昌黎县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)

昌黎县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
3
4意在考查学生空间想象能力和计算能＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣
） ）
，+∞）D ．（﹣1，0）
的取值范围是（ ）
a
D ．{1}[0,1)
-U 若，则
=
．
）
．
D ．53
在区间a 的取值范围是（
）
．（，．，C ．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]
8． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
9． 一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点．甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2，4）
D ．（4，+∞）11．已知实数x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为（
）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．4
12．若满足约束条件，则当取最大值时，的值为（ ）
y x ,⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x 31++x y y x +A ． B ． C ． D ．1-3-3
二、填空题
13．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．　
14．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．　
15．若函数为奇函数，则___________．63e ()()32e x x
b
f x x a =-∈R ab =【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．
16．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式3
2
()(1)f x x a x ax =+++1x 2x 12()()0f x f x +≤恒成立，则实数的取值范围是
．
17．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，则函数f （x ）=x ﹣[x]的最小正周期是 ．
18．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是
．
三、解答题
19．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎
不生二胎
合计70后3015
4580后
45
10
55
合计
7525100
（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考数据：P （K 2＞k ）
0.150.100.050.0250.0100.005k 2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：
，其中n=a+b+c+d ）
20．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，且不等式log 2（ax 2﹣3x+6）＞2的解集为{x|x ＜1或x ＞b}．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 公式；（Ⅱ）求数列{
}的前n 项和T n ．
21．（本小题满分12分）已知分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上12,F F C 22
221(0)x y a b a b
+=>>P
成等差数列．
1122||,|||PF F F PF （1）求椭圆的标准方程；、
C （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得l F C A B 、x Q 7
16
QA QB ⋅=-
u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
Q
22．设函数f （x ）=x 3﹣6x+5，x ∈R （Ⅰ）求f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有3个不同实根，求实数a 的取值范围．
23．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a =
时，求不等式()0f x <的解集；（2）当[]01x ∈，
时，()0f x <恒成立，求实数的取值范围．24．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α
昌黎县第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D 【
解
析
】
2． 【答案】B
【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0．
∵f （2）=4，则2f （2）=8，f （x ）﹣＞0化简得，
当x ＜2时，
⇒
成立．故得x ＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f （x ）﹣＞0的解集为（0，2）．故选B ．
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．　
3． 【答案】C
【解析】解：由题，f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=2x ﹣2﹣，
令2x ﹣2﹣
＞0，整理得x 2﹣x ﹣2＞0，解得x ＞2或x ＜﹣1，
结合函数的定义域知，f ′（x ）＞0的解集为（2，+∞）．故选：C ．　
4． 【答案】D
【解析】当时，．
1a =1
()11x f x e x -=+--当时，为增函数，
1x ≥1
()2x f x e
x -=+-∴，有唯一零点．
()(1)0f x f ≥=1
当时，，．
1x <1
()x f x e
x -=-1()1x f x e -'=-∵，∴，单调减，1x <()0f x '<()f x ∴，没有零点，()(1)0f x f <=综上： 时，原函数只有一个零点，1a =故不成立，从而排除．,,A B C 5． 【答案】A
【解析】解：①若=，则
，则x=y ，即①对；
②若lgx 有意义，则x ＞0，即②对；
③若x=y ＞0，则
=
，若x=y ＜0，则不成立，即③错；
④若x ＞y ＞0，则 x 2＞y 2，即④错．故真命题的序号为①②故选：A ．　
6． 【答案】D
【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D ．
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．　
7． 【答案】D
【解析】解：∵函数f （x ）=﹣x 2+2ax 的对称轴为x=a ，开口向下，∴单调间区间为[a ，+∞）
又∵f （x ）在区间[1，2]上是减函数，∴a ≤1
∵函数g （x ）=在区间（﹣∞，﹣a ）和（﹣a ，+∞）上均为减函数，
∵g （x ）=
在区间[1，2]上是减函数，
∴﹣a ＞2，或﹣a ＜1，即a ＜﹣2，或a ＞﹣1，
综上得a ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，故选：D
【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．　
8． 【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m ﹣1+a m+1=2a m ，则a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=a m （2﹣a m ）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
9．【答案】C
【解析】解：甲、乙二人各掷骰子一次，得到所有的基本事件有
（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）
（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）
（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）
（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）
（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）
（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）
共36种，
显然甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，
故甲掷得的向上的点数比乙大的概率为P=．
故选：C．
【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
10．【答案】C
【解析】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
11．【答案】D
【解析】解：画出满足条件的平面区域，
如图示：
，
将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，
由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，
Z最大值=4，
故选：D．
【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．
12．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
二、填空题
13．【答案】　4　．
【解析】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1
所以f（1）+f′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．　
14．【答案】　﹣1054　．
【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ，
∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
15．【答案】2016
【解析】因为函数为奇函数且，则由，得，整理，得．()f x x ∈R (0)0f =0063e 032e
b
a -=2016a
b =16．【答案】1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥
⎣⎦
U 【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即
12()()0f x f x +≤()()
()3
3
2
2
12121210x x a x x a x x ++++++≤,由于
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,令得方程,因 , 故
()()2'321f x x a x a =+++()'0f x =()23210x a x a +++=()2410a a ∆=-+>，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，()12122133x x a a x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
()1a +()2
2520a a -+≥1a ≤-122a ≤≤因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
1a ≤-122a ≤≤()()120f x f x +≤1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
U 考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出()f x ()'0f x =的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
1212,x x x x +12()()0f x f x +≤数的取值范围.111]
17．【答案】　[1，）∪（9，25]　．
【解析】解：∵集合，
得 （ax ﹣5）（x 2﹣a ）＜0，
当a=0时，显然不成立，
当a＞0时，原不等式可化为
，
若时，只需满足
，
解得；
若，只需满足
，
解得
9＜a≤25，
当a＜0时，不符合条件，
综上，
故答案为[1，）∪（9，25]．
【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．　
18．【答案】　（，+∞）　．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，
故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为=，且X～B（3，），
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
其分布列如下：
X0123
P
（每算对一个结果给1分）
∴E（X）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K2==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，
所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1orx＞b}，根据不等式解集的意义
可知：方程ax2﹣3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，s n=n2…（6分）
（Ⅱ）令
则
=…（12分）
【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明时，恒成立．
54m =7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 当直线的斜率为0时，结论成立；
l 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
l l 1x ty =+()11,A x y ()22,B x y 由及，得，1x ty =+2
212
x y +=22(2)210t y ty ++-=所以，∴．0∆>12122221
,22
t y y y y t t +=-=-++，，
Q 111x ty =+221x ty =+∴=＝
112212125511(,)(,)()(4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+2
(1)t +121211()416
y y t y y -++．222
22211212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-
+++综上所述，在轴上存在点使得恒成立．
x 5(,0)4Q 7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
∴当
，
∴f （x ）的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f （x ）图象的大致形状及走向，∴当
的图象有3个不同交点，
即方程f （x ）=α有三解．　
23．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎭U ，，．【解析】
试题分析：（1）由于1
2
2a -==⇒()141272
22x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，；（2）由()()27
41442
27lg 241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<g ．设()44lg lg 128a g x x a =+g ，
原命题转化为()()
10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎭U ，，．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数
与不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思
想和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎭U ，，．24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a．
易知，x∈（0，a）时，f′（x）＞0，x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．
故函数f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）递减．
故f（x）max=f（a）=alna﹣a．
（Ⅱ）令g（x）=f（a﹣x）﹣f（a+x），即g（x）=aln（a﹣x）﹣aln（a+x）+2x．
所以，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0．
所以g（x）＜g（0）=0，即f（a+x）＞f（a﹣x）．
（Ⅲ）依题意得：a＜α＜β，从而a﹣α∈（0，a）．
由（Ⅱ）知，f（2a﹣α）=f[a+（a﹣α）]＞f[a﹣（a﹣α）]=f（α）=f（β）．
又2a﹣α＞a，β＞a．所以2a﹣α＜β，即α+β＞2a．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．　。