详解】
(1)设这项工程的规定时间是x 天，则甲队单独施工需要x 天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意，得: 15515
11.5x x
++=． 解得: 30x =，
经检验， 30x =是原方程的解，且符合题意． 答:这项工程的规定时间是30天．
(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
11
1(
)183045
÷+=（天）， 答:甲乙两队合作完成该工程需要18天． 【点睛】
本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.。